ロシュミットのパラドックス

物理学におけるロシュミットのパラドックス（JJロシュミットにちなんで名付けられた）は、可逆性パラドックス、不可逆性パラドックス、またはUmkehreinwand（ドイツ語の 「反転反論」から）としても知られ、 ^[1]時間対称なダイナミクスから不可逆プロセスを推論することはできないという反論である。これは、（ほぼ）すべての既知の低レベルの基本物理プロセスの時間反転対称性と、マクロシステムの挙動を説明する熱力学の第二法則を推論する試みが矛盾するというものである。これらは両方とも物理学で広く受け入れられている原理であり、観測と理論の両面でしっかり裏付けられているが、矛盾しているように見えることからパラドックスが生じる。

ヨーゼフ・ロシュミットの批判は、ボルツマンのH 定理によって引き起こされた。この定理は、理想気体の分子が衝突すると、非平衡状態からエントロピーが増加することを運動論で説明したものである。1876 年にロシュミットは、システムがt _0からt 1 、そしてt _2の時間に渡って運動し、時間の経過と共にHが着実に減少(エントロピーが増加) する場合、すべての速度を逆にすると、 t ₁でシステムの別の許容運動状態が存在し、その状態ではH が必ず増加することを指摘した。これにより、ボルツマンの重要な仮定の 1 つである分子カオス、またはすべての粒子速度にはまったく相関がないというStosszahlansatz は、ニュートン力学から導かれないことが明らかになった。相関関係は興味深くないと主張し、したがって無視することにすることもできる。しかし、そうすると、概念体系が変化し、まさにその行為によって時間の非対称性の要素が注入されることになります。

可逆的な運動の法則では、なぜ私たちの世界が現時点で比較的低いエントロピー状態（宇宙の熱的死の平衡エントロピーと比較して）にあると感じているのか、また過去にはさらに低いエントロピー状態にあったのかを説明できません。

後の著者^{[2]は、核スピンの場合、微視的システムにおける時間発展を逆転させることができる実体に対して「ロシュミッツの悪魔」（}マクスウェルの悪魔との類似性、下記参照）という用語を作り出したが、これは確かに、たとえ短時間であっても、実験的には可能である。

ロシュミット論文の2年前の1874年、ウィリアム・トムソンは論文「エネルギー散逸の運動理論」の中で、時間反転の反論に対して第二法則を擁護した。^[3]

孤立系におけるエントロピーの増加など、時間の順方向には定期的に起こるが、逆方向にはめったにまたは決して起こらないプロセスは、物理学者が自然界における時間の矢と呼ぶものを定義します。この用語は、時間の非対称性の観察のみを指し、そのような非対称性の説明を示唆するものではありません。ロシュミットのパラドックスは、時間対称な基本法則がある場合に熱力学的な時間の矢が存在することがどのように可能かという疑問と同じです。時間対称性は、これらの基本法則と互換性のある任意のプロセスについて、最初のプロセスを逆再生したフィルムとまったく同じように見える逆バージョンが同じ基本法則と等しく互換性があり、そのシステムのすべての可能な状態の位相空間からシステムの初期状態をランダムに選択した場合でも同様に発生する可能性があることを意味します。

物理学者によって記述される時間の矢のほとんどは、熱力学的な矢の特殊なケースであると考えられているが、宇宙は収縮ではなく膨張しているという事実と、素粒子物理学におけるいくつかのプロセスが CPT 対称性として知られる関連する対称性を尊重しながらも実際には時間対称性を破っているという事実に基づく宇宙論的な時間の矢のように、無関係であると考えられているものもいくつかある。宇宙論的な矢の場合、ほとんどの物理学者は、たとえ宇宙が収縮し始めてもエントロピーは増加し続けると信じている^[要出典] (物理学者トーマス・ゴールドはかつて、この段階で熱力学的な矢が反転するモデルを提案したことがある)。素粒子物理学における時間対称性の破れの場合、それが発生する状況はまれであり、数種類の中間子粒子に関係することが知られているのみである。さらに、 CPT 対称性のため、時間の方向を逆転させることは粒子を反粒子に改名することと同等であり、その逆もまた同様である。したがって、これではロシュミットのパラドックスを説明することはできません。

動的システムの現在の研究^では、可逆システムから不可逆性を獲得する 1 つの可能なメカニズムが提示されています。中心となる議論は、マクロ システムのダイナミクスを研究する正しい方法は、ミクロな運動方程式に対応する転送演算子を研究することであるという主張に基づいています^。次に、転送^演算子はユニタリーではなく(つまり可逆ではない)、大きさが 1 未満である固有値を持ち、これらの固有値が減衰する物理状態に対応すると主張されています。このアプローチにはさまざまな困難が伴い、正確に解けるモデルがほんの一握りしかうまく機能しません。^[4]

散逸系の研究で使用される抽象的な数学的ツールには、混合、放浪集合、および一般的なエルゴード理論の定義が含まれます。

ロシュミットのパラドックスに対処するための1つのアプローチは、デニス・エヴァンスとデブラ・サールズによって発見的に導き出されたゆらぎ定理であり、これは、平衡状態から離れたシステムが、一定の時間内に散逸関数（多くの場合、エントロピーのような特性）に対して特定の値をとる確率を数値的に推定するものである。^[5]この結果は、正確な時間可逆な動力学運動方程式と普遍的因果関係命題によって得られる。ゆらぎ定理は、動力学が時間可逆であるという事実を利用して得られる。^{[要出典]この定理の定量的な予測は、}オーストラリア国立大学でエディス・M・セビックらが光ピンセット装置を使用して行った実験室実験で確認されている。^[6]この定理は、最初は平衡状態にあり、その後平衡から外れる可能性のある過渡システム（セビックらによる最初の実験の場合のように）や、平衡に向かう緩和を含む他の任意の初期状態にも適用できます。また、常に非平衡定常状態にあるシステムに対しても漸近的な結果が得られます。

ゆらぎ定理には、ロシュミットがパラドックスを定式化した方法とは異なる重要な点があります。ロシュミットは単一の軌道を観測する確率を考慮しましたが、これは位相空間内の単一の点を観測する確率について調べることに似ています。どちらの場合も、確率は常にゼロです。これを効果的に処理するには、位相空間の小さな領域内の点の集合、または軌道の集合の確率密度を考慮する必要があります。ゆらぎ定理は、最初は位相空間の極小領域にあるすべての軌道の確率密度を考慮します。これは、初期の確率分布と、システムが進化するにつれて行われる散逸に応じて、順方向または逆方向の軌道の集合のいずれかで軌道を見つける確率に直接つながります。このアプローチの重要な違いにより、ゆらぎ定理はパラドックスを正しく解決できます。

より最近の提案は、速度が逆転するパラドックスの段階に焦点を当てている。その瞬間、ガスは開放系となり、速度を逆転させるためには、位置と速度の測定を行わなければならない。^[7]これがなければ、逆転は不可能である。これらの測定は、それ自体が不可逆か可逆かのいずれかである。前者の場合、測定装置におけるエントロピーの増加が必要であり、少なくともガスの逆転進化中の減少を相殺する。後者の場合、ランダウアーの原理を援用して同じ結論に達することができる。したがって、ガス+測定装置システムは熱力学第二法則に従う。この議論が、マクスウェルの悪魔を説明するためにベネットが示した別の議論と非常によく似ているのは偶然ではない。違いは、測定の役割がマクスウェルの悪魔では明白であるが、ロシュミットのパラドックスでは明白ではないということであり、これが両方の説明の間の40年のギャップを説明できるかもしれない。単一軌道パラドックスの場合、この議論は他の説明の必要性を否定しますが、他の説明の中には正当な主張をしているものもあります。より広範なパラドックスである「不可逆なプロセスは可逆的なダイナミクスから推論することはできない」は、このセクションで示されている議論では扱われていません。

ロシュミットのパラドックスに対処する別の方法は、第二法則を、私たちの宇宙の時間座標が低エントロピーの開始点であるビッグバンを持つ一連の境界条件の表現として見ることです。この観点から、時間の矢印はビッグバンから離れる方向によって完全に決定され、最大エントロピーのビッグバンを持つ仮想の宇宙には時間の矢印はありません。宇宙インフレーション理論は、初期宇宙のエントロピーがなぜそれほど低かったのかを説明しようとします。

• エントロピー、可逆性、第二法則に関する特定の観点からの最大エントロピー熱力学
• ポアンカレの再帰定理
• 可逆性
• 統計力学

• J. ロシュミット、シッツングスバー。カイス。アカド。ウィス。ウィーン、数学。ナチュラルウィス。クラス 73、128–142 (1876)

• マーク・タッカーマンによる可逆的な運動法則と時間の矢
• エントロピー増加を示す時間可逆な離散ダイナミクスを持つおもちゃのシステム フィボナッチ反復マップ; イジング-コンウェイゲーム