Currying

In mathematics and computer science, currying is the technique of translating a function that takes multiple arguments into a sequence of families of functions, each taking a single argument.

In the prototypical example, one begins with a function $f:(X\times Y)\to Z$ that takes two arguments, one from $X$ and one from $Y,$ and produces objects in $Z.$ The curried form of this function treats the first argument as a parameter, so as to create a family of functions $f_{x}:Y\to Z.$ The family is arranged so that for each object $x$ in $X,$ there is exactly one function $f_{x}$ , such that for any $y$ in $Y$ , $f_{x}(y)=f(x,y)$ .

In this example, ${\mbox{curry}}$ itself becomes a function that takes $f$ as an argument, and returns a function that maps each $x$ to $f_{x}.$ The proper notation for expressing this is verbose. The function $f$ belongs to the set of functions $(X\times Y)\to Z.$ Meanwhile, $f_{x}$ belongs to the set of functions $Y\to Z.$ Thus, something that maps $x$ to $f_{x}$ will be of the type $X\to [Y\to Z].$ With this notation, ${\mbox{curry}}$ is a function that takes objects from the first set, and returns objects in the second set, and so one writes ${\mbox{curry}}:[(X\times Y)\to Z]\to (X\to [Y\to Z]).$ This is a somewhat informal example; more precise definitions of what is meant by "object" and "function" are given below. These definitions vary from context to context, and take different forms, depending on the theory that one is working in.

Currying is related to, but not the same as, partial application.^[1]^[2] The example above can be used to illustrate partial application; it is quite similar. Partial application is the function ${\mbox{適用}}$ that takes the pair $f$ and $x$ together as arguments, and returns $f_{x}.$ Using the same notation as above, partial application has the signature ${\mbox{apply}}:([(X\times Y)\to Z]\times X)\to [Y\to Z].$ Written this way, application can be seen to be adjoint to currying.

The currying of a function with more than two arguments can be defined by induction.

Currying is useful in both practical and theoretical settings. In functional programming languages, and many others, it provides a way of automatically managing how arguments are passed to functions and exceptions. In theoretical computer science, it provides a way to study functions with multiple arguments in simpler theoretical models which provide only one argument. The most general setting for the strict notion of currying and uncurrying is in the closed monoidal categories, which underpins a vast generalization of the Curry–Howard correspondence of proofs and programs to a correspondence with many other structures, including quantum mechanics, cobordisms, and string theory.^[3]

The concept of currying was introduced by Gottlob Frege,^[4]^[5] developed by Moses Schönfinkel,^[6]^[5]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11] and further developed by Haskell Curry.^[8]^[10]^[12]^[13]

Uncurrying is the dual transformation to currying, and can be seen as a form of defunctionalization. It takes a function $f$ whose return value is another function $g$ , and yields a new function $f'$ that takes as parameters the arguments for both $f$ and $g$ , and returns, as a result, the application of $f$ and subsequently, $g$ , to those arguments. The process can be iterated.

Motivation

Currying provides a way for working with functions that take multiple arguments, and using them in frameworks where functions might take only one argument. For example, some analytical techniques can only be applied to functions with a single argument. Practical functions frequently take more arguments than this. Frege showed that it was sufficient to provide solutions for the single argument case, as it was possible to transform a function with multiple arguments into a chain of single-argument functions instead. This transformation is the process now known as currying.^[14] All "ordinary" functions that might typically be encountered in mathematical analysis or in computer programming can be curried. However, there are categories in which currying is not possible; the most general categories which allow currying are the closed monoidal categories.

Some programming languages almost always use curried functions to achieve multiple arguments; notable examples are ML and Haskell, where in both cases all functions have exactly one argument. This property is inherited from lambda calculus, where multi-argument functions are usually represented in curried form.

Currying is related to, but not the same as partial application.^[1]^[2] In practice, the programming technique of closures can be used to perform partial application and a kind of currying, by hiding arguments in an environment that travels with the curried function.

History

The "Curry" in "Currying" is a reference to logician Haskell Curry, who used the concept extensively, but Moses Schönfinkel had the idea six years before Curry.^[10] The alternative name "Schönfinkelisation" has been proposed.^[15] In the mathematical context, the principle can be traced back to work in 1893 by Frege.^[4]^[5]

The originator of the word "currying" is not clear. David Turner says the word was coined by Christopher Strachey in his 1967 lecture notes Fundamental Concepts in Programming Languages,^[16] but that source introduces the concept as "a device originated by Schönfinkel", and the term "currying" is not used, while Curry is mentioned later in the context of higher-order functions.^[7]John C. Reynolds defined "currying" in a 1972 paper, but did not claim to have coined the term.^[8]

Definition

Currying is most easily understood by starting with an informal definition, which can then be molded to fit many different domains. First, there is some notation to be established. The notation $X\to Y$ denotes all functions from $X$ to $Y$ . If $f$ is such a function, we write $f\colon X\to Y$ . Let $X\times Y$ denote the ordered pairs of the elements of $X$ and $Y$ respectively, that is, the Cartesian product of $X$ and $Y$ . Here, $X$ and $Y$ may be sets, or they may be types, or they may be other kinds of objects, as explored below.

Given a function

f\colon (X\times Y)\to Z

,

currying constructs a new function

g\colon X\to (Y\to Z)

.

That is, $g$ takes an argument of type $X$ and returns a function of type $Y\to Z$ . It is defined by

g(x)(y)=f(x,y)

for $x$ of type $X$ and $y$ of type $Y$ . We then also write

\displaystyle {\text{curry}}(f)=g.}

Uncurrying is the reverse transformation, and is most easily understood in terms of its right adjoint, the function $\operatorname {適用} 。$

Set theory

In set theory, the notation $Y^{X}$ is used to denote the set of functions from the set $X$ to the set $Y$ . Currying is the natural bijection between the set $\displaystyle A^{B\times C}}$ of functions from $B\times C$ to $A$ , and the set $(A^{C})^{B}$ of functions from $B$ to the set of functions from $C$ to $A$ . In symbols:

A^{B\times C}\cong (A^{C})^{B}

Indeed, it is this natural bijection that justifies the exponential notation for the set of functions. As is the case in all instances of currying, the formula above describes an adjoint pair of functors: for every fixed set $C$ , the functor $B\mapsto B\times C$ is left adjoint to the functor $A\mapsto A^{C}$ .

In the category of sets, the object $Y^{X}$ is called the exponential object.

Function spaces

In the theory of function spaces, such as in functional analysis or homotopy theory, one is commonly interested in continuous functions between topological spaces. One writes ${\text{Hom}}(X,Y)$ (the Hom functor) for the set of all functions from $X$ to $Y$ , and uses the notation $Y^{X}$ to denote the subset of continuous functions. Here, $\displaystyle {\text{カレー}}}$ is the bijection

{\text{curry}}:{\text{Hom}}(X\times Y,Z)\to {\text{Hom}}(X,{\text{Hom}}(Y,Z)),

while uncurrying is the inverse map. If the set $Y^{X}$ of continuous functions from $X$ to $Y$ is given the compact-open topology, and if the space $Y$ is locally compact Hausdorff, then

\displaystyle {\text{curry}}:Z^{X\times Y}\to (Z^{Y})^{X}}

is a homeomorphism. This is also the case when $X$ , $Y$ and $Y^{X}$ are compactly generated,^[17]^{:chapter 5}^[18] although there are more cases.^[19]^[20]

One useful corollary is that a function is continuous if and only if its curried form is continuous. Another important result is that the application map, usually called "evaluation" in this context, is continuous (note that eval is a strictly different concept in computer science.) That is,

${\begin{aligned}&&{\text{eval}}:Y^{X}\times X\to Y\\&&(f,x)\mapsto f(x)\end{aligned}}$

is continuous when $Y^{X}$ is compact-open and $Y$ locally compact Hausdorff.^[21] These two results are central for establishing the continuity of homotopy, i.e. when $X$ is the unit interval $I$ , so that $Z^{I\times Y}\cong (Z^{Y})^{I}$ can be thought of as either a homotopy of two functions from $Y$ to $Z$ , or, equivalently, a single (continuous) path in $Z^{Y}$ .

Algebraic topology

In algebraic topology, currying serves as an example of Eckmann–Hilton duality, and, as such, plays an important role in a variety of different settings. For example, loop space is adjoint to reduced suspensions; this is commonly written as

[\Sigma X,Z]\approxeq [X,\Omega Z]

where $[A,B]$ is the set of homotopy classes of maps $A\rightarrow B$ , and $\Sigma A$ is the suspension of A, and $\Omega A$ is the loop space of A. In essence, the suspension $\Sigma X$ can be seen as the cartesian product of $X$ with the unit interval, modulo an equivalence relation to turn the interval into a loop. The curried form then maps the space $X$ to the space of functions from loops into $Z$ , that is, from $X$ into $\Omega Z$ .^[21] Then $\displaystyle {\text{カレー}}}$ is the adjoint functor that maps suspensions to loop spaces, and uncurrying is the dual.^[21]

The duality between the mapping cone and the mapping fiber (cofibration and fibration)^[17]^{:chapters 6,7} can be understood as a form of currying, which in turn leads to the duality of the long exact and coexact Puppe sequences.

In homological algebra, the relationship between currying and uncurrying is known as tensor-hom adjunction. Here, an interesting twist arises: the Hom functor and the tensor product functor might not lift to an exact sequence; this leads to the definition of the Ext functor and the Tor functor.

Domain theory

In order theory, the theory of lattices of partially ordered sets, $\displaystyle {\text{カレー}}}$ is a continuous function when the lattice is given the Scott topology.^[22] Scott-continuous functions were first investigated in the attempt to provide a semantics for lambda calculus (as ordinary set theory is inadequate to do this). More generally, Scott-continuous functions are now studied in domain theory, which encompasses the study of denotational semantics of computer algorithms. Note that the Scott topology is quite different than many common topologies one might encounter in the category of topological spaces; the Scott topology is typically finer, and is not sober.

The notion of continuity makes its appearance in homotopy type theory, where, roughly speaking, two computer programs can be considered to be homotopic, i.e. compute the same results, if they can be "continuously" refactored from one to the other.

Lambda calculi

In theoretical computer science, currying provides a way to study functions with multiple arguments in very simple theoretical models, such as the lambda calculus, in which functions only take a single argument. Consider a function $f(x,y)$ taking two arguments, and having the type $(X\times Y)\to Z$ , which should be understood to mean that x must have the type $X$ , y must have the type $Y$ , and the function itself returns the type $Z$ . The curried form of f is defined as

{\text{curry}}(f)=\lambda x.(\lambda y.(f(x,y)))

where $\lambda$ is the abstractor of lambda calculus. Since curry takes, as input, functions with the type $(X\times Y)\to Z$ , one concludes that the type of curry itself is

{\text{curry}}:((X\times Y)\to Z)\to (X\to (Y\to Z))

The → operator is often considered right-associative, so the curried function type $X\to (Y\to Z)$ is often written as $X\to Y\to Z$ . Conversely, function application is considered to be left-associative, so that $f(x,y)$ is equivalent to

(({\text{curry}}(f)\;x)\;y)={\text{curry}}(f)\;x\;y

.

That is, the parenthesis are not required to disambiguate the order of the application.

Curried functions may be used in any programming language that supports closures; however, uncurried functions are generally preferred for efficiency reasons, since the overhead of partial application and closure creation can then be avoided for most function calls.

Type theory

In type theory, the general idea of a type system in computer science is formalized into a specific algebra of types. For example, when writing $f\colon X\to Y$ , the intent is that $X$ and $Y$ are types, while the arrow $\to$ is a type constructor, specifically, the function type or arrow type. Similarly, the Cartesian product $X\times Y$ of types is constructed by the product type constructor $\times$ .

The type-theoretical approach is expressed in programming languages such as ML and the languages derived from and inspired by it: Caml, Haskell, and F#.

型理論に基づくアプローチは、後述するように、圏論の言語を自然に補完するものです。これは、圏、特にモノイド圏には内部言語があり、単純型付きラムダ計算がそのような言語の最も顕著な例であるためです。この文脈において重要なのは、ラムダ計算が単一の型コンストラクタである矢印型から構築できる点です。カリー化によって、この言語には自然積型が付与されます。圏内のオブジェクトと型との対応関係により、プログラミング言語を（カリー・ハワード対応を介して）論理体系として、また後述するように他の種類の数学体系として再解釈することが可能になります。

論理

カリー・ハワード対応の下では、カリー化と非カリー化の存在は、論理定理と同等である。 $((A\land B)\to C)\Leftrightarrow (A\to (B\to C))$ （エクスポートとも呼ばれる）タプル（積型）は論理における論理積に対応し、関数型は含意に対応する。

指数オブジェクト $Q^{P}$ ハイティング代数のカテゴリーでは、通常、実質含意として記述される。 $P\to Q$ 分配的ハイティング代数はブール代数であり、指数オブジェクトは明示的な形式を持つ。 $\neg P\lor Q$ それによって、指数オブジェクトが実際には物質的含意であることが明らかになる。^{[ 23 ]}

圏論

上記のカリー化と非カリー化の概念は、圏論において最も一般的で抽象的な形で表現される。カリー化は指数的対象の普遍的な性質であり、デカルト閉圏における随伴を生み出す。すなわち、二項積からの射の間には自然な同型が存在する。 $f\colon (X\times Y)\to Z$ そして指数オブジェクトへの射 $g\colon X\to Z^{Y}$ 。

これは、閉じたモノイド圏におけるより広い結果に一般化されます。カリー化とは、テンソル積と内部 Homが随伴関手であるという記述です。つまり、すべての対象に対して $B$ 自然な同型性が存在する：

\mathrm {Hom} (A\otimes B,C)\cong \mathrm {Hom} (A,B\Rightarrow C).

ここで、Hom は、圏内のすべての射の (外部) Hom 関数を表し、 $B\Rightarrow C$ は、閉じたモノイド圏における内部ホム関手を表します。集合の圏では、この2つは同じです。積がデカルト積の場合、内部ホムは $B\Rightarrow C$ 指数オブジェクトになる $C^{B}$ 。

カリー化は、2つの方法で破綻する可能性があります。1つは、圏が閉じていないため、内部ホム関手がない場合です（おそらく、そのような関手には複数の選択肢があるため）。もう1つは、圏がモノイド圏ではないため、積がない場合です（つまり、対象のペアを記述する方法がない場合）。積と内部ホムの両方を持つ圏は、まさに閉じたモノイド圏です。

デカルト閉圏の設定は古典論理の議論には十分であるが、より一般的なモノイド閉圏の設定は量子計算に適している。^{[ 24 ]}

これら2つの違いは、デカルト圏（集合の圏、完全半順序、ハイティング代数など）の積は単にデカルト積であり、項目の順序対（またはリスト）として解釈される点です。単純型付きラムダ計算はデカルト閉圏の内部言語であり、そのため、LISP、Scheme、および多くの関数型プログラミング言語の型理論では、ペアとリストが主要な型となっています。

対照的に、モノイド圏(ヒルベルト空間や関数解析のベクトル空間など)の積はテンソル積です。このような圏の内部言語は線形論理であり、量子論理の一形態です。対応する型システムは線形型システムです。このような圏は量子もつれ状態を記述するのに適しており、より一般的には、カリー・ハワード対応を量子力学、代数トポロジーのコボルディズム、弦理論に大きく一般化することができます。^[³^]線形型システムと線形論理は、相互排他ロックや自動販売機の動作などの同期プリミティブを記述するのに役立ちます。

部分関数適用との対比

Currying and partial function application are often conflated.^[1]^[2] One of the significant differences between the two is that a call to a partially applied function returns the result right away, not another function down the currying chain; this distinction can be illustrated clearly for functions whose arity is greater than two.^[25]

Given a function of type $f\colon (X\times Y\times Z)\to N$ , currying produces ${\text{curry}}(f)\colon X\to (Y\to (Z\to N))$ . That is, while an evaluation of the first function might be represented as $f(1,2,3)$ , evaluation of the curried function would be represented as $f_{\text{curried}}(1)(2)(3)$ , applying each argument in turn to a single-argument function returned by the previous invocation. Note that after calling $f_{\text{curried}}(1)$ , we are left with a function that takes a single argument and returns another function, not a function that takes two arguments.

In contrast, partial function application refers to the process of fixing a number of arguments to a function, producing another function of smaller arity. Given the definition of $f$ above, we might fix (or 'bind') the first argument, producing a function of type ${\text{partial}}(f)\colon (Y\times Z)\to N$ . Evaluation of this function might be represented as $f_{\text{partial}}(2,3)$ . Note that the result of partial function application in this case is a function that takes two arguments.

Intuitively, partial function application says "if you fix the first argument of the function, you get a function of the remaining arguments". For example, if function div stands for the division operation x/y, then div with the parameter x fixed at 1 (i.e., div 1) is another function: the same as the function inv that returns the multiplicative inverse of its argument, defined by inv(y) = 1/y.

The practical motivation for partial application is that very often the functions obtained by supplying some but not all of the arguments to a function are useful; for example, many languages have a function or operator similar to plus_one. Partial application makes it easy to define these functions, for example by creating a function that represents the addition operator with 1 bound as its first argument.

Partial application can be seen as evaluating a curried function at a fixed point, e.g. given $f\colon (X\times Y\times Z)\to N$ and $a\in X$ then ${\text{curry}}({\text{partial}}(f)_{a})(y)(z)={\text{curry}}(f)(a)(y)(z)$ or simply ${\text{partial}}(f)_{a}={\text{curry}}_{1}(f)(a)$ where ${\text{curry}}_{1}$ curries f's first parameter.

Thus, partial application is reduced to a curried function at a fixed point. Further, a curried function at a fixed point is (trivially), a partial application. For further evidence, note that, given any function $f(x,y)$ , a function $g(y,x)$ may be defined such that $g(y,x)=f(x,y)$ したがって、部分適用は単一のカレー操作に還元できる。そのため、カレーは、多くの理論的なケースでは再帰的に適用されることが多いが、理論的には（操作として考えると）部分適用と区別できない操作として定義するのがより適切である。

したがって、部分適用とは、ある関数の入力の順序付けに対してカリー演算子を一度適用した結果として得られる客観的な結果と定義できる。

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外部リンク

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[6] モーセのシェーンフィンケル(1924 年 9 月) [1920 年 12 月 7 日にゲッティンゲンの Mathematischen Gesellschaft (数学協会) で発表。1924 年 3 月 15 日に Mathematische Annalen によって受け取られた]。"Über die Bausteine der mathematischen Logik" [数理論理学の構成要素について] (PDF)。数学アンナレン。92（3-4）。ベルリン: Springer: 305–316 . doi : 10.1007/BF01448013。S2CID 118507515。

[Strachey-7] 1 2 Strachey, Christopher (2000 年 4 月) [この論文は、1967 年 8 月にコペンハーゲンで開催された国際コンピュータプログラミングサマースクールで行われた講義の内容をまとめたものです。]。「プログラミング言語の基本概念」。高階および記号計算。13 : 11–49。CiteSeerX 10.1.1.332.3161。doi : 10.1023/A:1010000313106。ISSN 1573-0557。S2CID 14124601。複数のオペランドを持つ演算子を、単一オペランド演算子の連続適用に還元する装置が Schönfinkel によって考案されました。

[Reynolds-8] 1 2 3原著論文： Reynolds, John C. (1972年8月1日) 「高階プログラミング言語のための定義的インタプリタ」。Shields , Rosemary (編)『ACM年次会議議事録 - ACM '72』第2巻、ACM Press、717–740頁。doi : 10.1145/800194.805852。ISBN 9781450374927S2CID 163294。最後の行では、すべての関数が単一の引数を受け取る言語に二項演算を導入するという問題を解決するために、カリー化（論理学者H.カリーにちなんで名付けられた）と呼ばれる手法を用いました。（査読者は、「カリー化」の方が味は良いが、「美的感覚」の方がより正確かもしれないとコメントしています。）ジョン・C・レイノルズ（1998）著「高階プログラミング言語のための定義的インタプリタ」として再出版。高階および記号計算。11 （ 4 ）。ボストン：クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ：363–397。doi：10.1023 /A：1010027404223。13 –シラキュース大学：工学部およびコンピュータサイエンス学部 - 旧学科、センター、研究所およびプロジェクト経由。

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[haskell-10] 1 2 3 Curry, Haskell B. (1980). Barwise, Jon; Keisler, H. Jerome; Kunen, Kenneth (編). "組み合わせ論理の哲学的側面". The Kleene Symposium: Proceedings of the Symposium Held June 18-24, 1978 at Madison, Wisconsin, USA (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics) . Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. 101. North-Holland Publishing Company, imprint of Elsevier: 85–101 . doi : 10.1016/S0049-237X(08)71254-0 . ISBN 9780444853455ISSN 0049-237X . S2CID 117179133 .現代の論理学者の中には、私がこの関数の見方を多用したため、「カリー化」と呼ぶ人もいますが、シェーンフィンケルはこのアイデアを私より約6年前に持っていました。

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