複素共役表現

数学において、 $G$ が群であり、 $Π が$ 複素ベクトル空間 $V$ 上のその表現である場合、複素共役表現 $Π$ は複素共役ベクトル空間 $V$ 上で次のように定義されます。

Π (g)は

G

内の

すべてのg

に対する

Π(

g

)

の共役です。

$Π$ もまた表現であり、明示的に確認することができます。

$g$ が実リー代数であり、 $π がベクトル空間$ $V$ 上のその表現である場合、共役表現 $π$ は共役ベクトル空間 $V$ 上で次のように定義されます。

π (X)は

g

内の

すべてのX

に対する

π(X)

の共役である。^[1]

$π$ もまた表現であり、明示的に確認することができます。

2 つの実リー代数が同じ複素化を持ち、複素化リー代数の複素表現を持つ場合、それらの共役表現は依然として異なります。スピングループ $Spin($ $p$ $+$ $q$ $)$ と $Spin($ $p$ $,$ $q$ $)$ のスピノル表現に関連するいくつかの例については、スピノルを参照してください。

が*-リー代数（リー括弧と互換性のある*演算を持つ複素リー代数）である場合、 ${\mathfrak {g}}$

π (X) は

、g

内の

すべてのX

について

-π(X *)

の共役である

有限次元のユニタリ表現の場合、双対表現と共役表現は一致します。これは擬似ユニタリ表現にも当てはまります。

参照

二重表現

注記

^ これは数学者の慣例です。物理学者は、 2 つの実ベクトルのリー括弧が虚ベクトルになるという異なる慣例を使用します。物理学者の慣例では、定義にマイナスを挿入します。

[1] これは数学者の慣例です。物理学者は、 2 つの実ベクトルのリー括弧が虚ベクトルになるという異なる慣例を使用します。物理学者の慣例では、定義にマイナスを挿入します。