離散双極子近似

離散双極子近似（DDA ）は結合双極子近似とも呼ばれ、^{[1]任意の形状の粒子や周期構造による放射線の}散乱を計算する方法です。任意の形状のターゲットが与えられた場合、小さな分極 双極子の有限配列で連続ターゲットを近似することにより、その散乱および吸収特性を計算します。この手法は、ナノフォトニクス、レーダー散乱、エアロゾル物理学、天体物理学など、さまざまなアプリケーションで使用されています。

DDA の基本的な考え方は、1964 年に DeVoe ^[2]によって導入され、分子集合体の光学特性の研究に応用されました。遅延効果は考慮されていなかったため、DeVoe の扱いは波長に比べて小さい集合体に限定されていました。遅延効果を含む DDA は、1973 年に Purcellと Pennypacker ^[3]によって提案 され、星間塵粒子の研究に使用されました。簡単に言えば、DDA は連続体ターゲットを有限の分極点配列で近似したものです。点は局所電場に応じて双極子モーメントを獲得します。双極子は電場を介して互いに相互作用するため、DDA は結合双極子近似とも呼ばれます。^{[1] [4]}

DDA の物理的なインスピレーションは自然から得られました。1909 年にローレンツ^[5]は 、原子が立方格子上に配置されている場合、物質の誘電特性は、それを構成する個々の原子の分極率と直接関係していることを示しました。特に単純で正確な関係は、クラウジウス-モソッティ関係(またはローレンツ-ローレンツ) です。原子間の間隔に比べて大きな長さのスケールで固体の連続体表現が適切であるのと同様に、分極点の配列は、双極子間の距離に比べて大きな長さのスケールで連続体のターゲットの応答を正確に近似できると期待できます。

有限の点双極子配列の場合、散乱問題は正確に解くことができるため、DDA に存在する唯一の近似は、連続ターゲットを N 点双極子配列で置き換えることです。この置き換えには、形状 (双極子の位置) と双極子分極率の両方を指定する必要があります。単色入射波の場合、振動双極子モーメントの自己無撞着解が見つかります。これらから、吸収断面積と散乱断面積が計算されます。入射波の 2 つの独立した分極に対して DDA 解が得られれば、完全な振幅散乱行列を決定できます。あるいは、DDA は電場の体積積分方程式から導くことができます。^[6]これは、点双極子の近似が積分方程式を離散化することと同等であり、双極子のサイズが小さくなるにつれて減少することを強調しています。

分極率がテンソルである可能性があることを認識すれば、DDA は異方性材料に容易に適用できます。ほとんどのアプリケーションでは磁気効果は無視できますが、DDA を拡張して磁化率がゼロでない材料を扱うことも簡単です。

DDA法についてはいくつかのレビューがある。^{[7] [6] [8] [9]}

この方法は、離散双極子近似（DDA）で生じる高速畳み込み問題を解決するために高速フーリエ変換を適用したDraine、Flatau、Goodmanによって改良されました。これにより、大きなターゲットによる散乱の計算が可能になりました。彼らはオープンソースコードDDSCATを配布しました。 ^{[7] [10]} 現在ではいくつかのDDA実装があり、^[6]周期的ターゲットへの拡張、^[11]および平面基板上またはその近くに配置された粒子があります。^{[12] [13]}正確な手法との比較も公開されています。^[14] 離散双極子近似の妥当性基準など、他の側面も公開されています。^[15] DDAは、非常に扁平または長楕円の粒子に対してより効率的な長方形または直方体の双極子を使用するように拡張されました。 ^[16

高速フーリエ変換（FFT）法は、1991年にGoodman、Draine、Flatau ^[17]によって離散双極子近似のために導入されました。彼らは、Clive Tempertonによって書かれた3D FFT GPFAを利用しました。相互作用行列をミラーリングして反転することで、負の遅延を組み込むために、相互作用行列は元のサイズの2倍に拡張されました。それ以来、いくつかのバリアントが開発されました。Barrowes、Teixeira、Kong ^[18]は2001年にブロックの並べ替え、ゼロパディング、再構築アルゴリズムを使用するコードを開発し、メモリ使用量が最小限であると主張しました。McDonald、Golden、Jennings ^{[19]は2009年に1D FFTコードを使用して、FFT計算のx、y、z方向に相互作用行列を拡張し、このアプローチによるメモリの節約を示唆しました。このバリアントは、ShabaninezhadとRamakrishna [20]}によってMATLAB 2021コードにも実装されました。畳み込みを高速化する他の技術は、DDA問題ソルバーで発生する高速フーリエ変換の高速評価とともに、 一般的な文脈で提案されている^{[21] [22] 。}

偏光ベクトルの初期の計算のいくつかは、直接反転^[3]とペトラヴィックとクオ・ペトラヴィックによる共役勾配法の実装に基づいていました。^[23]その後、他の多くの共役勾配法がテストされました。^[24] DDAセットアップで生じる線形方程式の事前処理の進歩も報告されています。^[25]

熱離散双極子近似は、オリジナルのDDAを3Dの任意形状物体間の近接場熱伝達のシミュレーションに拡張したものである。^{[26] [27]}

コードのほとんどは、自由空間または均質な誘電体ホスト媒体内の任意の形状の不均質な非磁性粒子および粒子系に適用されます。計算される量には、通常、ミュラー行列、積分断面積（消衰、吸収、散乱）、内部場、角度分解散乱場（位相関数）が含まれます。既存のDDAコードの比較がいくつか公開されています。^[14]

これらのコードは通常、規則的なグリッド（立方体または直方体）、大規模な線形方程式を解くための共役勾配法、および畳み込み定理を使用する行列ベクトル積のFFT加速を使用します。このアプローチの複雑さは、時間とメモリの両方で双極子の数にほぼ比例します。^[6]

これらのリストには、前のセクションに該当しないコードが含まれています。理由としては、ソース コードが利用できない、FFTアクセラレーションが存在しない、または低下している、コードが特定のアプリケーションに焦点を合わせているため、標準的な散乱量を簡単に計算できない、などが挙げられます。

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  表面上に配置された周期的な立方体のスラブ、格子などの周期的な構造による散乱は、離散双極子近似で解決できます。
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  無限物体（円柱など）による散乱は、離散双極子近似で解くことができます。

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