フィボナッチ多項式

数学において、フィボナッチ多項式は、フィボナッチ数の一般化とみなすことができる多項式列です。ルーカス数から同様の方法で生成される多項式は、ルーカス多項式と呼ばれます。

これらのフィボナッチ多項式は再帰関係によって定義される：^[1]

${\displaystyle F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n=0\\1,&{\mbox{if }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2\end{cases}}}$

ルーカス多項式は異なる初期値で同じ再帰性を使用する：^[2]

${\displaystyle L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{if }}n=0\\x,&{\mbox{if }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2.\end{cases}}}$

^{負のインデックスについては[3]}で定義できる。

${\displaystyle F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),}$

${\displaystyle L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x).}$

フィボナッチ多項式は、およびを伴う直交多項式の列を形成します。 ${\displaystyle A_{n}=C_{n}=1}$${\displaystyle B_{n}=0}$

最初のいくつかのフィボナッチ多項式は次のとおりです。

${\displaystyle F_{0}(x)=0\,}$

${\displaystyle F_{1}(x)=1\,}$

${\displaystyle F_{2}(x)=x\,}$

${\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,}$

${\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,}$

${\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,}$

${\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,}$

最初のいくつかのルーカス多項式は次のとおりです。

${\displaystyle L_{0}(x)=2\,}$

${\displaystyle L_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,}$

${\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,}$

${\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,}$

${\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,}$

${\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,}$

• F _nの次数はn − 1であり、 L _n の次数はnである。

• フィボナッチ数とルーカス数は、 x  = 1 で多項式を評価することによって復元されます。ペル数は、x  = 2でF _{n を}評価することによって復元されます。

• これらの数列の通常の生成関数は以下の通りである: ^[4]

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}}$

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.}$

• 多項式はルーカス数列で次の ように表すことができる。

  ${\displaystyle F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),\,}$

  ${\displaystyle L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).\,}$

• これらはチェビシェフ多項式 で表現することもでき 、${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}(x)}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}(x)}$

  ${\displaystyle F_{n}(x)=i^{n-1}\cdot {\mathcal {U}}_{n-1}({\tfrac {-ix}{2}}),\,}$

  ${\displaystyle L_{n}(x)=2\cdot i^{n}\cdot {\mathcal {T}}_{n}({\tfrac {-ix}{2}}),\,}$

ここで虚数単位です。${\displaystyle i}$

ルーカス数列の特別なケースとして、フィボナッチ多項式は次のようないくつかの恒等式を満たす。^[3]

${\displaystyle F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,}$

${\displaystyle L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{m-n}(x)\,}$

${\displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,}$

${\displaystyle F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,}$

ビネの公式に似た閉じた形式の表現は以下の通りである: ^[3]

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n},}$

どこ

${\displaystyle \alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}}$

は、（ tにおける）の 解である。

${\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,}$

ルーカス多項式n > 0の場合、

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n}{n-k}}{\binom {n-k}{k}}x^{n-2k}.}$

フィボナッチ多項式と標準基底多項式の関係は^{[5]で与えられる。}

${\displaystyle x^{n}=F_{n+1}(x)+\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\left[{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]F_{n+1-2k}(x).}$

例えば、

${\displaystyle x^{4}=F_{5}(x)-3F_{3}(x)+2F_{1}(x)\,}$

${\displaystyle x^{5}=F_{6}(x)-4F_{4}(x)+5F_{2}(x)\,}$

${\displaystyle x^{6}=F_{7}(x)-5F_{5}(x)+9F_{3}(x)-5F_{1}(x)\,}$

${\displaystyle x^{7}=F_{8}(x)-6F_{6}(x)+14F_{4}(x)-14F_{2}(x)\,}$

F ( n , k ) がF _n ( x )におけるx ^kの係数である場合、すなわち

${\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,}$

すると、 F ( n , k ) は、 n −1 × 1 の長方形を 2 × 1 のドミノと 1 × 1 の正方形でタイル張りし、ちょうどk 個の正方形を使用する方法の数です。 ^[1]同様に、F ( n , k ) は、 n −1 を1 と 2 のみを含む順序付き和として書き表す方法の数であり、1 はちょうどk回使用されます。たとえば、F(6,3)=4 および 5 は、1 と 2 のみを含む和で 1 が 3 回使用される 1+1+1+2、1+1+2+1、1+2+1+1、2+1+1+1 の 4 つの方法で書き表すことができます。このような和で 1 と 2 が両方使用される回数を数えると、次のことがわかります。 ${\displaystyle F(n,k)={\begin{cases}\displaystyle {\binom {{\frac {1}{2}}(n+k-1)}{k}}&{\text{if }}n\not \equiv k{\pmod {2}},\\[12pt]0&{\text{else}}.\end{cases}}}$

これにより、右に示すように パスカルの三角形から係数を読み取る方法が提供されます。

• ベンジャミン、アーサー T. ;クイン、ジェニファー J. (2003)。「フィボナッチとルーカス多項式」。本当に重要な証明: 組み合わせ証明の技術。ドルチアーニ数学解説。第 27 巻。アメリカ数学協会。p. 141。ISBN 978-0-88385-333-7。
• フィリッポウ、アンドレアス N. (2001) [1994]、「フィボナッチ多項式」、数学百科事典、EMS プレス
• Philippou, Andreas N. (2001) [1994]、「ルーカス多項式」、数学百科事典、EMS Press
• ワイスタイン、エリック・W.「ルーカス多項式」。マスワールド。
• Jin, Z. ルーカス多項式とその新しい恒等式について。微分方程式の進歩 2018、126 (2018)。https://doi.org/10.1186/s13662-018-1527-9

• Hoggatt, VE ; Bicknell, Marjorie (1973). 「フィボナッチ多項式の根」. Fibonacci Quarterly . 11 : 271–274. ISSN  0015-0517. MR  0332645.
• Hoggatt, VE; Long, Calvin T. (1974) 「一般化フィボナッチ多項式の割り切れる性質」フィボナッチ季刊誌12 : 113. MR  0352034.
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• Cigler, Johann (2003). 「q-フィボナッチ多項式」.フィボナッチ・クォータリー(41): 31–40. MR  1962279.

• OEISシーケンス A162515 (ビネ形式で定義された多項式の係数の三角形)
• OEISシーケンス A011973 (フィボナッチ多項式の係数の三角形)