ヒーグナーポイント

数学において、ヒーグナー点とは、上半平面の二次虚点の像であるモジュラー曲線上の点である。これらはブライアン・バーチによって定義され、クラス1の 虚二次体に関するガウス予想を証明するために同様のアイデアを使用したカート・ヒーグナーにちなんで名付けられた。

グロス・ザギエの定理(Gross & Zagier 1986)は、楕円曲線の点s = 1 におけるL 関数の導関数によってヒーグナー点の高さを記述する 。特に、楕円曲線が (解析的) 階数 1 を持つ場合、ヒーグナー点を使用して無限次数の曲線上に有理点を構築できる (したがって、モーデル・ヴェイユ群の階数は少なくとも 1 である)。より一般的には、グロス、コーネン、ザギエ (1987) は、ヒーグナー点を使用して各正の整数nに対して曲線上に有理点を構築できること、およびこれらの点の高さが重み 3/2 のモジュラー形式の係数であることを示した。Shou-Wu Zhang は、楕円曲線の Gross–Zagier 定理をモジュラーアーベル多様体の場合に一般化しました(Zhang 2001、2004、Yuan、Zhang、Zhang  2009)。

コリヴァギンは後にヒーグナー点を用いてオイラー系を構築し、これを用いて階数 1 の楕円曲線に対するバーチ・スウィナートン・ダイアー予想の多くを証明した。ブラウンは、正特性の大域体上の階数 1 の楕円曲線のほとんどに対してバーチ・スウィナートン・ダイアー予想を証明した(Brown 1994)。

Heegner 点は、単純な方法では見つけられない、ランク 1 の楕円曲線上の非常に大きな有理点を計算するために使用できます (概要については (Watkins 2006) を参照)。アルゴリズムの実装は、Magma、PARI/GP、およびSageで利用できます。

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