整合漸近展開法

数学において、整合漸近展開法^[1]は、方程式または方程式系の解の正確な近似値を求める一般的なアプローチです。この方法は、特異摂動 微分方程式を解くときに特に使用されます。この方法では、独立変数の範囲の一部に対してそれぞれ有効 (つまり正確) な複数の異なる近似解を求め、次にこれらの異なる解を組み合わせて、独立変数の値の全範囲に対して有効な単一の近似解を求めます。ロシアの文献では、これらの方法は「中間漸近法」という名前で知られ、ヤコフ・ゼルドヴィッチとグリゴリー・バレンブラットの研究で導入されました。

特異摂動問題の大規模なクラスでは、ドメインが2 つ以上のサブドメインに分割される場合があります。これらのサブドメインの 1 つ (多くの場合、最大のサブドメイン) では、問題を通常の摂動として扱う (つまり、比較的小さなパラメーターを 0 に設定する) ことによって得られる漸近級数^[2]によって、解が正確に近似されます。他のサブドメインは、その近似が不正確な 1 つ以上の小さな領域で構成されます。これは通常、問題内の摂動項が無視できないためです。これらの領域は一般に遷移層と呼ばれ、特に、ドメイン境界で発生するか (アプリケーションでは通常の場合)、ドメイン内で発生するかによって、境界層 または内部層と呼ばれます。

遷移層では、その部分を別の摂動問題として扱うことで、漸近級数の形で近似値が得られます。この近似値は内部解と呼ばれ、もう 1 つは遷移層との関係から外部解と呼ばれます。外部解と内部解は「マッチング」と呼ばれるプロセスを通じて結合され、領域全体の近似解が得られます。^{[3] [4] [5] [6]}

境界値問題 を考えます 。ここで、 は0 から 1 の範囲の独立時間変数 の関数であり、境界条件はおよび であり、 はとなる小さなパラメータです。 $${\displaystyle \varepsilon y''+(1+\varepsilon )y'+y=0,}$$${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle y(1)=1}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$

は非常に小さいので、最初のアプローチは方程式を通常の摂動問題として扱うことです。つまり、近似を行い、問題の解を見つけます。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon =0}$$${\displaystyle y'+y=0.}$$

あるいは、と が両方ともO (1)の大きさのとき、元の式の左辺の4 つの項の大きさはそれぞれ、O (1)、O ( 1) であると考える。したがって、この時間スケールでの主要な次数バランスは、区別された極限で有効であり、第 2 項と第 4 項で与えられる。${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle O(\varepsilon )}$${\displaystyle O(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$${\displaystyle y'+y=0.}$

これは、ある定数 に対して解を持ちます 。境界条件 を適用すると、 が得られ、境界条件 を適用すると、 が得られます。したがって、両方の境界条件を満たすことは不可能であるため、 は領域全体にわたって有効な近似値ではありません (つまり、これは特異摂動問題です)。このことから、 が含まれる必要がある領域の端点の 1 つに境界層が存在する必要があることが推測されます。この領域は となり、は独立変数 と比較して無視できなくなり、つまり とは同程度の大きさになります。つまり、境界層は に隣接します。したがって、この外側の領域にはもう 1 つの境界条件が適用されるため、 、つまりは、この外側の領域における元の境界値問題に対する正確な近似解となります。これは主要次数解です。 $${\displaystyle y=Ae^{-t}}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle A=0}$${\displaystyle y(1)=1}$${\displaystyle A=e}$${\displaystyle \varepsilon =0}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle y(1)=1}$${\displaystyle A=e}$${\displaystyle y_{\mathrm {O} }=e^{1-t}}$

内側の領域では、と はどちらも小さいが、同程度の大きさなので、新しいO (1) 時間変数を定義します。を に置き換えて元の境界値問題を再スケールすると、問題は次のようになります 。 を で乗じて を取る と、 ${\displaystyle t}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \tau =t/\varepsilon }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \tau \varepsilon }$$${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}y''(\tau )+\left({1+\varepsilon }\right){\frac {1}{\varepsilon }}y'(\tau )+y(\tau )=0,}$$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon =0}$$${\displaystyle y''+y'=0.}$$

あるいは、 がに縮小したとき、 は依然としてO (1) の大きさ（ の式を使用）であり、したがって元の式の左辺の 4 つの項はそれぞれ、、O (1)、O (1) の大きさである。したがって、この時間スケールでの主要な次数バランスは、区別された極限 で有効であり、第 1 項と第 2 項によって与えられる。すなわち、${\displaystyle t}$${\displaystyle O(\varepsilon )}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y_{\mathrm {O} }}$${\displaystyle O(\varepsilon ^{-1})}$${\displaystyle O(\varepsilon ^{-1})}$${\displaystyle \varepsilon \to 0}$${\displaystyle y''+y'=0.}$

これは、いくつかの定数とに対して解を持ちます 。この内側領域に が適用されるので、 となり、この内側領域における元の境界値問題の正確な近似解（主要次数解）は次のようになります。 $${\displaystyle y=B-Ce^{-\tau }}$$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle B=C}$$${\displaystyle y_{\mathrm {I} }=B\left({1-e^{-\tau }}\right)=B\left({1-e^{-t/\varepsilon }}\right).}$$

マッチングを使用して定数 の値を見つけます。マッチングの考え方は、の中間領域（または重なり合う領域）で の内側の解と外側の解が一致するというものです。内側の解の外側の極限が外側の解の内側の極限と一致する必要があります 。 つまり、 となります。${\displaystyle B}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varepsilon \ll t\ll 1}$$${\displaystyle \lim _{\tau \to \infty }y_{\mathrm {I} }=\lim _{t\to 0}y_{\mathrm {O} },}$$${\displaystyle B=e}$

上記の問題は、マッチした漸近展開を扱う最も単純な問題です。 は外側の領域の漸近級数全体であり、内側の解の補正は であり、積分定数は内側と外側のマッチングから取得する必要があることがすぐに計算できます。 ${\displaystyle e^{1-t}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(\varepsilon )}$${\displaystyle y_{\mathrm {I} }}$${\textstyle B(1-e^{-t/\varepsilon })}$${\displaystyle B}$

限界を取るというマッチングの直感的な考え方は、このレベルでは適用されないことに注意してください。これは、下線付きの項が限界に収束しないからです。このようなケースで従うべき方法は、a) 中間変数の方法を選択するか、b) Van-Dyke マッチング規則を使用するかのいずれかです。前者の方法は面倒ですが常に機能しますが、Van-Dyke マッチング規則は実装が簡単ですが、適用範囲が限られています。すべての必須要素を備えた具体的な境界値問題は次のとおりです。 ${\textstyle \lim _{\tau \to \infty }y_{\mathrm {I} }=\lim _{t\to 0}y_{\mathrm {O} },}$

境界値問題を考える $${\displaystyle \varepsilon y''-x^{2}y'-y=1,\quad y(0)=y(1)=1}$$

従来の外部展開では となり、 はマッチングから取得する必要があります。 ${\displaystyle y_{\mathrm {O} }=y_{0}+\varepsilon y_{1}+\cdots }$${\displaystyle y_{0}=\alpha e^{1/x}-1}$${\displaystyle \alpha }$

この問題には、左側と右側の両方に境界層があります。 近くの左側の境界層の厚さはで、 近くの右側の境界層の厚さは です。まず を再スケーリングして左側の境界層上の解を計算します。すると、左側で が満たす微分方程式は となり 、それに応じて展開 を仮定します。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \varepsilon ^{1/2}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle X=x/\varepsilon ^{1/2},\;Y=y}$$${\displaystyle Y''-\varepsilon ^{1/2}X^{2}Y'-Y=1,\quad Y(0)=1}$$${\displaystyle Y^{l}=Y_{0}^{l}+\varepsilon ^{1/2}Y_{1/2}^{l}+\cdots }$

左側の不同次条件により、展開を から開始する理由がわかります。主要次数の解は です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle Y_{0}^{l}=2e^{-X}-1}$

これをヴァンダイクマッチングすると、 となります。 ${\displaystyle 1-1}$${\displaystyle \alpha =0}$

をスケール変更して右側の解を計算してみましょう。すると、右側で満たす微分方程式はとなり 、それに応じて展開を仮定します。 ${\displaystyle X=(1-x)/\varepsilon ,\;Y=y}$$${\displaystyle Y''+\left(1-2\varepsilon X+\varepsilon ^{2}X^{2}\right)Y'-\varepsilon Y=\varepsilon ,\quad Y(1)=1,}$$$${\displaystyle Y^{r}=Y_{0}^{r}+\varepsilon Y_{1}^{r}+\cdots .}$$

右側の不同次条件は、展開を から開始する理由となります。主要次数の解は です。これにvan-Dyke マッチングを加えると となります。同様の方法で、高次の補正を計算すると、次のような解が得られます 。${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle Y_{0}^{r}=(1-B)+Be^{-X}}$${\displaystyle 1-1}$${\displaystyle B=2}$$${\displaystyle Y^{l}=2e^{-X}-1+\varepsilon ^{1/2}e^{-X}\left({\frac {X^{3}}{3}}+{\frac {X^{2}}{2}}+{\frac {X}{2}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),\quad X={\frac {x}{\varepsilon ^{1/2}}}.}$$ $${\displaystyle y\equiv -1.}$$ $${\displaystyle Y^{r}=2e^{-X}-1+2\varepsilon e^{-X}\left(X+X^{2}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}),\quad X={\frac {1-x}{\varepsilon }}.}$$

領域全体で有効な、最終的な一致した複合解を得るための一般的な方法の 1 つは、均一法です。この方法では、内側近似値と外側近似値を加算し、それらの重なり合う値 を減算します。この値は、そうでなければ 2 回カウントされます。重なり合う値は、内側境界層解の外側の限界値と、外側解の内側の限界値です。これらの限界値は、上で に等しいことがわかっています。したがって、この境界値問題に対する最終的な近似解は、次のようになります。 ${\displaystyle \,y_{\mathrm {overlap} }}$${\displaystyle e}$$${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {I} }+y_{\mathrm {O} }-y_{\mathrm {overlap} }=e\left({1-e^{-t/\varepsilon }}\right)+e^{1-t}-e=e\left({e^{-t}-e^{-t/\varepsilon }}\right).}$$

この式は、がおよびO (1) のときに、それぞれおよびの式に正しく簡約されることに注意してください。${\displaystyle y_{\mathrm {I} }}$${\displaystyle y_{\mathrm {O} }}$${\displaystyle t}$${\displaystyle O(\varepsilon )}$

この最終解は、問題の元の微分方程式を満たします (元の方程式に方程式とその導関数を代入することで示されます)。また、この最終解によって生成される境界条件は、定数倍まで問題で指定された値と一致します。これは、解の一意性により、一致した漸近解が定数倍まで正確な解と同じであることを意味します。これは必ずしも常に当てはまるわけではなく、残りの項は として一様にゼロになるはずです。 ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$

このソリューションは、手近の問題をうまく近似的に解決するだけでなく、問題の正確な解に非常に近似します。この特定の問題では、 乗数定数によって近似解と同じ形式を持つ正確な解が簡単に見つかります。近似解は、正確な解を の累乗で二項展開した最初の項です。 $${\displaystyle y(t)={\frac {e^{-t}-e^{-t/\varepsilon }}{e^{-1}-e^{-1/\varepsilon }}},}$$${\displaystyle e^{1-1/\varepsilon }}$

都合よく、境界層（および が大きい場合）は、先ほど想定したとおり の近くにあることがわかります。境界層がもう一方の端点にあると想定して を再スケーリングして進めた場合、結果として得られるマッチング条件を満たすことは不可能であることがわかったでしょう。多くの問題では、このような試行錯誤が境界層の真の位置を決定する唯一の方法です。^[3]${\displaystyle y'}$${\displaystyle y''}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \tau =(1-t)/\varepsilon }$

上記の問題は、従属変数が 1 つだけの単一の方程式であり、解に境界層が 1 つあるため、単純な例です。より難しい問題では、複数の方程式のシステム内に複数の共従属変数が含まれていたり、解に複数の境界層や内部層が含まれていたりすることがあります。

多くの場合、外部解と内部解の両方の漸近展開において、より多くの項を見つけることが望ましい。これらの展開の適切な形式は必ずしも明らかではない。 のべき級数展開が機能する一方で、 の分数べき、などの関数を含む適切な形式が時々ある。上記の例のように、マッチングによって決定する必要があるいくつかの係数を持つ外部展開と内部展開を得る。^[7]${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \log \varepsilon }$

整合漸近展開法（共通妥当性領域における解の整合）は、周期ポテンシャルを持つシュレーディンガー型2階微分方程式の解と特性数（バンド境界）の漸近展開の導出のために、ディングルとミュラー＝キルステンによって開発され、広く使用されている。特に、マシュー方程式^[8]（最良例）、ラメ波動方程式と楕円波動方程式^[9] 、扁平^[10]および長楕円^[11]球状波動方程式、および非調和ポテンシャルを持つ方程式で広く使用されている。^[12]

整合漸近展開法は、特異摂動を受けた2階微分方程式であるスモルホフスキー対流拡散方程式の近似解を求めるために開発されてきた。この問題は、特に線形流れ場におけるコロイド粒子の文脈で研究されており、変数は試験粒子の周りの対流分布関数によって与えられる。低ペクレ数の極限では、対流拡散方程式は、流れ場が粒子間分離において線形であるため、無限距離（通常は遠距離境界条件が配置されるべき場所）でも特異点を示す。この問題は、Jan Dhont が示したように、空間フーリエ変換によって回避できる。^[13] この問題を解く別のアプローチは、Alessio Zaccone と同僚によって開発され、対流が支配的である外層での対流により（1次近似で）対流分布関数の値が一定であると仮定して、境界層距離に境界条件を配置するというものである。これにより、線形流れ場における2つの相互作用するコロイド粒子の遭遇率の近似理論が導かれ、完全な数値解とよく一致する。 ^[14] ペクレ数が1より大幅に大きい場合、無限遠距離での特異性はもはや発生せず、整合漸近法を適用して、領域全体にわたるペア分布関数の完全な解を構築することができる。 ^{[15] [16]}

• 漸近解析
• 多重スケール分析
• 活性化エネルギー漸近