ディクソン多項式

数学において、ディクソン多項式はD _n ( x , α )と表記され、LE Dickson (1897)によって導入された多項式列を形成します。これは、ブリューワー (1961) によるブリューワー和 の研究で再発見され、まれにブリューワー多項式と呼ばれることもあります。

複素数に対して、ディクソン多項式は変数の変更を伴うチェビシェフ多項式と本質的に等価であり、実際、ディクソン多項式はチェビシェフ多項式と呼ばれることもあります。

ディクソン多項式は一般に有限体上で研究されますが、有限体ではチェビシェフ多項式と等価ではない場合があります。ディクソン多項式が注目される主な理由の 1 つは、αが固定されている場合、有限体の順列として動作する多項式である置換多項式の例が多数得られることです。

整数n > 0およびαが単位元を持つ可換環 R（有限体F _q = GF( q )として選ばれることが多い）の場合、 R上のディクソン多項式（第1種）は^[1]で与えられる。

${\displaystyle D_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n}{n-i}}{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.}$

最初のいくつかのディクソン多項式は

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}(x,\alpha )&=x\\D_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-2\alpha \\D_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-3x\alpha \\D_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-4x^{2}\alpha +2\alpha ^{2}\\D_{5}(x,\alpha )&=x^{5}-5x^{3}\alpha +5x\alpha ^{2}\,.\end{aligned}}}$

これらはn ≥ 2の再帰関係によっても生成される。

${\displaystyle D_{n}(x,\alpha )=xD_{n-1}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2}(x,\alpha )\,,}$

初期条件はD ₀ ( x , α ) = 2およびD ₁ ( x , α ) = xです。

係数はOEIS ^{[2] [3] [4] [5]}の複数の箇所で与えられており、最初の2つの項にはわずかな違いがある。

第二種のディクソン多項式E _n ( x , α )は次のように定義される。

${\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}.}$

これらはあまり研究されておらず、第一種ディクソン多項式と似た性質を持っています。第二種ディクソン多項式の最初のいくつかは

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x,\alpha )&=1\\E_{1}(x,\alpha )&=x\\E_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-\alpha \\E_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-2x\alpha \\E_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-3x^{2}\alpha +\alpha ^{2}\,.\end{aligned}}}$

これらはn ≥ 2の再帰関係によっても生成される。

${\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=xE_{n-1}(x,\alpha )-\alpha E_{n-2}(x,\alpha )\,,}$

初期条件はE ₀ ( x , α ) = 1およびE ₁ ( x , α ) = xです。

係数はOEISにも記載されている。^{[6] [7]}

D _{n は}関数方程式を満たす唯一の単項多項式である。

${\displaystyle D_{n}\left(u+{\frac {\alpha }{u}},\alpha \right)=u^{n}+\left({\frac {\alpha }{u}}\right)^{n},}$

ここ_でα∈Fqかつu ≠ 0∈Fq2で_ある。^{_[ 8} ]

これらはまた、構成規則も満たしている^。[8]

${\displaystyle D_{mn}(x,\alpha )=D_{m}{\bigl (}D_{n}(x,\alpha ),\alpha ^{n}{\bigr )}\,=D_{n}{\bigl (}D_{m}(x,\alpha ),\alpha ^{m}{\bigr )}\,.}$

E _{n は}関数方程式も満たす^[8]

${\displaystyle E_{n}\left(y+{\frac {\alpha }{y}},\alpha \right)={\frac {y^{n+1}-\left({\frac {\alpha }{y}}\right)^{n+1}}{y-{\frac {\alpha }{y}}}}\,,}$

y ≠ 0、y ² ≠ α、ただしα ∈ F _qおよびy ∈ F _{q ²}。

ディクソン多項式y = D _nは常微分方程式の解である。

${\displaystyle \left(x^{2}-4\alpha \right)y''+xy'-n^{2}y=0\,,}$

ディクソン多項式y = E _nは微分方程式の解である。

${\displaystyle \left(x^{2}-4\alpha \right)y''+3xy'-n(n+2)y=0\,.}$

それらの通常の生成関数は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}D_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {2-xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\\\sum _{n}E_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {1}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.\end{aligned}}}$

上記の再帰関係により、ディクソン多項式はルーカス列です。具体的には、α = −1の場合、第1種のディクソン多項式はフィボナッチ多項式であり、第2種のディクソン多項式はルーカス多項式です。

上記の合成規則により、αがべき等である場合、第一種ディクソン多項式の合成は可換である。

• パラメータα = 0の Dickson 多項式は単項式を与えます。

${\displaystyle D_{n}(x,0)=x^{n}\,.}$

• パラメータα = 1のディクソン多項式は、第一種チェビシェフ多項式 T _n ( x ) = cos ( n arccos x )と^[1]の関係にある。

${\displaystyle D_{n}(2x,1)=2T_{n}(x)\,.}$

• ディクソン多項式D _n ( x , α ) は追加の冪等性を持つ環上で定義できるため、D _n ( x , α )はチェビシェフ多項式とは関係がないことがよくあります。

置換多項式(与えられた有限体に対して) は、有限体の要素の置換として機能する多項式です。

ディクソン多項式Dn ( x ,α) （ αを固定したxの関数として考える）は、 nがq2−1と互いに素である^場合に限り、q元を持つ体に対する置換多項式である_。 [ ^9]

フリード (1970) は、無限個の素体に対する置換多項式である任意の積分多項式は、ディクソン多項式と線型多項式 (有理係数) の合成であることを証明した。この主張はシューアの予想として知られるようになったが、実際にはシューアはこの予想を立てなかった。フリードの論文には多数の誤りがあったため、ターンワルド (1995) によって訂正された説明が与えられ、その後ミュラー (1997) はシューアの議論に沿ったより簡単な証明を与えた。

さらに、ミュラー（1997）は、次数がqと互いに素でq未満である有限体F _{q上の任意の置換多項式が}^{、1/4⁠ は、}ディクソン多項式と線形多項式の組み合わせでなければなりません。

有限体上の両種のディクソン多項式は、一般化されたディクソン多項式の列の最初の要素として考えることができ、これを（k + 1）種ディクソン多項式と呼ぶ。^[10]具体的には、α ≠ 0 ∈ F _q（q = p ^e 、ある素数pおよび任意の整数n ≥ 0および0 ≤ k < p）に対して、F _q上の（k + 1）種n次のディクソン多項式（ D _{n , k} ( x , α )と表記）は次のように定義される。^[11]

${\displaystyle D_{0,k}(x,\alpha )=2-k}$

そして

${\displaystyle D_{n,k}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n-ki}{n-i}}{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.}$

D _{n ,0} ( x , α ) = D _n ( x , α )かつD _{n ,1} ( x , α ) = E _n ( x , α )であり、この定義はディクソンの元の多項式を統一し一般化していることを示しています。

ディクソン多項式の重要な性質は一般化できる：^[12]

• 再帰関係：n ≥ 2の場合、

${\displaystyle D_{n,k}(x,\alpha )=xD_{n-1,k}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2,k}(x,\alpha )\,,}$

初期条件はD _{0, k} ( x , α ) = 2 − kおよびD _{1, k} ( x , α ) = xである。

• 関数方程式：

${\displaystyle D_{n,k}\left(y+\alpha y^{-1},\alpha \right)={\frac {y^{2n}+k\alpha y^{2n-2}+\cdots +k\alpha ^{n-1}y^{2}+\alpha ^{n}}{y^{n}}}={\frac {y^{2n}+{\alpha }^{n}}{y^{n}}}+\left({\frac {k\alpha }{y^{n}}}\right){\frac {y^{2n}-{\alpha }^{n-1}y^{2}}{y^{2}-\alpha }}\,,}$

ここでy ≠ 0、y ² ≠ αです。

• 生成関数:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D_{n,k}(x,\alpha )z^{n}={\frac {2-k+(k-1)xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.}$

• ブリューワー、BW (1961)、「特定の特性和について」、アメリカ数学会誌、99 (2): 241–245、doi : 10.2307/1993392、ISSN  0002-9947、JSTOR  1993392、MR  0120202、Zbl  0103.03205
• Dickson, LE (1897)。「素数の文字の累乗に対する置換の解析的表現と線型群 I,II の考察」。Ann . of Math。11 ( 1/6 )。The Annals of Mathematics: 65–120, 161–183。doi : 10.2307/1967217。hdl : 2027/uiuo.ark  : /13960/t4zh9cw1v。ISSN 0003-486X。JFM  28.0135.03。JSTOR 1967217  。
•  フリード、マイケル (1970 ) 。 「シュアの予想について」。 ミシガン数学誌。17 :41–55。doi : 10.1307 / mmj /1029000374。ISSN 0026-2285。MR  0257033。Zbl 0169.37702 。
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• リドル、ルドルフ、ニーダーライター、ハラルド(1983)。有限体。数学とその応用百科事典。第 20 巻 (第 1 版)。アディソン・ウェスレー。ISBN 978-0-201-13519-0.ZBL0866.11069  .​
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• マレン、ゲイリー L.; パナリオ、ダニエル (2013)、有限体ハンドブック、CRC プレス、ISBN 978-1-4398-7378-6
• ミュラー、ピーター (1997)。「シュアー予想のワイル境界自由証明」 有限体とその応用。3 : 25–32。doi : 10.1006 / ffta.1996.0170。Zbl 0904.11040。
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• Bayad, Abdelmejid; Cangul, Ismail Naci (2012). 「最小多項式 2 cos(pi/q) と Dickson 多項式」. Appl. Math. Comp . 218 : 7014–7022. doi :10.1016/j.amc.2011.12.044.