ケプラー・ボウカンプ定数

平面幾何学では、ケプラー・ボウカンプ定数（または多角形内接定数）は、次のシーケンスの極限として得られます。半径1の円を考えます。この円に正三角形を内接させます。この三角形に円を内接させます。正方形を内接させます。円、正五角形、円、正六角形などを内接させます。極限円の半径は、ケプラー・ボウカンプ定数と呼ばれます。 ^{[ 1 ]}これは、ヨハネス・ケプラーとクリストッフェル・ヤコブ・ボウカンプにちなんで名付けられ、多角形外接定数の逆数です。 

ケプラー・ボウカンプ定数の十進展開は（OEISのシーケンスA085365）である。$$\displaystyle \prod _{k=3}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{k}}=0.1149420448\dots .}$$ ケプラー・ボウカンプ定数の自然対数は次のように表される。 $${\displaystyle -2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{2k}-1}{2k}}\zeta (2k)\left(\zeta (2k)-1-{\frac {1}{2^{2k}}}\right)}$$

どこ${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$はリーマンゼータ関数です。

奇素数について積をとると、定数は $${\displaystyle \prod _{k\,=\,3,\,5,\,7, \atop 11,\,13,\,17,\,\ldots }\!\!\!\cos {\frac {\pi }{k}}=0.312832\ldots }$$（OEISの配列A131671） が得られた。

• Kitson, Adrian R. (2006). "ケプラー・ボウカンプ定数の素数類似体". arXiv : math/0608186 .
• Kitson, Adrian R. (2008). 「ケプラー・ボウカンプ定数の素数類似物」。The Mathematical Gazette . 92 : 293. doi : 10.1017/S0025557200183214 . S2CID 117950145 . 
• Doslic, Tomislav (2014). 「組み合わせ数列のケプラー・ボウカンプ半径」 . Journal of Integer Sequence . 17 : 14.11.3.

• Weisstein, Eric W. 「多角形の内接」 . MathWorld .