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数学において、体K上に定義されたアーベル多様体 A は、その自己準同型環End( A ) 内に十分大きい可換部分環を持つとき、 CM 型を持つという。ここでの用語は、19 世紀に楕円曲線に対して開発された複素乗法理論に由来する。20世紀の代数的整数論と代数幾何学における主要な成果の 1 つは、次元d > 1のアーベル多様体に対する対応する理論の正しい定式化を見つけることであった。 複数の複素変数の解析関数を操作するのははるかに難しいため、問題はより深い抽象レベルにある。
正式な定義は
End( A )と有理数体Qのテンソル積は、Q上の次元2 dの可換部分環を含むはずである。d = 1のとき、これは2次体のみになり、End( A )が虚2次体の順序である場合が回復される。d > 1のとき、全実体の複素2次拡大であるCM体に対して同等の場合がある。Aが単純なアーベル多様体ではない可能性があることを反映する他の場合もある（たとえば、楕円曲線の直積である可能性がある）。CMタイプのアーベル多様体の別名は、十分に多くの複素乗算を持つアーベル多様体である。
K が複素数である場合、そのような任意のA は、実際には数体 である定義体を持つことが知られています。自己準同型環の可能なタイプは、反転( Rosati 反転)を持つ環として分類されており、CM 型アーベル多様体の分類につながっています。楕円曲線と同じスタイルでこのような多様体を構築するには、C dの格子Λ から始めて、アーベル多様体論の リーマン関係式を考慮に入れる必要があります。
CM型は、 End Q ( A ) の(最大) 可換部分環Lが単位元におけるAの正則接空間に及ぼす作用を記述したものです。単純なスペクトル理論を適用して、 L が固有ベクトルの基底を介して作用することを示します。言い換えると、L はA上の正則ベクトル場への対角行列を介した作用を持ちます。 L自体がいくつかの体の積ではなく数体である単純なケースでは、 CM 型はLの複素埋め込みのリストです。複素共役ペアで発生する複素埋め込みは2 d個あります。CM 型では、各ペアから 1 つを選択します。このような可能な CM 型はすべて実現できることが知られています。
志村五郎と谷山豊の基本的な結果は、 CM 型と、そこから無限大型が導かれるヘッケ指標を持つヘッケ L 関数に関して、Aのハッセ・ヴェイユ L 関数を計算するものです。これらは、楕円曲線の場合の マックス・デューリングの結果を一般化したものです。
参考文献
- ラング、セルジュ（1983）、複素乗算、シュプリンガー・ヴェルラグ、ISBN 0-387-90786-6