論理接続詞

論理学において、論理接続子（論理演算子、文接続子、文演算子とも呼ばれる）は、論理定数です。接続子は、論理式を接続するために使用できます。たとえば、命題論理の構文では、2 項接続子を使用して 2 つの原子式と を結合し、複雑な式 を作成できます。 ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P\lor Q}$

一般的な接続詞には、否定、選言、連言、含意、同値などがあります。標準的な古典論理体系では、これらの接続詞は真理関数として解釈されますが、非古典論理ではさまざまな代替解釈が行われます。これらの古典的な解釈は、英語の「not」、「or」、「and」、「if」などの自然言語表現の意味に似ていますが、同一ではありません。自然言語の接続詞と古典論理の接続詞の不一致により、自然言語の意味に対する非古典的なアプローチや、古典的な構成意味論と堅牢な語用論を組み合わせたアプローチが生まれました。

論理接続詞は、プログラミング言語でよく使われる条件演算子と呼ばれる構文に似ていますが、同等ではありません。^{[1] [より良い情報源が必要]}

形式言語では、真理関数は明確な記号で表現されます。これにより、論理ステートメントが曖昧に解釈されることがなくなります。これらの記号は、論理接続子、論理演算子、命題演算子、または古典論理では真理関数接続子と呼ばれます。真理関数接続子を使用して他の整形式の式を結合することにより、新しい整形式の式を構築できるようにする規則については、「整形式の式」を参照してください。

論理接続子は 0 個以上のステートメントをリンクするために使用できるため、n項論理接続子について話すことができます。ブール定数TrueとFalse は、ゼロ項演算子と考えることができます。否定は単項接続子です。

よく使われる論理接続詞には以下のものがある。^[2]

• 否定（not）：、、（接頭辞）は最も現代的で広く使用されており、一般的でもあります。${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \sim }$
• 接続詞 (and) : 、、(接頭辞) は最も現代的で広く使用されています。${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \&}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \wedge }$
• 選言 (または) : 、(接頭辞) は最も現代的で広く使用されています。${\displaystyle \vee }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \vee }$
• 含意（if...then）：、、、 （接頭辞）のうち、は最も現代的で広く使用されており、一般的でもあります。${\displaystyle \to }$${\displaystyle \supset }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \to }$${\displaystyle \supset }$
• 同値 (次の場合のみ) : 、、、、(接頭辞) のうち、 は最も現代的で広く使用されているものであり、も使用されている場所では が一般的に使用され ています。${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \subset \!\!\!\supset }$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle \equiv }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \subset \!\!\!\supset }$${\displaystyle \supset }$

たとえば、「雨が降っている」（ で示される）と「私は屋内にいる」（ で示される）という文の意味は、これら 2 つを論理接続詞で組み合わせると次のように変化します。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

• 雨が降っていません（）；${\displaystyle \neg p}$
• 雨が降っているので、私は屋内にいます（）;${\displaystyle p\wedge q}$
• 雨が降っているか、屋内にいます（）;${\displaystyle p\lor q}$
• 雨が降っている場合は、屋内にいます（）;${\displaystyle p\rightarrow q}$
• 屋内にいる場合は雨が降っています（）；${\displaystyle q\rightarrow p}$
• 雨が降っているときだけ、私は屋内にいます（ ）。${\displaystyle p\leftrightarrow q}$

常に真となる式と常に偽となる式を連結的（その場合、それらはヌル項） と見なすことも一般的です。

• 正しい式: 、、(接頭辞)、または;${\displaystyle \top }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathrm {T} }$
• 誤った式: 、、 (接頭辞) 、または。${\displaystyle \bot }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \mathrm {F} }$

この表は用語をまとめたものです。

• 否定：記号は1930年にHeytingによって登場しました^{[3] [4]}（FregeのBegriffsschrift ^[5]の記号⫟と比較してください）；記号は1908年にRussellによって登場しました^[6] ；別の表記法は、のように式の上に水平線を追加することです。別の表記法は、のようにプライム記号を使用することです。${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle {\overline {p}}}$${\displaystyle p'}$
• 接続詞: この記号は1930年にヘイティングによって登場しました^[3]（ペアノの集合論的記法である交差の使用と比較してください^[7]）。この記号は少なくとも1924年にシェーンフィンケルによって登場しました。 ^[8]この記号はブールによる論理学を初等代数として解釈したことに由来します。${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \cap }$${\displaystyle \&}$${\displaystyle \cdot }$
• 選言: 記号 は1908年にラッセルで登場しました^[6]（ペアノの集合論的記法である和集合の使用と比較してください）。 記号も使用されていますが、これは、通常の初等代数の が2元環 で論理的に解釈される場合、排他的であるか、またはであるという事実から生じる曖昧さにもかかわらずです。歴史的には、と右下隅のドットの組み合わせは、ピアースによって使用されました。^[9]${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \cup }$${\displaystyle +}$${\displaystyle +}$${\displaystyle +}$
• 意味：この記号は1918年にヒルベルトに登場した。^{[10] : 76は}1908年にラッセルによって使用された^[6]（ペアノの反転したCであるƆと比較のこと）; 1954年にブルバキに登場した。 ^[11]${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \supset }$${\displaystyle \Rightarrow }$
• 同値性：この記号は1879年のフレーゲで登場した。^[12] 1933年のベッカーで登場した（これが最初ではないので、以下を参照）^[13] 1954年のブルバキで登場した。 ^[14]他の記号は、ゲンツェン[ ^15]、シェーンフィンケル^[8]、チャザール^[16]など、歴史上、時折登場している。${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle \supset \subset }$ ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle \subset \supset }$
• 真実: この記号は、ブールが論理を2 要素ブール代数上の基本代数として解釈したことに由来しています。他の表記法には、 1889 年のペアノに見られる (ラテン語の「verum」の略語) などがあります。${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathrm {V} }$
• 誤り: この記号はブールの論理を環として解釈したことからも来ています。他の表記法には、1889 年のペアノに見られる(回転した) などがあります。${\displaystyle 0}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathrm {V} }$

一部の著者は接続詞に文字を使用していました。ヒルベルト(1904)の初期の著作では接続詞(ドイツ語の「und」は「and」)と選言(ドイツ語の「oder」は「or」)に文字を使用しました。 ^{[17] 1929年の}Łukasiewiczでは否定、接続詞、選択的否定、選言、含意、二条件文に文字を使用しました。 ${\displaystyle \operatorname {u.} }$${\displaystyle \operatorname {o.} }$ ${\displaystyle Np}$${\displaystyle Kpq}$${\displaystyle Dpq}$${\displaystyle Apq}$${\displaystyle Cpq}$${\displaystyle Epq}$

逆含意" "のような論理接続子は、実際には、引数を入れ替えた物質条件文と同じです。したがって、逆含意の記号は冗長です。一部の論理計算 (特に古典論理) では、本質的に異なる複合ステートメントが論理的に等価です。冗長性のそれほど自明ではない例として、との古典的な同値性があります。したがって、古典ベースの論理システムでは、 " " (not) と " " (or) がすでに使用されている場合は条件演算子 " " は必要ありません。または、否定と選言が 1 つずつある複合文の 構文糖衣としてのみ" " を使用できます。${\displaystyle \leftarrow }$${\displaystyle \neg p\vee q}$${\displaystyle p\to q}$${\displaystyle \to }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \to }$

入力の真理値とを4桁の2進出力に関連付けるブール関数は16個あります。^{[18]これらは}古典論理の2進論理接続子の可能な選択肢に対応しています。古典論理の異なる実装では、機能的に完全な接続子の 異なるサブセットを選択できます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

1 つのアプローチは、最小セットを選択し、上記の材料条件の例のように、他の接続子を何らかの論理形式で定義することです。以下は、古典論理における、引数が 2 を超えない演算 子の最小の機能的に完全なセットです。

1つの要素

${\displaystyle \{\uparrow \}}$、。${\displaystyle \{\downarrow \}}$

2つの要素

${\displaystyle \{\vee ,\neg \}}$、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、。​​​​​​​​​​​​​​​​${\displaystyle \{\wedge ,\neg \}}$${\displaystyle \{\to ,\neg \}}$${\displaystyle \{\gets ,\neg \}}$${\displaystyle \{\to ,\bot \}}$${\displaystyle \{\gets ,\bot \}}$${\displaystyle \{\to ,\nleftrightarrow \}}$${\displaystyle \{\gets ,\nleftrightarrow \}}$${\displaystyle \{\to ,\nrightarrow \}}$${\displaystyle \{\to ,\nleftarrow \}}$${\displaystyle \{\gets ,\nrightarrow \}}$${\displaystyle \{\gets ,\nleftarrow \}}$${\displaystyle \{\nrightarrow ,\neg \}}$${\displaystyle \{\nleftarrow ,\neg \}}$${\displaystyle \{\nrightarrow ,\top \}}$${\displaystyle \{\nleftarrow ,\top \}}$${\displaystyle \{\nrightarrow ,\leftrightarrow \}}$${\displaystyle \{\nleftarrow ,\leftrightarrow \}}$

3つの要素

${\displaystyle \{\lor ,\leftrightarrow ,\bot \}}$、、、、、、。​​​​${\displaystyle \{\lor ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}}$${\displaystyle \{\lor ,\nleftrightarrow ,\top \}}$${\displaystyle \{\land ,\leftrightarrow ,\bot \}}$${\displaystyle \{\land ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}}$${\displaystyle \{\land ,\nleftrightarrow ,\top \}}$

もう 1 つのアプローチは、便利で機能的に完全だが最小限ではない特定のセットの同等の権利を持つ接続子を使用することです。このアプローチでは、より多くの命題公理が必要になり、論理形式間の各同値性は公理であるか、定理として証明可能でなければなりません。

しかし、直観主義論理では状況はより複雑です。直観主義論理の 5 つの接続詞 {∧、∨、→、¬、⊥} のうち、否定 "¬" のみが他の接続詞に還元できます (詳細については、偽 (論理) § 偽、否定、および矛盾を参照してください)。連言、選言、質料条件のいずれも、他の 4 つの論理接続詞から構成される同等の形式はありません。

古典論理の標準的な論理接続詞は、自然言語の文法にもほぼ同等のものがあります。英語では、多くの言語と同様に、そのような表現は典型的には文法的な接続詞です。ただし、補語、動詞 接尾辞、および助詞の形をとることもできます。自然言語の接続詞の意味は、自然言語の論理構造を研究する分野 である形式意味論の主要な研究テーマです。

自然言語の接続詞の意味は、古典論理における最も近い意味と正確に同一ではありません。特に、選言は多くの言語で排他的な解釈を受ける可能性があります。一部の研究者は、この事実を自然言語の意味論が非古典的である証拠と見なしています。しかし、他の研究者は、非古典的であるという錯覚を生み出す排他性の実用的な説明を仮定することで古典的意味論を維持しています。そのような説明では、排他性は通常、スカラー含意として扱われます。選言を含む関連パズルには、自由選択推論、ハーフォードの制約、および選択問題における選言の寄与などがあります。

自然言語と古典論理の間の他の明らかな矛盾としては、物質的含意のパラドックス、ロバ照応、反事実的条件文の問題などがある。これらの現象は、自然言語の条件文の意味を、厳密な条件文、可変厳密な条件文、およびさまざまな動的演算子などの論理演算子と同一視する動機とみなされてきた。

次の表は、英語の接続詞の標準的な古典的に定義可能な近似値を示しています。

いくつかの論理接続詞は、その接続詞を含む定理で表現できる特性を持っています。論理接続詞が持つ特性には次のようなものがあります。

結合性

同じ結合接続詞が 2 つ以上連続して含まれる式では、オペランドの順序が変更されない限り、演算の順序は重要ではありません。

可換性

接続子のオペランドは、元の式との論理的等価性を維持しながら交換できます。

分配性

すべてのオペランドa、b、cについてa · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c )が成立する場合、 · で表される接続子は、 + で表される別の接続子に分配されます。

冪等性

演算のオペランドが同じである場合、その複合演算はオペランドと論理的に同等になります。

吸収

一対の接続子 ∧、∨ は、すべてのオペランドa、bに対して吸収則を満たします。${\displaystyle a\land (a\lor b)=a}$

単調性

すべてのa _{1 , ..., a n , b 1 , ..., b n ∈ {0,1} に対して f ( a 1} , ..., a n ₎ ≤ f ₍ b 1 _, ... , b n ₎が_成り立ち、a 1 ≤ _b 1 , _a 2 ≤ _b 2 , _... , a _n ≤ b _nが成り立つ_場合。例_: ∨、∧、⊤、⊥。

親和性

各変数は、演算の真理値に常に違いをもたらすか、まったく違いをもたらさないかのどちらかです。例: ¬、↔、、 ⊤、⊥。${\displaystyle \nleftrightarrow }$

二重性

演算の真理値割り当てをその真理値表の上から下へ読むことは、同じまたは別の接続詞の表を下から上へ読むことの補数を取ることと同じです。真理値表に頼らずに、g̃ (¬ a ₁、...、¬ a _n ) = ¬ g ( a ₁、...、a _n )と定式化できます。例: ¬。

真実を守る

これらすべての議論がトートロジーであるという複合語は、それ自体がトートロジーです。例: ∨、∧、⊤、→、↔、⊂ (妥当性を参照)。

虚偽の保存

これらすべての議論が矛盾であるという複合語は、それ自体が矛盾です。例: ∨、∧、、⊥、⊄、⊅ (妥当性を参照)。${\displaystyle \nleftrightarrow }$

反転性（単項接続詞の場合）

f ( f ( a )) = a。例えば古典論理における否定。

古典論理と直観論理の場合、「=」記号は、論理複合語の対応する含意「...→...」と「...←...」が両方とも定理として証明できることを意味し、「≤」記号は、論理複合語の「...→...」が命題変数の対応する接続​​詞「...→...」の結果であることを意味します。一部の多値論理では、同値性と順序 (含意) の定義が互換性がない場合があります。

連言と選言は、古典論理、多値論理のほとんどの種類、および直観論理では、結合法則、可換法則、および冪等法則です。同じことが、連言の選言に対する分配法則、および連言の選言に対する分配法則、および吸収法則にも当てはまります。

古典論理と多値論理のいくつかの変種では、連言と選言は双対であり、否定は自己双対であり、後者は直観主義論理でも自己双対です。

必要な括弧の数を減らす方法として、優先順位の規則を導入することができます。¬ は ∧ よりも優先順位が高く、∧ は ∨ よりも優先順位が高く、∨ は → よりも優先順位が高くなります。たとえば、 はの省略形です。 ${\displaystyle P\vee Q\wedge {\neg R}\rightarrow S}$${\displaystyle (P\vee (Q\wedge (\neg R)))\rightarrow S}$

以下は、よく使われる論理演算子の優先順位を示した表です。^{[19] [20]}

ただし、すべてのコンパイラが同じ順序を使用するわけではありません。たとえば、論理和が含意や双含意よりも優先順位が低い順序も使用されています。^[21]論理積と論理和の優先順位が指定されていない場合は、式の中で括弧を使用して明示的に指定する必要があります。優先順位は、非アトミック式を解釈するときにどの接続子が「メイン接続子」であるかを決定します。

16個の論理結合子を部分的に順序付けて、次のハッセ図を作成することができる。この部分順序は、が成り立つときはいつでも、が成り立つ場合に限り、が成り立つと宣言することによって定義される。${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$

論理接続詞は、コンピュータサイエンスや集合論で使用されます。

論理演算子に対する真理関数アプローチは、デジタル回路の論理ゲートとして実装されます。実質的にすべてのデジタル回路 (主な例外はDRAM ) は、 NAND、NOR、NOT、およびトランスミッション ゲートから構築されます。詳細については、コンピュータ サイエンスにおける真理関数を参照してください。ビット ベクトル(有限ブール代数に対応)上の論理演算子は、ビット単位の演算です。

しかし、コンピュータ プログラミングにおける論理接続子の使用法のすべてがブール意味論を持つわけではありません。たとえば、P  ∧  QおよびP  ∨  Qに対して遅延評価が実装されることがあるため、式P、Qのいずれかまたは両方に副作用がある場合、これらの接続子は可換ではありません。また、ある意味では物質的条件接続子に対応する条件文 は、 に対して、前件部P が偽である場合に結果部 Q が実行されないため、本質的に非ブールです (ただし、このような場合でも、複合文全体は成功 ≈ 「真」です)。これは、物質的条件文に関する直観主義および構成主義の見解に近いものであり、古典論理の見解ではありません。 if (P) then Q;

論理接続詞は集合論の基本的な操作を定義するために使用され、^[22]次のように定義されます。

この集合等式の定義は、外延性公理と同等です。

• Bocheński, Józef Maria (1959)、「A Précis of Mathematical Logic」、フランス語版とドイツ語版から Otto Bird、D. Reidel、ドルドレヒト、南ホラント州による翻訳。
• Chao, C. (2023).数理逻辑： 形式化方法の応用[数理論理: 形式化方法の応用] (中国語)。北京: プレプリント。15～ 28ページ 。
• エンダートン、ハーバート(2001)。論理学への数学的入門(第 2 版)。ボストン、マサチューセッツ州: アカデミック プレス。ISBN 978-0-12-238452-3。
• Gamut, LTF (1991)。「第 2 章」。論理、言語、意味。第 1 巻。シカゴ​​大学出版局。pp.  54– 64。OCLC 21372380  。
• Rautenberg, W. (2010).数理論理学の簡潔な入門(第3版).ニューヨーク: Springer Science+Business Media . doi :10.1007/978-1-4419-1221-3. ISBN 978-1-4419-1220-6。。
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ウィキメディア・コモンズには、論理接続詞に関連するメディアがあります。

• 「命題接続詞」。数学百科事典。EMS Press。2001 [1994]。
• ロイド・ハンバーストーン (2010)、「形式論理における文接続詞」、スタンフォード哲学百科事典(接続詞に対する抽象代数論理アプローチ)
• ジョン・マクファーレン（2005）、「論理定数」、スタンフォード哲学百科事典。