シリンダー

シリンダー
高さh、直径d =2 rの直円筒
タイプ	滑らかな表面 代数面
オイラー文字。	2
対称グループ	O(2)×O(1)
表面積	2πr(r + h)
音量	πr 2時間

円筒（古代ギリシャ語のκύλινδρος （kúlindros）  「ローラー、タンブラー」に由来）^[1]は、伝統的に3次元の立体であり、最も基本的な曲線幾何学形状の1つです。初等幾何学では、円を底辺とする 角柱と考えられています。

円筒は、幾何学や位相幾何学のさまざまな現代の分野では、無限の曲面として定義されることもあります。基本的な意味が固体と表面（固体の球と球面など）に変わったことで、用語に多少の曖昧さが生じています。この 2 つの概念は、固体円筒と円筒面と呼ばれることで区別できます。文献では、簡素な用語「円筒」は、これらのいずれかを指す場合もあれば、さらに特殊なオブジェクトである直円筒を指す場合もあります。

このセクションの定義と結果は、 George A. Wentworthと David Eugene Smith による1913 年のテキスト「Plane and Solid Geometry」 (Wentworth & Smith 1913) から引用されています。

円筒面は、与えられた直線に平行で、かつその直線に平行でない平面上の固定された平面曲線を通過するすべての直線上のすべての点で構成される面です。この平行線族の任意の直線は、円筒面の要素と呼ばれます。運動学の観点からは、準線と呼ばれる平面曲線が与えられた場合、円筒面は、準線の平面上になく、準線自体に平行に移動し、常に準線を通過する、母線と呼ばれる線によって描かれる面です。母線の任意の特定の位置は、円筒面の要素です。

円筒面と 2 つの平行な平面で囲まれた立体を(立体)円筒といいます。円筒面の要素によって 2 つの平行な平面の間に決定される線分は、円筒の要素と呼ばれます。円筒のすべての要素の長さは等しくなります。平行な平面のいずれかで円筒面によって囲まれた領域は、円筒の底と呼ばれます。円筒の 2 つの底は合同な図形です。円筒の要素が底を含む平面に垂直である場合、円筒は直円筒と呼ばれ、そうでない場合は斜円筒と呼ばれます。底が円板(境界が円である領域) である場合、円筒は円柱 と呼ばれます。いくつかの基本的な取り扱いでは、円筒は常に円柱を意味します。^[2]

円柱の高さ（または高度）は、円柱の底面間の垂直距離です。

線分を、平行な固定線を中心に回転させて得られる円筒を回転円筒といいます。回転円筒は直円柱です。回転円筒の高さは、母線の長さです。線分が回転する中心となる線は円筒の軸と呼ばれ、2 つの底の中心を通ります。

単に「円筒」という語は、軸に対して垂直な円形の両端を持つ中実の円筒、つまり図に示すように直円筒を指すことが多い。両端のない円筒面は開円筒と呼ばれる。直円筒の表面積と体積の公式は古代から知られていた。

直円柱は、長方形をその一辺を中心に回転させて生成される回転体と考えることもできる。これらの円筒は、回転体の体積を求める積分法（「ディスク法」）で使用される。 ^[3]

高くて細いニードルシリンダーは高さが直径よりはるかに大きいのに対し、短くて幅の広いディスクシリンダーは直径が高さよりはるかに大きいです。

円筒断面は、円筒の表面と平面の交差です。これらは一般に曲線であり、平面断面の特殊なタイプです。円筒の2つの要素を含む平面による円筒断面は平行四辺形です。^[4]このような直円筒の円筒断面は長方形です。^[4]

交差面が円筒のすべての要素と交差し、それらに垂直である円筒断面は、直断面と呼ばれます。^[5]円筒の直断面が円であれば、その円筒は円柱です。より一般的には、円筒の直断面が円錐断面（放物線、楕円、双曲線）である場合、その立体円筒はそれぞれ放物線、楕円、双曲面であると言われます。

直円柱の場合、平面が円柱と交わる方法はいくつかあります。まず、底面と最大 1 点で交わる平面です。平面が円柱と 1 つの要素で交わる場合、その平面は円柱に接します。直断面は円で、その他の平面はすべて楕円形で円柱面と交わります。^[6]平面が円柱の底面とちょうど 2 点で交わる場合、これらの点を結ぶ線分は円柱断面の一部です。このような平面に 2 つの要素が含まれる場合、その平面の円柱断面は長方形になります。それ以外の場合、円柱断面の側面は楕円の一部になります。最後に、平面に底面の 3 点以上が含まれる場合、その平面には底面全体が含まれ、円柱断面は円になります。

楕円形の円筒断面を持つ直円筒の場合、円筒断面の離心率 eと円筒断面の長半径 a は、円筒の半径rと割線平面と円筒軸の間の 角度αによって次のように決まります。$${\displaystyle {\begin{aligned}e&=\cos \alpha ,\\[1ex]a&={\frac {r}{\sin \alpha }}.\end{aligned}}}$$

円柱の底の半径がr で、高さがhの場合、その体積は次のように表される。 $${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$$

この式は円柱が直円柱であるかどうかに関わらず成り立ちます。^[7]

この式は、カヴァリエリの原理を使用して確立することができます。

より一般的には、同じ原理により、あらゆる円筒の体積は底面積と高さの積になります。たとえば、底辺の長半径が a、短半径がb、高さがhの楕円円筒の体積はV = Ahです。ここで、A は底辺の楕円の面積 (= π ab ) です。直楕円円筒のこの結果は積分によっても得られます。ここで、円筒の軸は正のx軸とされ、A ( x ) = A は各楕円断面の面積です。つまり、 $${\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}$$

円筒座標を用いると、直円柱の体積は積分によって計算できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz\\[5mu]&=\pi \,r^{2}\,h.\end{aligned}}}$$

半径r、高さh を持ち、軸が垂直になるように配置された直円筒の 表面積は、次の 3 つの部分で構成されます。

• 上底の面積: π r ²
• 底面積: π r ²
• 辺の面積: 2π rh

上底と下底の面積は同じで、底面積Bと呼ばれます。側面の面積は側面積Lと呼ばれます。

開いた円筒には上部要素も下部要素も含まれず、したがって表面積（側面積）は $${\displaystyle L=2\pi rh}$$

直円柱の表面積は、上面、底面、側面の 3 つの要素の合計です。したがって、その表面積は d = 2 r で、円柱の上部または下部の 直径です。$${\displaystyle A=L+2B=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)=\pi d(r+h)}$$

与えられた体積に対して、表面積が最小の直円柱はh = 2 rです。同様に、与えられた表面積に対して、最大の体積を持つ直円柱はh = 2 rです。つまり、この円柱は、辺の長さ = 高度（ = 底円の直径）の立方体にぴったり収まります。^[8]

円筒（直円筒である必要はない）の 側面積Lは、より一般的には次のように表される。 ここでeは要素の長さ、pは円筒の直断面の周囲長である。^[9]これにより、円筒が直円筒である場合の側面積の前述の式が得られる。 $${\displaystyle L=e\times p,}$$

直円筒（または円筒殻）は、図に示すように、 同じ軸を持つ 2 つの直円筒と、円筒の共通軸に垂直な 2 つの平行な環状底によって囲まれた 3 次元領域です。

高さをh、内半径をr、外半径をRとすると、体積は次のように表される。したがって、円筒形の体積は2π ×平均半径 ×高度 ×厚さに等しい 。^[10]$${\displaystyle V=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(R-r).}$$  

上面と底面を含む表面積は次のように表されます。 円筒殻は回転体の体積を求めるための一般的な積分手法で使用されます。^[11]$${\displaystyle A=2\pi \left(R+r\right)h+2\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$$

 紀元前225年頃に書かれたこの名の論文で、アルキメデスは彼が最も誇りに思う結果、すなわち、球と、同じ高さと直径を持つその外接直円柱との関係を利用して、球の体積と表面積の公式を得たことを成し遂げた。球の体積は外接円柱の3分の2、表面積は 円柱（底辺を含む）の3分の2である。円柱の値は既にわかっていたため、アルキメデスは初めて球の対応する値を得た。半径rの球の体積は⁠ 4/3⁠ π r ³ = ⁠2/3⁠ (2 π r ³ )。この球の表面積は4 π r ² = ⁠2/3⁠ (6 π r ² )。アルキメデスの要望により、彫刻された球体と円筒が彼の墓に置かれました。

幾何学と位相幾何学のいくつかの分野では、円筒 という用語は円筒面と呼ばれるものを指します。円筒は、与えられた直線に平行で、かつ与えられた直線に平行ではない平面内の固定された平面曲線を通過するすべての直線上のすべての点で構成される表面として定義されます。^{[12]このような円筒は、}一般化円筒と呼ばれることもあります。一般化円筒の各点には、円筒に含まれる一意の線引き面が通っています。^[13]したがって、この定義は、円筒とは、1 つのパラメータを持つ平行線族によって張られる 任意の線引き面であると言い換えることができます。

断面が楕円、放物線、双曲線である円柱は、それぞれ楕円柱、放物線柱、双曲面 と呼ばれます。これらは退化した二次曲面です。^[14]

二次曲面の主軸が基準フレームと一致している場合（二次曲面ではいつでも可能）、3次元における二次曲面の一般方程式は次のように表される。 係数は実数であり、 A、B、Cのすべてが0になるわけではない。方程式に少なくとも1つの変数が現れない場合、二次曲面は退化している。1つの変数が欠けている場合は、軸を適切に回転させることにより、変数zが現れないと仮定することができ、このタイプの退化した二次曲面の一般方程式は次のように表される^[15] 。ここで $${\displaystyle f(x,y,z)=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,}$$ $${\displaystyle A\left(x+{\frac {D}{2A}}\right)^{2}+B\left(y+{\frac {E}{2B}}\right)^{2}=\rho ,}$$$${\displaystyle \rho =-H+{\frac {D^{2}}{4A}}+{\frac {E^{2}}{4B}}.}$$

AB > 0の場合、これは楕円柱の方程式です。^[15]軸の移動とスカラー乗算によってさらに簡略化できます。 が係数AおよびBと同じ符号を持つ場合、楕円柱の方程式は直交座標で次のように書き直すことができます。 この楕円柱の方程式は、通常の円柱( a = b ) の方程式を一般化したものです。楕円柱はシリンドロイドとも呼ばれますが、この名前は曖昧で、プルッカー円錐体を指すこともあります。 ${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

が係数と異なる符号を持つ場合、 実点を持たない虚楕円柱が得られます。 (は単一の実点を与えます。) ${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,}$$${\displaystyle \rho =0}$

AとB が異なる符号を持ち、である場合、双曲円柱が得られ、その方程式は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle \rho \neq 0}$$${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

最後に、AB = 0の場合、一般性を失うことなく、B = 0、A = 1と仮定すると、次のように表される方程式を持つ放物面円筒が得られます。 ^[16] $${\displaystyle x^{2}+2ay=0.}$$

射影幾何学では、円柱は頂点が無限遠平面上にある円錐である。円錐が2次円錐の場合、（頂点を通る）無限遠平面は、2本の実数直線、1本の実数直線（実際には一致する2本の直線）、または頂点のみで円錐と交差する。これらの場合はそれぞれ、双曲面、放物面、楕円面の円柱となる。^[17]

この概念は、円筒円錐曲線を含む可能性のある 退化した円錐曲線を検討するときに役立ちます。

中実の円柱は、 nが無限大に近づくn 角柱の極限ケースと見ることができます。この関係は非常に強く、多くの古いテキストでは角柱と円柱を同時に扱っています。表面積と体積の公式は、内接角柱と外接角柱を使用し、角柱の辺の数を際限なく増加させることにより、角柱の対応する公式から導き出されます。^[18]円柱が初期に強調され（時には排他的に扱われ）、その理由の 1 つは、円形の底辺が、この手法が基本的な考慮のみを使用して（微積分やより高度な数学に頼らずに）機能する唯一の幾何学的図形であるためです。角柱と円柱に関する用語は同じです。したがって、たとえば、切頂角柱は底辺が平行平面にない角柱であるため、底辺が平行平面にない中実の円柱は切頂角柱と呼ばれます。

多面体の観点から見ると、円柱は、無限辺を持つ両錐体である双円錐の双対として見ることもできます。

• 図形のリスト
• シュタインメッツ立体、2つまたは3つの垂直な円筒の交差

ウィキメディア・コモンズには、円柱 (幾何学) に関連するメディアがあります。

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ウィキソースには、1911 年のブリタニカ百科事典の記事「シリンダー」のテキストがあります。

• ワイスタイン、エリック・W.「シリンダー」。マスワールド。
• MATHguide の円柱の表面積
• MATHguide の円柱の体積