修正節点解析

電気工学において、修正節点解析^{[1]またはMNAは}節点解析の拡張であり、回路の節点電圧（従来の節点解析のように）だけでなく、いくつかの分岐電流も決定します。修正節点解析は、節点解析で電圧定義コンポーネント（電圧制御電圧源など）を表現する難しさを軽減するための形式として開発されました。これはそのような形式の一つです。スパースタブロー定式化^[2]などの他の形式も同様に一般的であり、行列変換を介して関連しています。

MNAは要素の分岐構成方程式またはBCE、つまり電圧-電流特性とキルヒホッフの回路法則を使用します。この方法は4つのステップで実行されることが多いですが^[3]、3つに減らすこともできます。

ステップ1

回路のKCL方程式を書きます。電気回路の各ノードで、ノードに出入りする電流を書きます。ただし、MNA方式では、独立した電圧源の電流は「プラス」から「マイナス」に取られることに注意してください (図 1 を参照)。また、各方程式の右辺は常にゼロに等しいため、ノードに入る分岐電流には負の符号が付けられ、ノードから出る分岐電流には正の符号が付けられます。

ステップ2

回路のノード電圧に関して BCE を使用して、できるだけ多くの分岐電流を排除します。ノード電圧に関して BCE を記述すると、手順が 1 つ省かれます。BCE が分岐電圧に関して記述されている場合は、分岐電圧をノード電圧に置き換えるというもう 1 つの手順が必要になります。この記事では、ノード電圧の名前には文字「e」が使用され、分岐電圧の名前には文字「v」が使用されています。

ステップ3

最後に、使用しない方程式を書き留めます。

図は RC 直列回路を示し、表は線形抵抗器と線形コンデンサの BCE を示します。抵抗器の場合は、 の代わりにアドミタンス i、が使用されることに注意してください。ここでは、上記の説明に従って進めます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G=1/R}$${\displaystyle R}$

ステップ1

この場合、 と の2 つのノードがあります。また、 、、 の3 つの電流があります。 ${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle i_{V_{s}}}$${\displaystyle i_{R}}$${\displaystyle i_{C}}$

ノードe1ではKCL は次の結果を生成します。

${\displaystyle i_{V_{s}}+i_{R}=0}$

ノードe2では次のようになります。

${\displaystyle -i_{R}+i_{C}=0}$

ステップ2

表に示された BCE と次の点に注目してください。

${\displaystyle V_{s}=e_{1}}$

${\displaystyle V_{R}=e_{1}-e_{2}}$

${\displaystyle V_{C}=e_{2},}$

結果は次の式になります。

${\displaystyle G(e_{1}-e_{2})+i_{V_{S}}=0}$

${\displaystyle C{\frac {de_{2}}{dt}}+G(e_{2}-e_{1})=0}$

ステップ3

この時点では方程式は2つあるが未知数は3つあることに注意。方程式が抜けているのは、

${\displaystyle e_{1}=V_{s}}$

そして最終的に 3 つの方程式と 3 つの未知数が得られ、解ける線形システムが得られます。

ベクトルが定義されている場合、上記の式は次の形で表される。 ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&i_{V_{S}}\end{pmatrix}}^{T}}$${\displaystyle Ex'(t)+Ax(t)=f,}$

ここで、、および。 ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}G&-G&1\\-G&G&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle E={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&C&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle f={\begin{pmatrix}0&0&V_{s}\end{pmatrix}}^{T}}$

これは、特異なので線形微分代数方程式(DAE)です。修正節点解析から得られるこのような DAE は、受動 RLC コンポーネントのみが使用されている限り、微分指数が 2 以下になることが証明されています。^{[4] [全文引用が必要]}オペアンプなどの能動コンポーネントを使用する場合、微分指数は任意に高くすることができます。^[5]${\displaystyle E}$

DAE は個々のコンポーネントが滑らかな特性を持つことを前提としています。たとえば、ダイオードはショックレー方程式を介してDAE を含む MNA でモデル化/表現できますが、曲線の急激な指数関数的な順方向伝導領域とブレークダウン伝導領域が垂直の直線である、一見より単純な (より理想的な) モデルを使用することはできません。後者の種類の方程式を使用した回路解析 (MNA を含む) は実際にはより複雑であり (DAE を使用する場合よりも)、微分包含理論に依存する非滑らかな動的システム (NSDS) 解析のトピックです。^{[6] [7]}

• 「修正ノード解析（Qucs技術文書のDCアルゴリズムの説明）」 。 2012年12月22日閲覧。