エクマン層

エクマン層は、圧力勾配力、コリオリの力、乱流抗力の間で力のバランスがとれている流体内の層です。これは、 Vagn Walfrid Ekmanによって初めて説明されました。エクマン層は、大気と海洋の両方で発生します。

エクマン層には 2 つの種類があります。1 つ目の種類は海洋の表面に発生し、表面の風によって押し出され、海洋の表面の抵抗として作用します。2 つ目の種類は大気と海洋の底に発生し、粗い表面上の流れに伴う摩擦力が関係します。

エクマンは、フリチョフ・ナンセンがフラム号に乗って北極探検中に、氷が卓越風向の右に20°～40°の角度で漂うことを観察した後、エクマン層の理論を考案した。ナンセンは同僚のヴィルヘルム・ビャークネスに、自分の学生の一人にこの問題の研究をさせるよう依頼した。ビャークネスはエクマンを指名し、エクマンは1902年にその結果を博士論文として発表した。^[1]

エクマン層の数学的定式化は、圧力勾配、コリオリの力、乱流抗力のバランスが取れた中立的に成層した流体を想定することから始まります。

${\displaystyle {\begin{aligned}-fv&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}+K_{m}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},\\[5pt]fu&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}+K_{m}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}},\\[5pt]0&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial z}},\end{aligned}}}$

ここで、 およびはそれぞれおよび方向の速度、は局所コリオリパラメータ、 は拡散渦粘性であり、混合長さ理論を使用して導出できます。は修正された圧力であることに注意してください。重力を考慮に入れるために、圧力の 静水圧を組み込んでいます。${\displaystyle \u}$${\displaystyle \v}$${\displaystyle \x}$${\displaystyle \y}$${\displaystyle \f}$${\displaystyle \ K_{m}}$${\displaystyle p}$

エクマン層が理論的に起こり得る領域は多数あります。大気の底、地球と海洋の表面付近、海洋の底、海底付近、海洋の上部、空気と水の境界付近などです。これらのさまざまな状況にはそれぞれ異なる境界条件が適しています。これらの状況はそれぞれ、結果として得られる常微分方程式のシステムに境界条件を適用することで説明できます。上部境界層と下部境界層の個別のケースを以下に示します。

上層海洋におけるエクマン層の境界条件を考える: ^[2]

${\displaystyle {\text{at }}z=0:\quad A{\frac {\partial u}{\partial z}}=\tau ^{x}\quad {\text{and}}\quad A{\frac {\partial v}{\partial z}}=\tau ^{y},}$

ここで、およびは、海洋上部の風の場または氷層の表面応力、 の成分であり、は動粘性です。 ${\displaystyle \\tau^{x}}$${\displaystyle \\tau^{y}}$${\displaystyle \\tau}$${\displaystyle \ A\equiv \rho K_{m}}$

反対側の境界条件については、、ここでおよびはおよび方向の地衡流です。 ${\displaystyle \ z\to -\infty :u\to u_{g},v\to v_{g}}$${\displaystyle \u_{g}}$${\displaystyle \v_{g}}$${\displaystyle \x}$${\displaystyle \y}$

これらの微分方程式を解くと次の結果が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=u_{g}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{o}fd}}e^{z/d}\left[\tau ^{x}\cos(z/d-\pi /4)-\tau ^{y}\sin(z/d-\pi /4)\right],\\[5pt]v&=v_{g}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{o}fd}}e^{z/d}\left[\tau ^{x}\sin(z/d-\pi /4)+\tau ^{y}\cos(z/d-\pi /4)\right],\\[5pt]d&={\sqrt {2K_{m}/|f|}}.\end{aligned}}}$

この値はエクマン層深度と呼ばれ、風によって引き起こされる海洋の乱流混合の浸透深度の指標となります。この値は、乱流拡散係数と緯度（ で囲まれます）という 2 つのパラメータによって変化することに注意してください。一般的なm /s の場合、緯度 45° ( s ) では、 は約 45 メートルです。このエクマン深度の予測は、必ずしも観測結果と正確に一致するとは限りません。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle K_{m}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K_{m}=0.1}$${\displaystyle ^{2}}$${\displaystyle f=10^{-4}}$${\displaystyle ^{-1}}$${\displaystyle d}$

深さ（）による水平速度の変化はエクマン螺旋と呼ばれ、上図と右図に示されています。 ${\displaystyle -z}$

連続の方程式を適用すると、垂直速度は次のようになります。

${\displaystyle w={\frac {1}{f\rho _{o}}}\left[-\left({\frac {\partial \tau ^{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau ^{y}}{\partial y}}\right)e^{z/d}\sin(z/d)+\left({\frac {\partial \tau ^{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial \tau ^{x}}{\partial y}}\right)(1-e^{z/d}\cos(z/d))\right].}$

垂直に統合すると、エクマン螺旋に関連する体積輸送は北半球の風向の右側になることに注意してください。

下面によって境界が定められたエクマン層の従来の展開では、次の 2 つの境界条件が使用されます。

• 表面が滑らない状態。
• エクマン速度は無限大に近づくにつれて地衡速度に近づきます。${\displaystyle z}$

エクマン層の観察には、主に2つの理由から多くの困難が伴う。エクマン自身が予測していた ように、理論は渦粘性が一定であると仮定しているため、あまりにも単純すぎるためである^[3]。

水の密度が考慮される領域内で均一でない場合、一般に定数とみなすことはできないことは明らかである。${\displaystyle \ \left[\nu \right]}$

また、海洋の速度プロファイルを観測できるほどの感度を持つ機器を設計することが難しいためです。

回転する円筒形の水槽に染料を垂らし、回転速度をわずかに変えるだけで、底部のエクマン層を簡単に観察することができます。 ^[4]回転する水槽では表面のエクマン層も観察することができます。^[5]

大気圏では、エクマン解は一般に、表面層の速度シアーを考慮していないため、水平風場の大きさを過大評価する傾向がある。惑星境界層を表面層とエクマン層に分割すると、より正確な結果が得られる。^[6]

エクマン層は、その特徴的なエクマン螺旋を特徴としていますが、海洋ではほとんど観測されません。海面近くのエクマン層は、深さ約10〜20メートルにしか広がっておらず、^[6]このような浅い深さでの速度プロファイルを観測できるほど感度の高い計測機器は、1980年頃から利用可能になりました。^[2]また、風の波は表面近くの流れを変化させ、表面近くの観測をかなり困難にします。^[7]

エクマン層の観測は、堅牢な表面係留装置と高感度流速計の開発によって初めて可能になった。エクマン自身も、彼の名前を冠した渦巻き状の層を観測するために流速計を開発したが、成功しなかった。^[8] ベクトル測定流速計^[9]と音響ドップラー流速計はどちらも流速の測定に使用されている。

海におけるエクマン渦巻き模様の最初の記録された観測は、1958年に北極海の流氷から行われた。^[10]最近の観測には以下のものがある（網羅的なリストではない）。

• 1980年の混合層実験^[11]
• 1982年の長期上層海洋調査中のサルガッソ海内^[12]
• 1993年の東部境界流実験中のカリフォルニア海流内^[13]
• 南極海のドレーク海峡地域内^[14]
• 熱帯太平洋東部、北緯2度、西経140度、水深5～25メートルの5台の流速計を使用。^[15]この研究では、熱帯安定波に関連する地衡流せん断が、水平方向に均一な密度で予想されるものと比較してエクマン螺旋を変化させたことを指摘した。
• 2008年のSOFINE実験中のケルゲレン高原北部^[16]

これらの観測結果のいくつかに共通するのは、渦巻きが「圧縮」されており、回転速度の深さを考慮した場合の渦粘性の推定値が、速度の減衰率を考慮して算出した渦粘性よりも大きいことを示していることである。^{[12] [13] [14] [16]}

• エクマン数 – 粘性力とコリオリ力の無次元比
• エクマン螺旋 – 風力による流れの速度プロファイルと深度
• エクマン輸送 – 風向に垂直な表面水の純輸送
• エクマン速度 – 風による水流速度の計算式
• 茶葉のパラドックス – 流体力学現象
• スチュワートソン層 – 異なる回転領域を結ぶせん断層
• ヴァン・ウォルフリッド・エクマン – スウェーデンの海洋学者 (1874–1954)

• 下部エクマン層ラボデモンストレーション 2013-10-22 にWayback Machineでアーカイブ
• 表面エクマン層実験室のデモンストレーション