スベルドラップバランス

スベルドラップバランス、またはスベルドラップ関係とは、外洋の表面に作用する風応力と、海流によって運ばれる鉛直積分された南北方向の輸送量との間の理論的な関係である。s.

潮汐流に伴う振動運動とは別に、海洋における大規模な流れの主な原因は 2 つあります。(1)熱塩プロセス。これは、表面の温度と塩分の変化、ひいては海水密度の変化によって動きを引き起こします。(2)風による強制力。1940 年代に、ハラルド・スヴェルドラップが海洋循環の全体的な特徴を決定する物理的プロセスについて考えていたとき、彼は強制力の風応力成分に焦点を当てることを選択しました。彼が 1947 年の論文^{[ 1 ]}でスヴェルドラップの関係式を発表した際に述べているように、これはおそらく 2 つのうちより重要なものです。

スヴェルドラップは、長年の海洋循環の謎であったことに着目した。主要な海洋表面海流のほとんどは風下に向かって流れるが、赤道付近の大西洋と太平洋には、赤道から数度北の地点で、卓越貿易風に逆らって東向きに流れる強く持続的な赤道反流が存在する。彼は「我々の具体的な課題は、反流を含む赤道海流が、風応力に関する知識のみに基づいて説明できるかどうかを判断することである」と記した。^{[ 1 ]}

スベルドラップは、摩擦（海洋表面の風応力による摩擦を除く）、時間変動（したがってバランスは平均状態を表す）、ナビエ・ストークス方程式の移流（非線形）項を無視し、上から下への鉛直積分された海流のみを考慮することで、単純化の仮定を行った。^{[ 1 ]}これらは、熱塩の影響に加えて、混合、境界流、鉛直構造を描写する能力など、海洋循環に影響を与える多くの要因を取り除くという重大な制約であるが、それでも海流の大規模な特徴を大まかに再現している。

スベルドラップの単純化仮定を用いると、結果として得られる順圧運動量方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}-fV&=-P_{x}+{\tau ^{x}}\\fU&=-P_{y}+{\tau ^{y}}\end{aligned}}}$

連続方程式を用いて

${\displaystyle U_{x}+V_{y}=0}$、

大文字の変数は垂直に積分され、${\textstyle f}$はコリオリパラメータです。${\textstyle U}$そして${\textstyle V}$は東向きと北向きの速度成分であり、${\textstyle P}$は（積分）圧力です。$\textstyle \tau }$は風応力（上付き文字で方向を示す）です${\textstyle x,y}$）添え字は導関数を表します。表記を簡略化するため、両方とも${\textstyle P}$そして$\textstyle \tau }$海水の背景密度で割ったものと理解されている$\rho_0$したがって、${\textstyle P_{x,y}}$そして$\textstyle \tau }$は m ² /s ²です。定常状態におけるスベルドラップの上から下への垂直積分は、簡略化された（非発散の）連続方程式につながります。

簡略化された運動量方程式は、よく知られている地衡流とエクマン流のタイプの和として表すことができる。 ${\textstyle (U,V)=(U,V)_{地衡}+(U,V)_{エクマン}}$。

スベルドラップの解析は、運動量方程式の回転を取るという重要な第一歩から始まった（${\textstyle \partial /\partial y}$最初のマイナス${\textstyle \partial /\partial x}$（2番目の）を使用して${\textstyle \beta =\部分 f/\部分 y}$緯度によるコリオリパラメータの変化を定義する（${\textstyle \beta }$は定数として近似されます。次に、連続性を使用して、${\textstyle (U_{x}+V_{y})}$学期。

その結果、スベルドラップ平衡式が得られ、これは南北方向の物質輸送を完全に風によって規定するものである。${\displaystyle \beta V=カール(\タウ)}$。

連続性を用いると、対応する帯状輸送が得られる。

${\displaystyle U_{x}=-V_{y}=-{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial y}}Curl(\tau )\Longrightarrow U=-{\frac {1}{\beta }}\int _{x_{e}}^{x}{\frac {\partial }{\partial y}}Curl(\tau )dx}$、

どこ${\textstyle x_{e}}$は海洋の東の境界である。

垂直積分された流体は水平方向に発散しないので、流れ関数は${\textstyle \psi }$存在する:

${\displaystyle \psi ={\frac {1}{\beta }}\int _{x_{e}}^{x}Curl(\tau )dx}$、 どこ${\displaystyle V=\psi _{x}}$ 、${\displaystyle U=-\psi _{y}}$、${\displaystyle \psi (x_{e})=0}$。

流れは流線関数の等高線に沿って流れるため、結果として生じる循環を表示するのに便利な方法である（下の最初の図）。

このように運動量方程式の回転を取ることには、いくつかの利点があります。

• 実際には、圧力勾配項が除去される。これらの項は、正確に測定したり十分なサンプルを採取したりすることが難しい海洋観測を必要とする。
• バランスは${\textstyle \beta }$しかし、いいえ${\textstyle f}$したがって、赤道全域にわたって連続的な解が得られる。
• 運動量方程式とは異なり、スベルドルピアン表現は${\textstyle \psi }$明確でシンプルな東側境界条件を生成する：${\displaystyle \psi (x=x_{e})=0}$これは、東側の境界を通過する流れはあり得ないという明白な事実を表しており、したがって海岸線は流線である。海岸線から西に向かって渦を積分すると、風のみに起因する循環が描かれる。
• 渦度方程式は、風が海洋に及ぼす大規模な影響、すなわち水の柱を伸ばしたり縮めたりすることで回転を変化させる作用を説明するものである。

これらのうち最後のものは、ロスビーの浅水定式化^{[ 2 ]}におけるポテンシャル渦度の保存の例であり、定常状態では局所回転と惑星回転が釣り合っている。地球の表面に対して静止している水塊は、その下にある地球の自転と一致しなければならない。北極から地球を見下ろすと、この惑星回転は反時計回りであり、これは正の回転または渦度として定義される。南極では時計回りであり、負の回転に対応する。したがって、たとえば、局所回転を生じさせることなく流体の塊を北向きに移動させるには、その下にある地球の自転と一致し続けるのに十分な（正の）回転を獲得しなければならない。スベルドラップ方程式の左辺は、水柱の絶対渦度と惑星渦度の間のこの一致を維持するために必要な子午線方向の動きを表し、右辺は風の作用する回転力を表す。

スヴェルドラップは、当時入手可能だった非常に限られた観測データを用いて、風、渦度、東西流の計算を行った。^{[ 1 ]} 上の図は、最新の衛星^{散乱計による風応力（ベクトル、左上のスケール）とその渦度（陰影、単位は10⁻⁷} N m⁻³ ^、上段 パネル^）を示している。渦度の大部分は^、${\textstyle \partial \tau ^{x}/\partial y}$亜熱帯環流（北緯約15度以北）の青色の陰影は、中緯度における西風（西からの風）から亜熱帯における東風貿易風への変化による負の回転を反映しています。北緯約7度に沿った正の渦度（赤色）の領域は、東風が赤道に向かって弱まる場所です。この風の特徴により、スベルドラップが対象とした北赤道反流（NECC）が発生します。下段のパネルに示されたスベルドラップ流線関数は、この風のパターンによって生じる循環を示しています。流れは流線関数の等高線に沿っています（重ね合わせた灰色の矢印で強調表示され、NECCがラベル付けされています）。

下の図は、スベルドラップ流関数で表される東西方向の海流と観測された海流を比較したものです。オレンジ色は東向きの流れ、青色は西向きの流れを示しています。上のパネルは、スベルドラップバランスを介して風のみから計算されたもので、北端に沿った東向きの流れ（オレンジ色）と中央環流を横切る西向きの流れ（青色）が示されています。NECCは、北緯5°～10°に沿ったオレンジ色の帯です。下のパネルは、海洋観測（アルゴフロート密度）から計算された観測された地衡流を示しています。これは同様のパターンを示しており、スベルドラップバランスがこれらの特徴を捉えていることを示しています。スベルドラップ表現は、観測された海流よりも滑らかですが、同じ構造と大きさを持っています（ただし、以下の弱点を参照）。特に、東向きのNECCが風に逆らって東に流れていることを示しており、スベルドラップの動機となった長年の謎を説得力をもって説明しています。

スベルドラップ循環は、低緯度および中緯度海洋の海岸線から離れた場所における鉛直積分された定常海洋輸送の堅牢な表現であることが繰り返し確認されている。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}このアプローチの弱点は、南極海で最も顕著に見られる。南極海では、南北方向の障壁がないため、既知の東側の境界条件からの積分が不可能である。狭く強い西側の境界流は、スベルドラップ定式化における摩擦の無視によって明示的に除外されるため、流線関数を定義する西向きの積分は、狭い西側の境界層の東側でのみ有効である。これらの強い流れは、海底との摩擦（ストメルの単純な計算^{[ 8 ]}）または西側の海岸線との摩擦（ムンク^{[ 9 ]} 、ゴッドフリー^{[ 10 ]} ）のいずれかに根本的に依存している。（下記の「さらなる展開」を参照）。物理的には、この依存関係は、風の渦の強制力を統合することで、西に向かって増大する渦度（例えば、亜熱帯環流における反時計回りの渦度）が蓄積され、閉じた循環を可能にするためには、その渦度を消散させる必要があるために生じる。

スベルドラップが非線形運動量項を除外したため、渦の活動が力学に重要な領域も同様にその範囲外となります。これには、南極海、西岸境界流が沖合に向きを変える出口領域 ^{[ 11 ]} （黒潮が海岸から離れる 日本の東、北緯35度沿いのスベルドラップと観測された海流との間に大きな不一致があることに注意。上記の例を参照）、および隣接する水平流間のせん断によって生じるいくつかの領域の渦が含まれます^{[ 4 ]} 。スベルドラップが鉛直積分循環に注意を限定するという単純化された選択をしたため、バランスでは鉛直流の詳細、例えば北米と南米の西海岸沿いでよく見られる湧昇や赤道湧昇を記述することはできません。

1948年、ヘンリー・ストメルは、スベルドラップの定式化では西岸境界流を記述できないという問題を回避する方法として、スベルドラップと同じ方程式から始めて、単純な底面摩擦を追加する方法を提案した。^{[ 8 ]}この方法では、コリオリパラメータが緯度によって変化することで、海洋盆地では狭い西岸境界流が生じることが示された。1950年、ウォルター・ムンクは、ロスビー（渦粘性 ^{[ 2 ]} ）、スベルドラップ（上層海洋の風駆動流）、ストメル（西岸境界流の流れ）の結果を組み合わせ 、海洋循環の完全な解を提案した。^{[ 9 ]}

島の問題が残っていた。というのも、これらの解決策のいずれも、島によって中断された場合に西向きの統合がどのように再開されるかを説明していなかったからである。これは、オーストラリアが太平洋とインド洋の間に位置しているため特に重要な問題であり、インド洋の循環に対するスベルドラップ解が存在しないことを意味していた。1989年、以前の研究から約40年後、CSIRO海洋大気研究所のスチュアート・ゴッドフリーは、「ゴッドフリー島ルール」 ^{[ 10 ]}として知られる、同様に単純な方法論を開発し、 東側のスベルドラップ循環の影響が「島」の西側にどのように伝達され、西向きの統合が継続されるかを説明した。これにより、スベルドラップ流関数をインド洋全体に拡張し、両海盆の風によって駆動される循環を「南半球スーパージャイア」と呼ばれるものに結びつけることができた。^{[ 12 ]} ゴッドフリー法が必要とされるその他の重要な島々には、マダガスカルや、南太平洋のいくつかの大きな山岳島（ニュージーランド、フィジー、バヌアツ、ニューカレドニア、ソロモン諸島^{[ 6 ]}）が含まれる。

• 大西洋子午面循環

• Gill, AE (1982).大気海洋力学. Academic Press. ISBN 978-0-12-283522-3、p522-523

• 物理海洋学および関連分野の用語集 スベルドラップバランス