モンキーサドル

数学において、モンキーサドルとは、次の式で定義される 面である。

${\displaystyle z=x^{3}-3xy^{2},\,}$

または円筒座標で

${\displaystyle z=\rho ^{3}\cos(3\varphi ).}$

これは鞍面のクラスに属し、その名前は、猿の鞍には足のためのくぼみが 2 つ、尾のためのくぼみが 1 つ必要であるという観察に由来しています。猿の鞍上の点⁠ ⁠は、 ⁠ ⁠における関数 ⁠ ⁠ の退化した臨界点に対応します。猿の鞍には、原点でガウス曲率が 0 である孤立した臍点がありますが、他のすべての点では曲率は厳密に負です。 ${\displaystyle (0,0,0)}$${\displaystyle z(x,y)}$${\displaystyle (0,0)}$

複素数を使って長方形と円筒形の方程式を関連付けることができる。 ${\displaystyle x+iy=re^{i\varphi }:}$

${\displaystyle z=x^{3}-3xy^{2}=\operatorname {Re} [(x+iy)^{3}]=\operatorname {Re} [r^{3}e^{3i\varphi }]=r^{3}\cos(3\varphi ).}$

円筒形の方程式の3を任意の整数に置き換えると、くぼみ${\displaystyle k\geq 1,}$のある鞍型の${\displaystyle k}$形状を作成できます。 ^[1]

モンキーサドルのもう一つの方向は、モンキーサドルのZ軸がスメルトペタルの方向⁠ ⁠に対応するように定義されるスメルトペタルである。 ^{[2] [3]}${\displaystyle x+y+z+xyz=0,}$${\displaystyle (1,1,1)}$

馬鞍という用語は、猿鞍と対照的に、z ( x、y )が鞍点、つまりxy平面のすべての方向における局所的最小値または最大値を持つ通常の鞍面を指すために使用されることがある。対照的に、猿鞍はすべての方向に 固定された変曲点を持つ。

• Weisstein、Eric W.「Monkey Saddle」。MathWorld。