実構造

数学において、複素ベクトル空間上の実構造は、複素ベクトル空間を2 つの実ベクトル空間の直和に分解する方法です。このような構造のプロトタイプは、複素数体自体であり、複素数体自体と共役写像 （ ）を持つ複素ベクトル空間として考えられ、上の「標準的な」実構造、つまり を与えます。 ${\displaystyle \sigma :{\mathbb {C} }\to {\mathbb {C} }\,}$${\displaystyle \sigma (z)={\bar {z}}}$${\displaystyle {\mathbb {C} }\,}$${\displaystyle {\mathbb {C} }={\mathbb {R} }\oplus i{\mathbb {R} }\,}$

共役写像は反線形です:および。 ${\displaystyle \sigma (\lambda z)={\bar {\lambda }}\sigma (z)\,}$${\displaystyle \sigma (z_{1}+z_{2})=\sigma (z_{1})+\sigma (z_{2})\,}$

複素ベクトル空間V上の実構造は反線型反転である。実構造は実部分空間、その固定軌跡、および自然写像 を定義する。 ${\displaystyle \sigma :V\to V}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\subset V}$

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }\to V}$

同型です。逆に、 実ベクトル空間の 複素化である任意のベクトル空間は自然な実構造を持ちます。

まず、すべての複素空間V には、元の集合と同じベクトルを取り、スカラーを実数に制限することによって得られる実現値があることに留意してください。およびの場合、ベクトルおよび はVの実現値において線形独立です。したがって、 ${\displaystyle t\in V\,}$${\displaystyle t\neq 0}$${\displaystyle t\,}$${\displaystyle it\,}$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }V=2\dim _{\mathbb {C} }V}$

当然、V を2 つの実ベクトル空間の直和、つまり「Vの実部と虚部」として表すことが望まれるでしょう。これを行う標準的な方法はありません。このような分割は、Vにおける追加の実構造です。これは次のように導入できます。^{[1]を、複素空間}Vの反線型反転である反線型写像とします。任意のベクトルは、およびと表記できます。 ${\displaystyle \sigma :V\to V\,}$${\displaystyle \sigma \circ \sigma =id_{V}\,}$${\displaystyle v\in V\,}$${\displaystyle {v=v^{+}+v^{-}}\,}$${\displaystyle v^{+}={1 \over {2}}(v+\sigma v)}$${\displaystyle v^{-}={1 \over {2}}(v-\sigma v)\,}$

したがって、ベクトル空間の直和は次のようになります。 ${\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}$

${\displaystyle V^{+}=\{v\in V|\sigma v=v\}}$そして。${\displaystyle V^{-}=\{v\in V|\sigma v=-v\}\,}$

集合と は両方とも実ベクトル空間です。線型写像 （）は実ベクトル空間の同型であり、したがって次のようになります。 ${\displaystyle V^{+}\,}$${\displaystyle V^{-}\,}$${\displaystyle K:V^{+}\to V^{-}\,}$${\displaystyle K(t)=it\,}$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }V^{+}=\dim _{\mathbb {R} }V^{-}=\dim _{\mathbb {C} }V\,}$。

最初の因数はとも表され、 によって不変のまま残されます。つまり、 です。2番目の因数は通常 で表されます。直和は次のようになります。 ${\displaystyle V^{+}\,}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$${\displaystyle \sigma \,}$${\displaystyle \sigma (V_{\mathbb {R} })\subset V_{\mathbb {R} }\,}$${\displaystyle V^{-}\,}$${\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}$${\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}$

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}$、

すなわち、 Vの「実部」と「虚部」の直和として。この構成は、複素ベクトル空間Vの反線型反転の選択に大きく依存します。実ベクトル空間の複素化、すなわち、は 自然な実構造を許容し、したがって、 の 2 つのコピーの直和と標準的に同型です。 ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$${\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}$。

これは、与えられた実構造を持つ複素ベクトル空間間の 自然な線型同型性に従います。${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \to V\,}$

複素ベクトル空間V上の実構造、すなわち反線型反転は、ベクトル空間から複素共役ベクトル空間への線型写像によって記述することができ、次のように定義される。 ${\displaystyle \sigma :V\to V\,}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}:V\to {\bar {V}}\,}$${\displaystyle V\,}$ ${\displaystyle {\bar {V}}\,}$

${\displaystyle v\mapsto {\hat {\sigma }}(v):={\overline {\sigma (v)}}\,}$^[2 ]

実数の部分体上で定義された代数多様体の場合、実構造は複素射影空間またはアフィン空間内の多様体の点に作用する複素共役である。その固定された位置は多様体の実点の空間である（空でもよい）。

実数のサブフィールド上で定義されたスキームの場合、複素共役は、自然に、基本体の代数閉包のガロア群のメンバーになります。実構造は、基本体の代数閉包上のスキームの拡張に対するこの共役のガロア作用です。実数点とは、留数体が固定されている点 (空の場合もあります) です。

数学において、複素ベクトル空間V上の実在構造は、 VをVの実部と虚部と呼ばれる 2 つの実部分空間に分解したものである。

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}$

ここでV _{R は}Vの実部分空間、つまり実数上のベクトル空間として考えられたVの部分空間です。V が複素次元n (実次元 2 n )を持つ場合、V _{R は}実次元n を持つ必要があります。

ベクトル空間上の標準的な現実構造は分解である ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\oplus i\,\mathbb {R} ^{n}.}$

現実構造が存在する場合、Vのすべてのベクトルには実部と虚部があり、それぞれがV _Rのベクトルになります。

${\displaystyle v=\operatorname {Re} \{v\}+i\,\operatorname {Im} \{v\}}$

この場合、ベクトルvの複素共役は次のように定義されます。

${\displaystyle {\overline {v}}=\operatorname {Re} \{v\}-i\,\operatorname {Im} \{v\}}$

この写像は反線形反転であり、すなわち ${\displaystyle v\mapsto {\overline {v}}}$

${\displaystyle {\overline {\overline {v}}}=v,\quad {\overline {v+w}}={\overline {v}}+{\overline {w}},\quad {\text{and}}\quad {\overline {\alpha v}}={\overline {\alpha }}\,{\overline {v}}.}$

逆に、複素ベクトル空間V上の反線型反転が与えられた場合、 V上の現実構造を次のように定義することができます。 ${\displaystyle v\mapsto c(v)}$

${\displaystyle \operatorname {Re} \{v\}={\frac {1}{2}}\left(v+c(v)\right),}$

定義する

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\left\{\operatorname {Re} \{v\}\mid v\in V\right\}.}$

それから

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}$

これは実際には、 Vを実線型演算子cの固有空間として分解したものです。 cの固有値は+1 と -1 で、固有空間はそれぞれV _RとV _Rです。通常、演算子c自体は、それが伴う固有空間分解ではなく、 V上の現実構造と呼ばれます。 ${\displaystyle i}$ 

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• スピノル計​​算

• Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN  0-521-38632-2 . (反線型写像についてはセクション 4.6 で説明します)。
• Budinich, P. および Trautman, A. The Spinorial Chessboard . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (反線型写像についてはセクション 3.3 で説明します)。 
• ペンローズ、ロジャー、リンドラー、ヴォルフガング（1986）、スピノルと時空。第2巻、ケンブリッジ数理物理学モノグラフ、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-25267-6、MR  0838301