Concyclic points

In geometry, a set of points are said to be concyclic (or cocyclic) if they lie on a common circle. A polygon whose vertices are concyclic is called a cyclic polygon, and the circle is called its circumscribing circle or circumcircle. All concyclic points are equidistant from the center of the circle.

Three points in the plane that do not all fall on a straight line are concyclic, so every triangle is a cyclic polygon, with a well-defined circumcircle. However, four or more points in the plane are not necessarily concyclic. After triangles, the special case of cyclic quadrilaterals has been most extensively studied.

In general the centre O of a circle on which points P and Q lie must be such that OP and OQ are equal distances. Therefore O must lie on the perpendicular bisector of the line segment PQ.^[1] For n distinct points there are ⁠n(n − 1)/2⁠ bisectors, and the concyclic condition is that they all meet in a single point, the centre O.

The vertices of every triangle fall on a circle called the circumcircle. (Because of this, some authors define "concyclic" only in the context of four or more points on a circle.)^[2] Several other sets of points defined from a triangle are also concyclic, with different circles; see Nine-point circle^[3] and Lester's theorem.^[4]

The radius of the circle on which lie a set of points is, by definition, the radius of the circumcircle of any triangle with vertices at any three of those points. If the pairwise distances among three of the points are a, b, and c, then the circle's radius is

$${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}}.}$$

ここでは、三角形の外接円の方程式、および頂点のデカルト座標を用いた円の半径と中心の座標の式を示します。

円周が一致する頂点を持つ四角形ABCD は円に内接する四角形と呼ばれます。これは、 ∠ CAD = ∠ CBD ( 円周角の定理)の場合に限り 発生し、これは四角形内の対角が補角である場合に限り真となります。^{[ 6 ]}連続する辺がa、b、c、dで、半周長がs = a + b + c + d / 2である円に内接する四角形の外接半径は次のように与えられます。^{[ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(sa)(sb)(sc)(sd)}}},}$$15世紀にインドの数学者ヴァタッセリ・パラメシュヴァラ によって導き出された表現。

プトレマイオスの定理によれば、四角形が4つの頂点A、B、C、D間の距離を順に表すと、対角線の積が対向する辺の積の和に等しい場合に限り、その四角形は円弧状である。

$${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.}$$

線分ACを含む直線と線分BDを含む直線の2 つがXで交わる場合、4 つの点A、B、C、Dは、次の場合に限り同一円周上にある。^{[ 9 ]}$${\displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.}$$

交点Xは円の内側にも外側にもなり得る。この定理は点のべき乗として知られている。

凸四角形は、辺の中点と4つの高さの足が8つの同一円上の点である場合に限り、直交対角線を持つ（対角線が垂直である） 。

より一般的には、すべての頂点が同一円周上にある多角形を円周多角形と呼びます。多角形が円周多角形であるのは、その辺の垂直二等分線が一点で交わる場合のみです。^{[ 10 ]}すべての正多角形は円周多角形です。

辺の数が奇数の円に内接する多角形の場合、すべての角度が等しいのは、その多角形が正多角形である場合に限ります。辺の数が偶数の円に内接する多角形の場合、すべての角度が等しいのは、交代辺が等しい場合（つまり、辺1、3、5、…が等しく、辺2、4、6、…が等しい場合）に限ります。^{[ 11 ]}

辺の長さと面積が有理数である円周を持つ五角形は、ロビンス五角形として知られています。既知のすべてのケースでは、その対角線の長さも有理数ですが、これがすべての可能なロビンス五角形に当てはまるかどうかは未解決の問題です。^{[ 12 ]}

偶数nの任意の円周n角形において、一方の錯角（第 1 角、第 3 角、第 5 角など）の和は、もう一方の錯角の和と等しくなります。これは、n = 4 の場合から帰納法によって証明できます。各場合において、1 つの辺を 3 つの辺に置き換え、これら 3 つの新しい辺と元の辺を合わせて、この性質を持つ四角形を形成することに注目します。後者の四角形の錯角は、前のn角形の錯角の和に加算された値に相当します。

接線多角形とは、多角形の各辺に接する内接円を持つ多角形のことです。したがって、これらの接点は内接円上で同一円周上にあります。1 つのn角形が円に内接し、別のn角形が最初のn角形の頂点でその円に接しているとします。すると、円上の任意の点Pから、 Pから最初のn角形の辺への垂線距離の積は、 Pから 2 番目のn角形の辺への垂線距離の積に等しくなります。^{[ 13 ]}

多角形外接定数

正多角形はすべて円に内接します。単位円を考え、その円に各辺が接するように正三角形を外接させます。次に円を外接させ、次に正方形を外接させます。再び円を外接させ、次に正五角形を外接させる、といった具合です。外接円の半径は、いわゆる多角形外接定数に収束します。

$$\displaystyle \prod _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{\cos {\frac {\pi }{n}}}}=8.7000366\ldots .}$$

（OEISの配列A051762）。この定数の逆数はケプラー・ボウカンプ定数です。

直線が無限半径を持つ一般化された円の一種とみなされる文脈では、共線点（単一の直線上の点）は同周であるとみなされます。この観点は、例えば円による反転や、より一般的にはメビウス変換（鏡映と円反転によって生成される幾何学的変換）を研究する際に役立ちます。これらの変換は、この拡張された意味でのみ点の同周性を保持するからです。^{[ 16 ]}

複素平面（複素数の実部と虚部を平面のx座標とy座標と見なすことで形成される）では、共円性は特に単純な定式化で表されます。複素平面上の4つの点は、それらの交差比が実数である場合に限り、共円または共線になります。^{[ 17 ]}

円に内接する多角形の中には、面積とすべての辺の長さが正の整数となる性質を持つものがあります。このような性質を持つ三角形はヘロニアン三角形と呼ばれ、この性質を持ち（かつ対角線の長さが整数である）円に内接する四角形はブラフマグプタ四角形と呼ばれ、この性質を持つ円に内接する五角形はロビンス五角形と呼ばれます。より一般的には、これらの円に内接する多角形を有理数で拡大縮小すると、面積と辺の長さが有理数になります。

θ _{1 を}、外接円の中心から見た円周多角形の 1 辺が張る角度とする。同様に、残りの n − 1 辺の中心角 θ 2 、 ...、 θ n を定義する。すべてのヘロニアン三角形と_すべてのブラフマグプタ_四角形は、 kのすべての値に対して、四分の一角の正接tan θ _k /4が有理数である。既知のすべてのロビンス五角形 (有理数の長さの対角線を持つ) はこの性質を持つが、すべての可能なロビンス五角形がこの性質を持つかどうかは未解決の問題である。

辺の数に関わらず、すべての円内多角形について逆のことが言えます。そのような中心角の四分角に対する接線がすべて有理数であれば、単位円に外接する円内多角形は、辺の長さと面積が同時に有理数になります。さらに、2つの頂点が隣接しているかどうかにかかわらず、2つの頂点を結ぶ各対角線は有理数の長さを持ち、各アポセムと各サジッタも同様です。このような円内多角形は、面積と辺の長さがすべて整数になるように拡大縮小できます。

_{この逆の関係により、}面積と辺の長さが整数である円周多角形を生成する方法が得られます。n辺の多角形の場合、c ₁、 ...、c _{n −1を}c 1 < ... < c _{n −1}を満たすゼロでない有理数とします。これらは、累積角θ ₁、θ ₁ + θ ₂、 ...、θ ₁ + ... + θ _{n −1}の 4 分の 1 の正接です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=\tan {\tfrac {1}{4}}\theta _{1}\\c_{2}&=\tan {\tfrac {1}{4}}(\theta _{1}+\theta _{2})\\\vdots \ \,&\\c_{n-1}&=\tan {\tfrac {1}{4}}(\theta _{1}+\dots +\theta _{n-1})\end{aligned}}}$$

角度の差の正接の公式を用いると、個々の四分角の正接は次のように求められる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}&=c_{1},\\[8pt]q_{k}&={\frac {c_{k}-c_{k-1}}{1+c_{k}c_{k-1}}},\quad k=2,\ldots ,n-1\\[4pt]q_{n}&={\frac {1}{c_{n-1}}}.\end{aligned}}}$$

これらの角度の接線q ₁、 ...、q _nから、半角の公式を用いて、外接多角形の辺を形成する弦の長さを求めることができます。

$${\displaystyle s_{k}=2\sin {\frac {\theta _{k}}{2}}={\frac {4q_{k}}{1+q_{k}^{2}}},}$$

これにより、外接多角形の辺の長さs _kが得られます。有理面積Aは、半径と弦によって形成されるk個の三角形の面積を合計することによって求められます(半径の長さは 1 であることに注意してください)。

$${\displaystyle A=\sum _{k}\sin {\frac {\theta _{k}}{2}}\cos {\frac {\theta _{k}}{2}}=\sum _{k}{\frac {2q_{k}(1-q_{k}^{2})}{(1+q_{k}^{2})^{2}}}.}$$

これらは、辺の長さを共通の定数でスケーリングすることで整数にすることができます。この手法は、対角線が有理数のみである場合、面積と辺の長さが整数であるすべての円周多角形を生成しますが、対角線が無理数である多角形は生成しません。したがって、すべてのロビン五角形を生成できるかどうかは未解決の問題です。

5 点以上の集合が共円的であるのは、すべての 4 点部分集合が共円的である場合に限る。^{[ 18 ]}この性質は、凸集合のヘリー性質の共円性の類似物と考えることができる。

関連する概念として、最小境界円というものがある。これは、点の集合を完全に包含する最小の円である。平面上のすべての点の集合には一意の最小境界円が存在し、これは線形時間アルゴリズムによって構築できる。^{[ 19 ]}

集合内の点が同一円周上にある場合でも、それらの点の外接円は最小境界円とは異なる場合があります。例えば、鈍角三角形の場合、最小境界円は最長辺を直径とし、反対側の頂点を通りません。

• ワイススタイン、エリック W. 「Concyclic」 . MathWorld .
• Michael Schreiber によるFour Concyclic Points 、 The Wolfram Demonstrations Project。

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