有限差分周波数領域法

差分周波数領域法（FDFD法）は、 通常は電磁気学、時には音響学における問題に対する数値解法であり、解くべき微分方程式の微分演算子の差分近似に基づいています。 ^[1]

「FDFD」はすべての周波数領域有限差分法を表す一般的な用語ですが、タイトルは主に散乱問題に適用される方法を表しているようです。この方法は有限差分時間領域(FDTD) 法と多くの類似点があり、FDTD に関する文献を直接適用できます。この方法は、一定周波数のソースとフィールドに対するマクスウェル方程式 (またはその他の偏微分方程式) を行列形式に変換することによって機能します。行列Aは波動方程式演算子から導出され、列ベクトルx にはフィールド成分が含まれ、列ベクトルbはソースを表します。この方法は異方性材料を組み込むことができますが、テンソルの非対角成分には特別な処理が必要です。 $Ax=b$

厳密に言えば、電磁気学には少なくとも 2 つの「周波数領域」問題があります。^[2] 1 つは、一定の周波数 ω、つまりの形式、または同様の時間調和ソースを持つ電流密度 J に対する応答を求めるものです。この周波数領域応答問題は、前述の線形方程式のシステムにつながります。散乱問題を解くための周波数領域応答 FDTD 法の初期の説明は、Christ と Hartnagel (1987) によって公開されました。^[3] もう 1 つは、ソースがない場合の構造 (たとえば導波管) の通常モードを求めるものです。この場合、周波数 ω 自体が変数であり、固有値問題が得られます(通常、固有値 λ は ω ²です)。電磁気の固有値を解くための FDTD 法の初期の説明は、Albani と Bernardi (1974) によって公開されました。^[4] $\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{i\omega t}$ $Ax=b$ $Ax=\lambda x$

メソッドの実装

Yee グリッドを使用すると、次のような利点があります: (1) 偽の解を避けるためにゼロ発散条件を暗黙的に満たします。(2) 物理的な境界条件を自然に処理します。(3) 有限差分で回転方程式を近似する非常にエレガントでコンパクトな方法を提供します。
有限差分時間領域 (FDTD) 法に関する文献の多くは FDFD に適用され、特に Yee グリッド上で材料とデバイスを表現する方法に関するトピックが当てはまります。

FDTDとFEMとの比較

FDFD 法は有限要素法 (FEM) と非常によく似ていますが、大きな違いもいくつかあります。FDTD 法とは異なり、順番に計算しなければならない時間ステップがないため、FDFD は実装が容易です。このことから、FDFD の方が計算コストが低いと思われるかもしれませんが、必ずしもそうではありません。FDFD 法では、スパース線形システムを解く必要があります。これは、単純な問題でも 20,000 x 20,000 以上の要素があり、100 万を超える未知数を持つ場合があります。この点で、FDFD 法は有限微分法であり、通常は周波数領域で実装される FEM に似ています。効率的な数値ソルバーが用意されているため、行列反転 (計算コストが非常に高いプロセス) を回避できます。さらに、モデル次数削減手法を使用して問題のサイズを縮小できます。

FDFD、そしてFDTDは、Yeeグリッドが主に長方形構造に制限されているため、複雑な形状やマルチスケール構造には適していません。これは、非常に細かいグリッドメッシュを使用するか（計算コストが増加する）、表面境界条件で効果を近似することで回避できます。グリッドがインターフェース境界に沿って均一でない場合、ゼロ発散条件が維持されないため、不均一なグリッド化はインターフェース境界で誤った電荷を引き起こす可能性があります。この問題を回避するために、FEMで行われるように、基底関数を使用してインターフェース全体で弱い連続性を強制することにより、EフィールドとHフィールドの連続性を維持できます。完全整合層（PML）境界条件を使用してグリッドを切り捨て、空のスペースのメッシュ化を回避することもできます。

サセプタンス素子等価回路

FDFD 方程式は、2 次等価回路を記述するように再構成できます。この等価回路では、ノード電圧が E フィールドコンポーネントを表し、分岐電流が H フィールドコンポーネントを表します。この等価回路表現は、回路理論の手法を使用して問題を分析または簡素化したり、3 次元電磁シミュレーションの SPICE のようなツールとして使用したりできるため、非常に便利です。このサセプタンス要素等価回路 (SEEC) モデルには、未知数が少なく、E フィールドコンポーネントのみを解くだけでよく、2 次モデル次数削減手法を使用できるという利点があります。

アプリケーション

FDFD 法は、電子パッケージングのさまざまなアプリケーションにおける相互接続をモデル化するための全波シミュレーションを提供するために使用されてきました。FDFD は、光周波数におけるさまざまな散乱問題にも使用されてきました。

参照

参考文献

^ Raymond C. Rumpf (2022). Artech House (編). 初心者のための電磁気および光子シミュレーション: MATLAB での有限差分周波数領域。
^ JD Joannopoulos; SG Johnson; JN Winn; RD Meade (2008). プリンストン大学出版局 (編). フォトニック結晶: 光の流れを形成する、第 2 版。pp. 688–696。
^ Andreas Christ 、 Hans L. Hartnagel (1987)。「マイクロ波デバイスの埋め込み解析のための 3 次元差分法」。IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques。35 ( 8): 688–696。Bibcode :1987ITMTT..35..688C。doi : 10.1109 /TMTT.1987.1133733。
^ M. Albani; P. Bernardi (1974). 「積分形式でのマクスウェル方程式の離散化に基づく数値法」. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 22 (4): 446–450. Bibcode :1974ITMTT..22..446A. doi :10.1109/TMTT.1974.1128246.

[Rumpf24-1] Raymond C. Rumpf (2022). Artech House (編). 初心者のための電磁気および光子シミュレーション: MATLAB での有限差分周波数領域。

[Joannopoulos08-2] JD Joannopoulos; SG Johnson; JN Winn; RD Meade (2008). プリンストン大学出版局 (編). フォトニック結晶: 光の流れを形成する、第 2 版。pp. 688–696。

[Christ87-3] ^ Andreas Christ 、 Hans L. Hartnagel (1987)。「マイクロ波デバイスの埋め込み解析のための 3 次元差分法」。IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques。35 ( 8): 688–696。Bibcode :1987ITMTT..35..688C。doi : 10.1109 /TMTT.1987.1133733。

[Albani1974-4] M. Albani; P. Bernardi (1974). 「積分形式でのマクスウェル方程式の離散化に基づく数値法」. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 22 (4): 446–450. Bibcode :1974ITMTT..22..446A. doi :10.1109/TMTT.1974.1128246.