粘度溶液

数学において、粘性解の概念は、偏微分方程式(PDE)の「解」が意味するものについての古典的な概念の一般化として、 1980 年代初頭にPierre-Louis LionsとMichael G. Crandallによって導入されました。粘性解は、動的計画法(ハミルトン–ヤコビ–ベルマン方程式)、微分ゲーム(ハミルトン–ヤコビ–アイザックス方程式)、またはフロント進化問題で生じる 1 次方程式、^{[1] [2]}や、確率的最適制御や確率的微分ゲームで生じるような 2 次方程式など、PDE の多くのアプリケーションで使用する自然な解の概念であることがわかっています。

古典的な概念では、偏微分方程式は

${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$

領域上の方程式は、すべての点で、、、、が上記の式を満たすような 、領域全体で連続かつ微分可能な関数u ( x )を見つけることができれば解を持ちます。${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle デュ}$${\displaystyle D^{2}u}$

スカラー方程式が退化した楕円型（下記で定義）である場合、粘性解と呼ばれるタイプの弱解を定義できます。粘性解の概念では、u はどこでも微分可能である必要はありません。またはが存在しない点があっても、u が適切な一般化された意味で方程式を満たす場合があります。定義では特定の種類の特異点のみが許容されるため、存在、一意性、および均一な制限の下での安定性が、多くのクラスの方程式で保持されます。 ${\displaystyle デュ}$${\displaystyle D^{2}u}$

^{粘性解の定義を表現する同等の方法はいくつかあります。例えば、FlemingとSonerの著書[3]}のセクションII.4や、ユーザーガイド^[4]のセミジェットを使用した定義を参照してください。

退化した楕円

領域内の方程式は、が正定値であるような任意の 2 つの対称行列およびに対して、不等式 が成り立つとき、退化した楕円型であると定義されます。たとえば、(ここで はラプラシアンを表す) は退化した楕円型です。この場合は であり、のトレースはその固有値の合計だからです。任意の実数 1 次方程式は退化した楕円型です。${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle YX}$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F(x,u,p,X)\geq F(x,u,p,Y)}$${\displaystyle -\Delta u=0}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle F(x,u,p,X)=-{\text{トレース}}(X)}$${\displaystyle X}$

粘度サブソリューション

における上半連続関数は、の近傍でかつとなる任意の点および任意の関数に対して が成り立つとき、粘性の意味での上記の退化した楕円方程式の部分解であると定義されます。${\displaystyle u}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$${\displaystyle \phi \geq u}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leq 0}$

粘性超解

における下半連続関数は、任意の点およびの近傍でかつ となる任意の関数に対して が成り立つとき、粘性の意味での上記の退化した楕円方程式の超解であると定義されます。${\displaystyle u}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$${\displaystyle \phi \leq u}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geq 0}$

粘度溶液

連続関数 uは、それが超解と部分解の両方である場合、 PDE の粘性解です。粘性の観点からの境界条件についてはここでは説明していないことに注意してください。${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$${\displaystyle \オメガ}$

境界条件 を持つ、上の境界値問題、または を考えます。この場合、関数 は粘性解です。 ${\displaystyle |u'(x)|=1}$${\displaystyle F(u')=|u'|-1=0}$${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle u(-1)=u(1)=0}$${\displaystyle u(x)=1-|x|}$

実際、境界条件は古典的に満たされ、を除いて は内部で明確に定義されていることに注意してください。したがって、粘性部分解と粘性超解の条件が で成り立つことを示すことが残っています。が およびの近くで で微分可能な任意の関数であると仮定します。これらの仮定から、 が成り立ちます。 が正の場合、この不等式は を意味し、 については を使用します。一方、については となります。 は微分可能であるため、左極限と右極限は一致して に等しくなり、したがって 、すなわち と結論付けます。したがって、は粘性部分解です。さらに、 が超解であるという事実は、およびの近くでで微分可能な関数が存在しないため、空虚に成り立ちます。これは が粘性解であることを意味します。 ${\displaystyle |u'(x)|=1}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \phi (0)=u(0)=1}$${\displaystyle \phi (x)\geq u(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \phi (x)-\phi (0)\geq -|x|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\geq -1}$${\displaystyle |x|/x=sgn(x)=1}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\leq 1}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi '(0)}$${\displaystyle |\phi '(0)|\leq 1}$${\displaystyle F(\phi '(0))\leq 0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \phi (0)=u(0)=1}$${\displaystyle \phi (x)\leq u(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle u}$

実際、 がそのような問題に対する唯一の粘性解であることを証明することができます。 唯一性の部分には、より洗練された議論が含まれます。 ${\displaystyle u}$

前述の境界値問題は、を伴う単一の空間次元のアイコナール方程式であり、解は領域の境界までの符号付き距離関数であることがわかっています。また、前の例では、 の符号の重要性にも注意してください。特に、同じ境界条件を持つ偏微分方程式の粘性解は です。これは、がゼロに近づくにつれて解が粘性消失問題の極限解となり、が粘性消失問題 の極限解であることを観察することで説明できます。^{[5] が}各 に対して偏微分方程式を解くことは容易に確認できます。さらに、 が消えるにつれて解の族は解に収束します(図を参照)。 ${\displaystyle f=1}$${\displaystyle F}$${\displaystyle -F=0}$${\displaystyle u(x)=|x|-1}$${\displaystyle u(x)=1-|x|}$${\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\epsilon u''}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle u(x)=|x|-1}$${\displaystyle -F(u')=1-[u']^{2}=\epsilon u''}$${\displaystyle u_{\epsilon }(x)=\epsilon [\ln(\cosh(1/\epsilon ))-\ln(\cosh(x/\epsilon ))]}$${\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\epsilon u''}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle u_{\epsilon }}$${\displaystyle u=1-|x|}$${\displaystyle \epsilon }$

粘性解の 3 つの基本的な特性は、存在、一意性、安定性です。

• 解の一意性は方程式に関するいくつかの追加の構造的仮定を必要とする。しかし、これは非常に多くの退化した楕円方程式に対して証明することができる。^[4]これは比較原理の直接的な帰結である。比較原理が成り立ついくつかの簡単な例は以下の通りである。

1. ${\displaystyle u+H(x,\nabla u)=0}$H は両方の変数において一様連続です。
2. (一様楕円の場合)なので、 はすべての変数 および に関して、任意のおよびに対して、ある に対して、リプシッツとなります。${\displaystyle F(D^{2}u,Du,u)=0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle r\leq s}$${\displaystyle X\geq Y}$${\displaystyle F(Y,p,s)\geq F(X,p,r)+\lambda ||X-Y||}$${\displaystyle \lambda >0}$

• 解の存在は、比較原理が成り立ち、境界条件が何らかの方法で強制できる場合（ディリクレ境界条件の場合はバリア関数を介して）に常に成立する。一次方程式の場合、粘性消失法^{[6] [2]}を使用して、またはほとんどの方程式の場合、ペロン法^{[7] [8] [2]を使用して得ることができる。}粘性の意味で、境界条件の一般化された概念がある。一般化された境界条件を持つ境界問題の解は、比較原理が成り立つ場合はいつでも解くことができる。^[4]
• における解の安定性は次のように成り立つ：解（または部分解、超解）の列の局所的に均一な極限は解（または部分解、超解）である。より一般的には、粘性の部分解と超解の概念も半緩和極限によって保存される。^[4]${\displaystyle L^{\infty }}$

粘性解という用語は、 1983 年にマイケル G. クランドールとピエール ルイ ライオンズがハミルトン ヤコビ方程式に関して行った研究で初めて登場しました。 ^{[6]この名前は、粘性消失法によって解の存在が得られたことから正当化されます。解の定義は、実際には}ローレンス C. エバンスによって1980 年に与えられていました。^[9]その後、ハミルトン ヤコビ方程式の粘性解の定義と特性は、1984 年にクランドール、エバンス、ライオンズの共同研究で洗練されました。^[10]

数年間、粘性解に関する研究は一次方程式に集中していた。これは、非常に特殊な場合を除いて、二次楕円方程式が一意の粘性解を持つかどうかがわかっていなかったためである。画期的な結果は、ほぼすべての場所で二次導関数を持つ解の正規化された近似を使用して比較原理を証明するためにロバート・ジェンセンが1988年に導入した方法によってもたらされた（証明の現代版では、これはsup-畳み込みとアレクサンドロフの定理によって達成されている）。^[11]

その後、粘性解の概念は退化した楕円偏微分方程式の解析においてますます普及するようになった。その安定性特性に基づいて、Barles と Souganidis は有限差分スキームの収束の非常に単純で一般的な証明を得た。^{[12]粘性解のさらなる正則性特性は、特に一様楕円の場合に}Luis Caffarelliの研究によって得られた。^[13]粘性解は楕円偏微分方程式の研究において中心的な概念となった。特に、粘性解は無限大ラプラシアンの研究に不可欠である。^[14]

現代的なアプローチでは、解の存在はほとんどの場合、ペロン法によって得られます。^[4]粘性消失法は、人工的な粘性を追加しても古典的な解の存在が保証されないため、一般に2次方程式には実用的ではありません。さらに、粘性解の定義には一般に物理的な粘性は含まれません。しかし、粘性解の理論は粘性流体とは無関係であると考えられる場合もありますが、非回転流体は確かにハミルトン-ヤコビ方程式で記述できます。^[15]この場合、粘性は非回転の非圧縮性流体の体積粘性に対応します。提案された他の名前には、先駆者に敬意を表してクランドール-ライオンズ解、安定性特性を指す-弱解、最も特徴的な特性を指す 比較解などがあります。${\displaystyle L^{\infty }}$