逆（論理）

論理学と数学において、定言命題または含意命題の逆は、その2つの構成要素を逆にした結果である。含意 P → Qの場合、逆はQ → Pである。定言命題「 すべてのSはPである」の場合、逆は「すべてのPはSである」である。いずれにしても、逆の真理は一般に元の命題の真理とは独立している。^[1]

S を「P は Q を意味する( P → Q )」という形式の文とします。すると、Sの逆は「Q は P を意味する( Q → P )」という文です。一般に、前提Pと結果Qが論理的に同等でない限り、 ^[2] Sの真偽はその逆の真偽については何も語っていません。

たとえば、「もし私が人間なら、私は死ぬ運命にある」という真の命題を考えてみましょう。その命題の逆は「もし私が死ぬ運命にあるなら、私は人間である」ですが、これは必ずしも真実ではありません。

ただし、元の命題が真であれば、相互に包含的な項を持つステートメントの逆は真のままです。これは、定義の逆が真であると言っているのと同じです。したがって、「私が三角形であれば、私は三辺の多角形です」というステートメントは、「三角形」の定義が「三辺の多角形」であるため、「私が三辺の多角形であれば、私は三角形です」というステートメントと論理的に同等です。

真理値表は、SとSの逆は、両方の項が互いを暗示しない限り、論理的に同等ではないことを明確に示します。

ある文からその逆文に進むことは、帰結を肯定するという誤りです。しかし、文Sとその逆文が同等である場合 (つまり、Qも真である場合にのみPが真である場合)、帰結を肯定することは有効です。

逆の含意は論理的に、およびの論理和と同等である。${\displaystyle P}$${\displaystyle \neg Q}$

自然言語では、これは「 PがなければQはない」 と表現できます。

数学では、 P → Qという形式の定理の逆はQ → Pとなる。逆は真である場合もあればそうでない場合もあるし、たとえ真であったとしても証明が難しい場合もある。例えば、4頂点定理は1912年に証明されたが、その逆は1997年にようやく証明された。^[3]

実際には、数学の定理の逆を決定する際に、前提の側面が文脈を確立するものとして考慮されることがあります。つまり、「P が与えられ、Q ならば R である」の逆は、「P が与えられ、R ならば Q である」となります。たとえば、ピタゴラスの定理は次のように表すことができます。

辺の長さが、、 の三角形があるとします。長さの辺の反対側の角が直角である場合、となります。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

逆はユークリッドの『原論』（第 1 巻、命題 48）にも登場し、次のように述べることができます。

辺の長さが、、の三角形が与えられている場合、であれば、の辺の反対側の角度は直角です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$${\displaystyle c}$

が との二項関係である場合、その逆関係は転置とも呼ばれる。^[4]${\displaystyle R}$${\displaystyle R\subseteq A\times B,}$ ${\displaystyle R^{T}=\{(b,a):(a,b)\in R\}}$

P → Qの含意の逆はQ → P、と書かれるが、 、または「B pq」（ボチェンスキー記法）と表記されることもある。^[要出典]${\displaystyle P\leftarrow Q}$${\displaystyle P\subset Q}$

伝統的な論理学では、主語項を述語項と入れ替えるプロセスを変換と呼びます。たとえば、「No S are P」からその逆の「No P are S」に移行します。アサ・マハンの言葉を借りれば、

「元の命題は、エクスポジタと呼ばれます。変換されると、逆命題と呼ばれます。変換は、エクスポジタで肯定または暗示されていないことが逆命題で主張されていない場合にのみ有効です。」^[5]

「exposita」は、通常「convertend」と呼ばれます。その単純な形式では、変換はE命題とI命題にのみ有効です。^[6]

E命題とI命題のみの単純変換の妥当性は、「変換先で分配されない項は、逆命題でも分配されてはならない」という制約によって表現できます。^[7] E命題の場合、主語と述語の両方が分配されますが、 I命題の場合はどちらも分配されません。

A命題の場合、主語は分散されていますが述語は分散されていないため、A命題からその逆命題への推論は有効ではありません。たとえば、A命題「すべての猫は哺乳類である」の場合、逆命題「すべての哺乳類は猫である」は明らかに偽です。ただし、より弱い命題「一部の哺乳類は猫である」は真です。論理学者は、偶発的変換をこの弱い命題を生成するプロセスと定義します。命題から偶発的逆命題への推論は、一般的に有効です。ただし、三段論法と同様に、この普遍から個別への切り替えは空のカテゴリの問題を引き起こします。「すべてのユニコーンは哺乳類である」は真とされることが多いのに対し、偶発的逆命題「一部の哺乳類はユニコーンである」は明らかに偽です。

一階述語計算では、All S are Pは と表すことができます。^[8]したがって、カテゴリカル逆は含意逆と密接に関連しており、All S are PではSとPを入れ替えることはできないことは明らかです。 ${\displaystyle \forall x.S(x)\to P(x)}$

• アリストテレス
• 対偶
• 逆（論理）
• 論理接続詞
• 転覆
• 用語ロジック
• 転置（ロジック）

• アリストテレス。オルガノン。
• コピ、アーヴィング『論理学入門』マクミラン社、1953年。
• コピ、アーヴィング。記号論理学。マクミラン、1979年、第5版。
• ステビング、スーザン。『論理学への現代入門』クロムウェル社、1931年。