有限差分時間領域法

有限差分時間領域法( FDTD ) またはYee 法( 1934 年生まれの中国系アメリカ人応用数学者Kane S. Yeeにちなんで命名) は、数値解析手法であり、計算電気力学のモデリング (関連する微分方程式系の近似解の探索)に使用されます。時間領域法であるため、FDTD ソリューションは1 回のシミュレーション実行で広い周波数範囲をカバーでき、非線形材料特性を自然な方法で処理できます。

FDTD 法は、グリッドベースの微分数値モデリング法 (有限差分法)の一般的なクラスに属します。時間依存のマクスウェル方程式(偏微分形式 )は、空間および時間の偏微分に対する中心差分近似を使用して離散化されます。結果として得られる有限差分方程式は、ソフトウェアまたはハードウェアのいずれかでリープフロッグ方式で解かれます。つまり、空間ボリューム内の電界ベクトル成分が特定の瞬間に解かれ、次に同じ空間ボリューム内の磁界ベクトル成分が次の瞬間に解かれます。このプロセスは、目的の過渡的または定常状態の電磁場動作が完全に展開されるまで何度も繰り返されます。

歴史

時間依存偏微分方程式(PDE) の差分スキームは、計算流体力学の問題で長年使用されてきました。 ^[1]これには、空間と時間の交互に配置されたグリッド上で中心化された差分演算子を使用して 2 次精度を達成するというアイデアが含まれます。^[1] 1966 年の独創的な論文^[2]で発表された Kane Yee の FDTD スキームの斬新さは、 Maxwell の回転方程式の各電気ベクトル場と磁気ベクトル場の成分に対して、空間と時間の交互に配置されたグリッド上で中心化された差分演算子を適用することでした。「有限差分時間領域」という記述子と、それに対応する「FDTD」という頭字語は、1980 年にAllen Tafloveによって考案されました。 ^{[3] 1990 年頃から、FDTD 技術は、材料構造と}電磁波の相互作用を扱う多くの科学的および工学的問題を計算的にモデル化するための主要な手段として登場しました。現在のFDTDモデリングの用途は、近直流（地球電離層導波管全体を含む超低周波地球物理学）からマイクロ波（レーダーシグネチャ技術、アンテナ、無線通信デバイス、デジタル相互接続、生物医学的画像/治療）、可視光（フォトニック結晶、ナノプラズモニクス、ソリトン、バイオフォトニクス）まで多岐にわたります。^[4] 2006年には、科学および工学の文献に推定2,000件のFDTD関連の出版物が掲載されました（人気を参照）。2013年の時点で、少なくとも25の商用/独自のFDTDソフトウェアベンダー、13のフリーソフトウェア/オープンソースソフトウェアのFDTDプロジェクト、および2つのフリーウェア/クローズドソースのFDTDプロジェクトがあり、一部は商用利用不可です（外部リンクを参照）。

FDTD法とマクスウェル方程式の開発

マクスウェル方程式の FDTD 数値手法の基礎、技術開発、および将来性を理解するには、まずその歴史を検討する必要があります。次に、この分野の主要な出版物の一部を示します。

FDTDモデルと手法

マクスウェルの微分方程式を調べると、時間における電界の変化（時間微分）は空間を横切る磁界の変化（回転）に依存していることがわかります。これにより、空間内の任意の点において、時間における電界の更新値は、電界の保存値と空間における磁界の局所分布の数値回転に依存するという、基本的なFDTD時間ステップ関係が生まれます。^[2]

H フィールドも同様の方法で時間ステップ化されます。空間のどの点でも、時間における H フィールドの更新値は、H フィールドの保存値と空間における E フィールドのローカル分布の数値回転に依存します。E フィールドと H フィールドの更新を繰り返すと、時間進行プロセスが発生し、対象とする連続電磁波のサンプルデータアナログが、コンピュータメモリに保存された数値グリッド内を伝播します。

この説明は、1次元、2次元、3次元のFDTD法に当てはまります。複数の次元を考慮すると、数値回転の計算は複雑になる可能性があります。Kane Yeeの1966年の独創的な論文では、直交座標の計算グリッドの長方形の単位セルの周囲に電界と磁界のベクトル成分を空間的にずらして配置し、各電界ベクトル成分が磁界ベクトル成分のペアの中間に位置するようにし、その逆も行うことを提案しました。^[2]現在Yee格子 として知られるこの方式は非常に堅牢であることが証明されており、現在の多くのFDTDソフトウェア構造の中核となっています。

さらに、Yee は、E フィールドと H フィールドの更新をずらして、E フィールドの更新が各タイムステップの途中で H フィールドの更新の間に実行され、その逆も行われるようにする、時間を進めるためのリープフロッグ方式を提案しました。^[2]プラス面としては、この明示的なタイムステップ方式により、同時方程式を解く必要がなくなり、さらに散逸のない数値波動伝播が得られます。マイナス面としては、この方式では数値安定性を確保するためにタイムステップの上限が必須です。^[9]その結果、特定の種類のシミュレーションでは、完了までに何千ものタイムステップが必要になる場合があります。

FDTD法の使用

マクスウェル方程式の FDTD ソリューションを実装するには、まず計算領域を確立する必要があります。計算領域とは、シミュレーションが実行される物理的な領域です。計算領域内の空間のすべてのポイントで E フィールドと H フィールドが決定されます。計算領域内の各セルの材質を指定する必要があります。通常、材質は自由空間 (空気)、金属、または誘電体のいずれかです。透磁率、誘電率、導電率が指定されている限り、任意の材質を使用できます。

表形式の分散性材料の誘電率は、FDTD法に直接代入することはできません。代わりに、複数のデバイ項、ドルーデ項、ローレンツ項、または臨界点項を使用して近似することができます。この近似は、オープンフィッティングプログラム^[70]を使用して取得できますが、必ずしも物理的な意味を持つわけではありません。

計算領域とグリッド材料が確立されると、ソースが指定されます。ソースは、ワイヤ上の電流、印加電界、または衝突する平面波です。最後のケースでは、FDTDを使用して、任意の形状のオブジェクトからの光散乱、さまざまな入射角での平面周期構造、^[71]^[72]、および無限周期構造のフォトニックバンド構造をシミュレートできます。^[73]^[74]

E フィールドと H フィールドは直接決定されるため、シミュレーションの出力は通常、計算領域内の 1 点または一連の点における E フィールドまたは H フィールドです。シミュレーションは、E フィールドと H フィールドを時間的に前進させます。

シミュレーションによって返された E フィールドと H フィールドに対して処理が行われる場合があります。シミュレーションの実行中にデータ処理が行われる場合もあります。

FDTD法はコンパクトな空間領域内の電磁場を計算するが、散乱および/または放射された遠方場は近距離場から遠方場への変換によって得ることができる。^[14]

FDTDモデリングの強み

すべてのモデリング手法には長所と短所があり、FDTD 法も例外ではありません。

FDTD は、マクスウェル方程式を解くために使用される多目的モデリング手法です。直感的なので、ユーザーは使い方を簡単に理解でき、特定のモデルから何を期待できるかを知ることができます。
FDTD は時間領域技術であり、広帯域パルス (ガウスパルスなど) をソースとして使用すると、広範囲の周波数にわたるシステムの応答を 1 回のシミュレーションで取得できます。これは、共振周波数が正確にわからないアプリケーションや、広帯域の結果が必要な場合に役立ちます。
FDTD は、計算領域内のあらゆる場所の E フィールドと H フィールドを時間の経過に従って計算するため、モデル内の電磁場の動きをアニメーションで表示できます。このタイプの表示は、モデル内で何が起こっているかを理解し、モデルが正しく動作していることを確認するのに役立ちます。
FDTD 技術により、ユーザーは計算領域内のすべてのポイントで材料を指定できます。さまざまな線形および非線形の誘電体および磁性材料を自然かつ簡単にモデル化できます。
FDTD を使用すると、開口部の影響を直接的に判定できます。シールド効果を検出でき、構造の内側と外側の両方のフィールドを直接的または間接的に検出できます。
FDTD は E フィールドと H フィールドを直接使用します。ほとんどの EMI/EMC モデリングアプリケーションは E フィールドと H フィールドを対象としているため、シミュレーションを実行してこれらの値を取得した後に、変換を行う必要がないのは便利です。

FDTDモデリングの弱点

単純な1次元FDTD法による方形パルス信号の数値分散。パルスのエッジ周辺のリンギングアーティファクトが著しく強調され（ギブス現象）、分散媒体がない場合でも信号は伝播するにつれて歪みます。このアーティファクトは離散化法の直接的な結果です。^[4]

FDTD法では計算領域全体をグリッド化する必要があり、グリッド空間の離散化はモデル内の最小の電磁波波長と最小の幾何学的特徴の両方を解くのに十分細かくなければならないため、非常に大きな計算領域が開発され、その結果、解析時間が非常に長くなります。細長い特徴（ワイヤなど）を持つモデルは、必要となる計算領域が大きすぎるため、FDTD法でモデル化するのは困難です。固有モード展開などの方法は、Z方向に沿って細かいグリッドを必要としないため、より効率的な代替手段となります。^[75]
材料界面における誘電率と透磁率の一意の値を決定する方法はありません。
空間ステップと時間ステップはCFL 条件を満たす必要があります。そうでないと、偏微分方程式を解くために使用されるリープフロッグ積分が不安定になる可能性があります。
FDTD法は計算領域内のどこでもE/H場を直接検出します。ある距離での場の値が必要な場合、この距離によって計算領域が過度に大きくなる可能性があります。FDTD法では遠距離場の拡張が可能ですが、ある程度の後処理が必要です。^[4]
FDTD シミュレーションは計算領域内のすべてのポイントで E および H フィールドを計算するため、計算領域はコンピュータメモリ内に保存できるように有限である必要があります。多くの場合、これはシミュレーション空間に人工的な境界を挿入することによって実現されます。このような境界によって生じるエラーを最小限に抑えるように注意する必要があります。無限の境界のない計算領域をシミュレートするために、非常に効果的な吸収境界条件 (ABC) が多数用意されています。^{[4]最新の FDTD 実装のほとんどは、代わりに吸収境界を実装するために}完全整合層(PML) と呼ばれる特殊な吸収「材料」を使用しています。^[42]^[47]
FDTD は時間領域でフィールドを前方に伝播させることによって解かれるため、媒体の電磁時間応答を明示的にモデル化する必要があります。任意の応答の場合、計算コストの高い時間畳み込みが必要になりますが、ほとんどの場合、媒体 (または分散 (光学) ) の時間応答は、再帰畳み込み (RC) 手法、補助微分方程式 (ADE) 手法、または Z 変換手法のいずれかを使用して適切かつ簡単にモデル化できます。任意の分散を簡単に処理できるマクスウェル方程式を解く別の方法は、擬似スペクトル空間領域 (PSSD)です。これは、代わりにフィールドを空間で前方に伝播します。

グリッド切り捨て技術

オープン領域FDTDモデリング問題で最も一般的に使用されるグリッド切断技術は、Mur吸収境界条件（ABC）^[13] 、 Liao ABC、^[16]、およびさまざまな完全整合層（PML）定式化です。^[4]^[43]^[42]^{[47] MurおよびLiao技術はPMLよりも単純です。ただし、PML（技術的には境界条件}自体ではなく吸収領域）は、桁違いに低い反射を提供できます。PMLの概念は、1994年にJournal of Computational Physicsで発表された独創的な論文でJ.-P. Berengerによって導入されました。^[42] 1994年以来、Berengerのオリジナルの分割フィールド実装は修正され、単軸PML（UPML）、畳み込みPML（CPML）、および高次PMLに拡張されました。後者の 2 つの PML 定式化では、エバネッセント波を吸収する能力が向上しているため、原理的には、Berenger の元の定式化よりもシミュレートされた散乱構造または放射構造に近づけることができます。

PMLからの不要な数値反射を減らすために、追加の背面吸収層技術を使用することができる。^[76]

参照

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さらに読む

Nature Milestones: Photonsの次の記事は、マクスウェル方程式に関連した FDTD 法の歴史的重要性を説明しています。

David Pile (2010 年 5 月)。「マイルストーン 2 (1861) マクスウェル方程式」。Nature Milestones: Photons。doi : 10.1038 /nmat2639。2010年6 月 17日閲覧。

マクスウェル方程式の出版 150 周年を記念した 2015 年 1 月号のNature Photonics特集号に掲載された Allen Taflove のインタビュー「数値解法」。このインタビューでは、FDTD の開発がマクスウェルの電気力学理論の 150 年の歴史とどのように結びついているかについて触れています。

ネイチャーフォトニクスのインタビュー

以下の大学レベルの教科書は、FDTD 法の一般的な入門書として最適です。

Karl S. Kunz、Raymond J. Luebbers (1993)。電磁気学のための有限差分時間領域法。CRC Press。ISBN 978-0-8493-8657-2. 2007年12月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年8月5日閲覧。

Allen Taflove、Susan C. Hagness (2005)。計算電気力学: 有限差分時間領域法、第 3 版。Artech House Publishers。ISBN 978-1-58053-832-9。

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John B. Schneider (2010)。FDTD 法の理解。オンラインで入手可能。

外部リンク

フリーソフトウェア/オープンソースソフトウェアFDTD プロジェクト:

FDTD++: 高度なフル機能の FDTD ソフトウェア、洗練された材料モデル、定義済みのフィット、ディスカッション/サポートフォーラム、電子メールサポート
openEMS (C++ で記述され、 Matlab / Octaveインターフェイスを使用する、完全な 3D 直交座標および円筒形の段階的メッシュ EC-FDTD ソルバー)
pFDTD (Se-Heon Kim が開発した 3D C++ FDTD コード)
JFDTD (Jeffrey M. McMahon がナノフォトニクス用に開発した 2D/3D C++ FDTD コード)
WOLFSIM 2008-07-02 にWayback Machineでアーカイブ(NCSU) (2-D)
Meep ( MIT、2D/3D/円筒並列 FDTD)
(ジオ)レーダーFDTD
bigboy (メンテナンスされていないため、リリースファイルはありません。ソースは CVS から取得する必要があります)
C++ の並列 (MPI&OpenMP) FDTD コード (Zs. Szabó によって開発)
Fortran 90 の FDTD コード
2D EM 波シミュレーション用の C FDTD コード
Angora (Ilker R. Capoglu が管理する 3D 並列 FDTD ソフトウェアパッケージ)
GSvit (グラフィックカードコンピューティングをサポートする 3D FDTD ソルバー、C 言語で記述、グラフィカルユーザーインターフェイス XSvit が利用可能)
gprMax (オープンソース (GPLv3)、GPR 用に開発された Python/Cython の 3D/2D FDTD モデリングコードですが、一般的な EM モデリングにも使用できます。)

フリーウェア/クローズドソースFDTD プロジェクト (一部は商用利用不可):

EMTL (電磁テンプレートライブラリ) (電磁シミュレーション用の無料の C++ ライブラリ。現在のバージョンでは主に FDTD を実装しています)。

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