エウジェニオ・カラビ

エウジェニオ・カラビ
カラビ 1960 年代頃
生まれる	( 1923-05-11 )1923年5月11日 ミラノ、イタリア王国
死亡	2023年9月25日(2023-09-25)（100歳） ブリンマー、ペンシルベニア州、米国
国籍	アメリカ人
母校	マサチューセッツ工科大学( BS ) イリノイ大学アーバナシャンペーン校( MA ) プリンストン大学（博士号）
知られている	カラビ予想 カラビ・ヤウ多様体 カラビフロー カラビ三角形 カラビ・エックマン多様体
受賞歴	リロイ・P・スティール賞（1991年） パットナムフェロー（1946）
科学者としてのキャリア
フィールド	微分幾何学
機関	ペンシルバニア大学 ミネソタ大学 ルイジアナ州立大学
論文	ケーラー多様体の等長複素解析的埋め込み (1950)
博士課程の指導教員	サロモン・ボクナー
博士課程の学生	陳秀雄

エウジェニオ・カラビ（1923年5月11日 - 2023年9月25日）は、イタリア生まれのアメリカの数学者であり、ペンシルベニア大学のトーマス・A・スコット数学教授であり、微分幾何学、偏微分方程式とその応用を専門としていた。

カラビは1923年5月11日にイタリアのミラノでユダヤ人の家庭に生まれた。^[1]彼の妹はジャーナリストのトゥッリア・ツェヴィ・カラビである。1938年、家族は人種差別法によりイタリアを離れ、1939年にアメリカに移住した。^{[2] [3]}

1939年の秋、16歳だったカラビはマサチューセッツ工科大学に入学し、化学工学を専攻した。 1943年にアメリカ軍に徴兵され、第二次世界大戦に従軍したため、研究は中断された。 1946年に除隊すると、カラビは復員兵援護法に基づいて学士号を取得し、パトナムフェローとなった。^{[3] [4] 1947年に}イリノイ大学アーバナシャンペーン校で数学の修士号を取得し、 1950年にプリンストン大学で数学の博士号を取得した。「ケーラー多様体の等尺性複素解析的埋め込み」と題された博士論文は、サロモン・ボクナーの指導の下で執筆された。^[5]

1951年から1955年までルイジアナ州立大学の助教授を務め、1955年にミネソタ大学に移り、1960年に教授となった。1964年、カラビはペンシルベニア大学の数学教授に加わった。ハンス・ラデマッハーの退職に伴い、 1968年にペンシルベニア大学のトーマス・A・スコット数学教授に任命された。 1994年、カラビは名誉教授となり、2014年に大学から名誉理学博士号を授与された。^{[6] [7] [8]}

1982年、カラビは米国科学アカデミーに選出された。^{[9] 1991年に}アメリカ数学会からリロイ・P・スティール賞を受賞し、「大域微分幾何学、特に複素微分幾何学に関する基礎研究」が「この分野の展望を大きく変えた」と評価された。^[8] 2012年、アメリカ数学会のフェローとなった。^[10] 2021年、イタリア共和国功労勲章コマンドールを受賞した。^{[11] [7]}

カラビは1952年にジュリアナ・セグレと結婚し、息子と娘をもうけた。2023年9月25日に100歳で亡くなった。^{[7] [12]}

カラビは微分幾何学の分野に多くの貢献をした。ここでは触れていないが、その他の貢献としては、マクスウェル・ローゼンリヒトとの長直線の正則版の構築、空間形式のモジュライ空間の研究、与えられた微分形式が調和的であるような計量が見つかる場合の特徴付け、アフィン幾何学に関するさまざまな研究などがある。2021年の著作集のコメントで、カラビは「最も誇りに思う」論文として「凸型の不適正なアフィン超球面とK.イェルゲンスの定理の一般化」を挙げている。^[13]

1954年の国際数学者会議で、カラビはケーラー計量のリッチ曲率をどのように規定できるかに関する定理を発表しました。 ^{[C54]彼は後に}連続の方法による証明に欠陥があることを発見し、その結果はカラビ予想として知られるようになりました。 1957年、カラビは予想を命題として述べた論文を発表しましたが、その証明は明らかに不完全でした。^[C57]彼は、問題の解はどれも一意に定義されなければならないという完全な証明を与えましたが、存在の問題を特定の偏微分方程式の事前推定を確立する問題に還元することしかできませんでした。 1970年代に、シン・トン・ヤウはカラビ予想の研究を始め、最初はそれを反証しようとしました。数年の研究の後、彼は予想の証明を見つけ、その妥当性に関するいくつかの顕著な代数幾何学的帰結を確立することができました。この予想の特殊な例として、リッチ曲率がゼロのケーラー計量がいくつかの複素多様体上で確立されている。これらは現在カラビ・ヤウ計量として知られている。これらは1980年代以降、弦理論の研究で重要になってきた。 ^{[14] [15] [16]}

1982年、カラビは、定スカラー曲率のケーラー計量を見つけるための提案として、現在ではカラビフローとして知られる幾何フローを導入した。^[C82a]より広く、カラビは極限ケーラー計量の概念を導入し、（他の結果の中でも）それらがカラビ汎関数の厳密な大域的最小値を提供することと、任意の定スカラー曲率計量もまた大域的最小値であることを確立した。^[C85]その後、カラビとシウシオン・チェンは、トシキ・マブチによって導入された計量の広範な研究を行い、カラビフローが任意の2つのケーラー計量間のマブチ距離を縮小することを示した。^[CC02]さらに、彼らは、マブチ計量がケーラー計量の空間に非正曲率のアレクサンドロフ空間の構造を与えることを示した。彼らの仕事の技術的な難しさは、無限次元のコンテキストでの測地線の微分可能性が低い場合があることである。^[14]

カラビのよく知られた構成は、曲率が下方に有界であるエルミートベクトル束の全空間に完全なケーラー計量を課す。^[C79]基底が完全なケーラー・アインシュタイン多様体でベクトル束が階数 1 で定曲率を持つ場合、全空間に完全なケーラー・アインシュタイン計量が得られる。複素空間形式の余接束の場合は、超ケーラー計量が得られる。江口・ハンソン空間はカラビの構成の特別な場合である。^[14]

カラビはリーマン幾何学においてラプラス比較定理を発見した。これは、ラプラス・ベルトラミ作用素をリーマン距離関数に適用したものをリッチ曲率に関連付けるものである。 ^[C58a]リーマン距離関数は一般にどこでも微分可能ではないため、定理の大域的バージョンを定式化することは困難である。カラビは、マイケル・クランドールとピエール＝ルイ・リオンズによって導入された後の粘性解よりも古い、微分不等式の一般化された概念を利用した。カラビは、エバーハルト・ホップの強最大原理を粘性解の概念に拡張することで、ラプラス比較定理を使用してジョセフ・ケラーとロバート・オッサーマンの最近の結果をリーマンのコンテキストに拡張することができた。最大原理の異なる用途に基づくさらなる拡張は、後にシュー・ユエン・チェンとヤウらによって発見された。 ^{[14] [17] [18]}

極小曲面に対する古典的なベルンシュタイン問題と並行して、カラビは極大曲面に対する類似の問題を検討し、低次元でその問題を解決した。^[C70]後にチェンとヤウは、リーマン距離関数の微分不可能性を回避するためにカラビが開発したカラビトリックを利用して、無条件の答えを見つけた。類似の研究で、カラビは以前、ユークリッド空間全体で定義され、「右辺」が1に等しいモンジュ-アンペール方程式の凸解を検討していた。コンラート・ヨルゲンスは以前、2変数の関数に対するこの問題を研究し、任意の解が2次多項式であることを証明していた。この問題をアフィン幾何学の問題として解釈することにより、カラビはラプラシアン比較定理に関する以前の研究を適用して、ヨルゲンスの研究をいくつかの高次元に拡張することができた。^{[C58b]この問題は後に}アレクセイ・ポゴレロフによって完全に解決され、その結果は一般にヨルゲンス・カラビ・ポゴレロフの定理として知られています。^[19]

その後、カラビはアフィン超球面の問題を検討し、まずルジャンドル変換が特定のモンジュ・アンペール方程式を解くような面を特徴付けました。カラビは、ヨルゲンスの定理を拡張する以前の方法を応用して、完全なアフィン楕円超球面を分類することができました。^[C72]チェンとヤウによってさらに結果が得られました。^{[19] [20]}

カラビとベノ・エックマンは1953年にカラビ・エックマン多様体を発見した。 ^{[CE53]これは}ケーラー計量を許容しない単連結複素多様体として注目される。^{[21] [22]}

小平邦彦の最近の研究に触発されて、カラビとエドアルド・ヴェセンティーニは、カルタン領域のコンパクトな正則商の無限小剛性について考察した。^[CV60]ボクナーの手法と小平の層コホモロジーの発展を利用して、彼らは高次元の場合の剛性を証明した。彼らの研究は、ジョージ・モストウとグリゴリー・マルグリスの後の研究に影響を与えた。彼らは、カラビやヴェセンティーニのような無限小剛性の結果を理解しようとする試みから、大域剛性の結果を確立した。また、アトレ・セルバーグとアンドレ・ヴェイユの関連研究も行った。^[23]

カラビとローレンス・マルクスは、ローレンツ幾何学における正曲率の空間形式の問題を考察した。^[CM62]ジョセフ・A・ウルフが「非常に驚くべき」と考えた彼らの結果は、 ^[24]基本群は有限でなければならないこと、および対応するド・ジッター時空の等長変換群（方向付け可能条件の下で）は赤道球面上の等長変換によって忠実に作用することを主張している。このように、彼らの空間形式の問題は、正曲率のリーマン空間形式の問題に帰着する。 ^{[25] [26]}

1950 年代のジョン・ナッシュの研究は、等長埋め込みの問題を検討した。彼の研究は、そのような埋め込みが非常に柔軟で変形可能であることを示した。カラビは、博士論文で、複素幾何学的空間形式への正則等長埋め込みの特殊なケースを検討していた。^[C53]彼の驚くべき結果は、そのような埋め込みが、問題の空間形式の固有の幾何学と曲率によって完全に決定されることを示している。さらに、彼は、ケーラーポテンシャルから構築され、リーマン距離関数を模倣する局所的に定義された関数であるディアスタティック関数の導入を通じて、存在の問題を研究することができた。カラビは、正則等長埋め込みがディアスタティック関数を保存しなければならないことを証明した。その結果、彼は正則等長埋め込みの局所的存在の基準を得ることができた。^[22]

その後、カラビは球面上の2次元極小曲面（高次元）を研究した。 ^[C67]彼は、位相的に球面状の極小曲面の面積は離散的な値しか取れないこと、また、その曲面自体は特定のエルミート対称空間内の有理曲線によって分類されることを証明した。^{[27] [28] [29]}

カラビは50本未満の研究論文を執筆した。

カラビの全集は2021年に出版されました。

• カラビ、エウジェニオ（2021）。Bourguignon, ジャン・ピエール;陳秀雄;ドナルドソン、サイモン(編)。収録作品。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 978-3-662-62133-2.ZBL1457.32001  。​

• バーガー、マルセル(1996)。 「幾何学者との出会い：エウジェニオ・カラビ」。デ・バルトロメイス、パオロにて。トリチェッリ、フランコ。ヴェセンティーニ、エドアルド（編）。多様体と幾何学。 1993 年 9 月にピサで開催された E. カラビの 70 歳の誕生日を記念した微分幾何学会議。シンポジウム マテマティカ。 Vol. 36. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。 20–60ページ。ISBN 0-521-56216-3. MR  1410067. Zbl  0926.53001.
• ブルギニヨン、ジャン・ピエール(1996)。 「エウジェニオ・カラビとケーラーの指標」。デ・バルトロメイス、パオロにて。トリチェッリ、フランコ。ヴェセンティーニ、エドアルド（編）。多様体と幾何学。 1993 年 9 月にピサで開催された E. カラビの 70 歳の誕生日を記念した微分幾何学会議。Symposia Mathematica。 Vol. 36. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。 61–85ページ。ISBN 0-521-56216-3. MR  1410068. Zbl  0911.53002.
• Bourguignon, ジャン・ピエール;センドルジ、バラズ（2023年6月28日）。 「100歳のジーン・カラビ – エウジェニオ・カラビとの忘れられない出会い」。ヨーロッパ数学協会雑誌。 No. 128。30 ～ 35 ページ。土井：10.4171/MAG/144。
• ナディス、スティーブ（2023年10月16日）。「空間の形を彫刻した数学者」。Quanta Magazine。
• 陳秀雄編(2024 年 11 月)。 「エウジェニオ・カラビの遺産（1923–2023）」（PDF）。アメリカ数学協会の通知。71 (11): 1502–1519。土井：10.1090/noti3084。