過激な

一般五次式は、四次式と三次式を取り除くことで、 主五次式と呼ばれる形式に簡略化することができる。$${\displaystyle y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,}$$

一般五次方程式と主五次方程式の根が二次チルンハウス変換によって関連付けられている場合$${\displaystyle y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,}$$ 係数${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$は、結果式を使用するか、根のべき乗和とニュートンの恒等式を用いて決定できます。これにより、 の連立方程式が得られます。${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$二次方程式と一次方程式から構成され、2つの解のいずれかを使用して、主五次形式の対応する3つの係数を取得できます。^{[ 1 ]}

この形式は、フェリックス・クラインによる五次方程式の解法で使用されている。^{[ 2 ]}

5次方程式をさらに簡略化し、2次項を消去することで、ブリング・ジェラード標準形が得られる。 $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.}$$チルンハウスが試みた ように、3次変換を用いてべき乗和の公式を再び使用しても、結果として得られる連立方程式が6次方程式となるため、うまくいきません。しかし、1796年にブリングは、4次チルンハウス変換を用いて主5次方程式の根をブリング・ジェラード5次方程式の根に関連付けることで、この問題を解決する方法を見つけました。 $${\displaystyle v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \,.}$$

この4次変換によって得られる追加のパラメータにより、Bringは他のパラメータの次数を下げることができました。これにより、6つの未知数を持つ5つの方程式のシステムが得られ、次に3次方程式と2次方程式を解く必要があります。この方法は1852年にJerrardによっても発見されましたが^{[ 3 ]} 、彼はBringのこの分野における以前の研究を知らなかった可能性が高いです^{[ 1 ]（pp92–93）}完全な変換は、Mathematica ^{[ 4 ]} やMaple ^{[ 5 ]}などのコンピュータ代数パッケージを使用して容易に実行できます。 これらの変換の複雑さから予想されるように、結果として得られる式は、特に低次の方程式の根号による解と比較すると、非常に大きくなり、記号係数を持つ一般的な5次方程式では数メガバイトのストレージを必要とします^{[ 4 ] 。}

代数関数とみなされる解は $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0}$$ 2 つの変数d ₁とd _{0を含みますが、実際には、Bring} – Jerrard 形式をさらに簡約できるため、根号による解と非常によく似た 1 つの変数の代数関数に簡約されます。たとえば、次のように設定します。 $${\displaystyle z={v \over {\sqrt[{4}]{-d_{1}}}}}$$ すると、方程式を次の形式に簡略化します。 $${\displaystyle z^{5}-z+a=0\,,}$$ これは、zを単一変数の代数関数として扱うものである。${\displaystyle a}$、 どこ${\displaystyle a=d_{0}(-d_{1})^{-5/4}}$この形式は、以下に説明するエルミート・クロネッカー・ブリオスキ法、グラッサー法、およびコックル・ハーレー法による微分レゾルベントの分析に必要です。

別の形式は、次のように設定することで得られます。 ${\displaystyle u={v \over {\sqrt[{4}]{d_{1}}}}}$ となることによって ${\displaystyle u^{5}+u+b=0\,,}$ どこ${\displaystyle b=d_{0}(d_{1})^{-5/4}}$この形式は、以下の「Bring」部首を定義するために使用されます。

5次方程式には、ブリオスキ標準形として知られる、もう1つの1パラメータ標準形が存在する。$${\displaystyle w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}w-C^{2}=0,}$$ これは、有理チルンハウス変換を用いて導出できる。 $${\displaystyle w_{k}={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}}{C}}-3}}}$$ 一般五次方程式の根をブリオスキ五次方程式に関連付ける。パラメータの値${\displaystyle \lambda }$そして${\displaystyle \mu }$これらはリーマン球面上の多面体関数を用いて導出することができ、正二十面体対称性を持つ物体を正四面体対称性を持つ5つの物体に分割することに関係している。^{[ 6 ]}

このチルンハウス変換は、主五度をブリング・ジェラード形式に変換するために用いられる複雑な変換よりもかなり単純である。この正規形は、ドイル・マクマレン反復法およびキーパート法で用いられる。

1858年、シャルル・エルミート^{[ 7 ]} は「楕円超越関数」を用いて一般五次方程式の最初の既知の解を発表し、ほぼ同時期にフランチェスコ・ブリオスキ^{[ 8 ]} とレオポルド・クロネッカー^{[ 9 ]}が同等の解を発見した。エルミートはこの解を三角関数を用いて三次方程式 のよく知られた解を一般化することによって得ており、ブリング・ジェラード形式の五次方程式の解を見つけた。 $${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$

示されたように、任意の5次方程式はチルンハウス変換によって還元できる。彼は、楕円関数がブリング・ジェラード5次方程式の解において、三角関数が3次方程式で果たすのと同様の役割を果たすことを観察した。${\displaystyle K}$そして${\displaystyle K',}$これらを第一種完全楕円積分として書きなさい。 $${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$$${\displaystyle K'(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k'^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$ どこ $${\displaystyle k^{2}+k'^{2}=1.}$$ 2つの「楕円超越関数」を定義する：^{[注1 ]}$${\displaystyle \varphi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi i}{2\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {1+e^{2j\pi i\tau }}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$$${\displaystyle \psi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi \tau }{2i}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$ これらは無限級数によって等価に定義できる。^{[注2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\tau )&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{(2j^{2}+j)\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}(1-e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-3e^{3\pi i\tau }+4e^{4\pi i\tau }-6e^{5\pi i\tau }+9e^{6\pi i\tau }-\cdots ),\quad \operatorname {Im} \tau >0\\\psi (\tau )&={\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{2}\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&=1-2e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-4e^{3\pi i\tau }+6e^{4\pi i\tau }-8e^{5\pi i\tau }+12e^{6\pi i\tau }-\cdots ,\quad \operatorname {Im} \tau >0\end{aligned}}}$$

nが素数の場合、2つの値を定義できます。${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$次のように： $${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$ そして $${\displaystyle v=\varphi (\tau )}$$

nが奇素数の場合、パラメータ${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$n  +  1 次方程式で結び付けられている${\displaystyle u}$[^{注3 ]}${\displaystyle \Omega _{n}(u,v)=0}$モジュラー方程式として知られる、${\displaystyle n+1}$ルーツは${\displaystyle u}$は次のように与えられます: ^{[ 10 ] [注 4 ]}$${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$ そして $${\displaystyle u=\varepsilon (n)\varphi \left({\frac {\tau +16m}{n}}\right)}$$ どこ${\displaystyle \varepsilon (n)}$は、2がnを法とする2乗剰余であるか否かに応じて、それぞれ1または-1となる[^{注5 ]}。${\displaystyle m\in \{0,1,\ldots ,n-1\}}$n  = 5の場合 、次のモジュラー方程式が得られます。 ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \Omega _{5}(u,v)=0\iff u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0}$$ 6つの根を持つ${\displaystyle u}$上記のとおりです。

モジュラー方程式${\displaystyle n=5}$モジュラー方程式の 6 つの根の次の関数によって、Bring – Jerrard 5 次関数に関連付けられる可能性があります (Hermite のSur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré では、最初の因子は誤って次のように与えられています)${\displaystyle [\varphi (5\tau )+\varphi (\tau /5)]}$): ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle \Phi (\tau )=\left[-\varphi (5\tau )-\varphi \left({\frac {\tau }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +64}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +32}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +48}{5}}\right)\right]}$$

あるいは、式^{[ 13 ]}$${\displaystyle \Phi (\tau )=2{\sqrt {10}}e^{3\pi i\tau /40}(1+e^{\pi i\tau /5}-e^{2\pi i\tau /5}+e^{3\pi i\tau /5}-8e^{\pi i\tau }-9e^{6\pi i\tau /5}+8e^{7\pi i\tau /5}-9e^{8\pi i\tau /5}+\cdots )}$$ 数値評価に役立つ${\displaystyle \Phi (\tau )}$エルミートによれば、係数は${\displaystyle e^{n\pi i\tau /5}}$展開では、すべての${\displaystyle n\equiv 4\,(\operatorname {mod} 5)}$[ ^{14 ]​}

5つの数量${\displaystyle \Phi (\tau )}$、${\displaystyle \Phi (\tau +16)}$、${\displaystyle \Phi (\tau +32)}$、${\displaystyle \Phi (\tau +48)}$、${\displaystyle \Phi (\tau +64)}$は、係数が有理数である 5 次方程式の根です。${\displaystyle \varphi (\tau )}$: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \Phi ^{5}-2000\varphi ^{4}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\Phi -64{\sqrt {5^{5}}}\varphi ^{3}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\left[1+\varphi ^{8}(\tau )\right]=0}$$これは、置換によって 容易にブリング・ジェラード形式 に変換できる。$${\displaystyle \Phi =2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )x}$$ ブリングとジェラードの5点目につながる： $${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$ どこ

エルミート・クロネッカー・ブリオスキ法は、次の値を求めることに相当します。${\displaystyle \tau }$それは、${\displaystyle a}$そしてその値を使って${\displaystyle \tau }$対応するモジュラー方程式の根を求めるには、根探索アルゴリズムを使用できます。${\displaystyle \tau }$式(*)から(つまり、部分逆数を計算する)${\displaystyle a}$) を二乗すると、 のみで四次式が得られます。${\displaystyle \varphi ^{4}(\tau )}$(使用)${\displaystyle \varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1}$) すべてのソリューション (${\displaystyle \tau }$(*) の ) は 4 次式の解ですが、4 次式のすべての解が (*) の解であるとは限りません。

ブリング・ジェラード五次方程式の根は次のように表される。 $${\displaystyle x_{r}={\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ のために${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$。

別の「統合的」アプローチとしては、以下のものがある。

考慮する${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$どこ${\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$それから $${\displaystyle \tau =i{\frac {K'(k)}{K(k)}}}$$ は $${\displaystyle a=s{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ どこ $${\displaystyle s={\begin{cases}-\operatorname {sgn} \operatorname {Im} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a=0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Re} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a\neq 0,\end{cases}}}$$

$${\displaystyle A={\frac {a{\sqrt[{4}]{5^{5}}}}{2}}.}$$

方程式(**)の根は次のとおりです。 $${\displaystyle k=\tan {\frac {\alpha }{4}},\tan {\frac {\alpha +2\pi }{4}},\tan {\frac {\pi -\alpha }{4}},\tan {\frac {3\pi -\alpha }{4}}}$$ どこ${\displaystyle \sin \alpha =4/A^{2}}$^{[ 13 ]} (重要な参考文献の中には誤って次のように記載しているものもあるので注意)${\displaystyle \sin \alpha =1/(4A^{2})}$^{[ 6 ] [ 7 ]}）。これらの根の1つを楕円モジュラスとして使用できます。${\displaystyle k}$。

ブリング・ジェラード五次方程式の根は次のように表される。 $${\displaystyle x_{r}=-s{\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ のために${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$。

このプロセスはn乗根の一般化を利用していることがわかる。それは次のように表現できる。 $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)}$$ あるいはもっと正確に言うと、 $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\exp ^{-1}x\right).}$$ エルミート・クロネッカー・ブリオスキ法は、本質的に指数関数を「楕円超越関数」に置き換え、積分${\textstyle \int _{1}^{x}dt/t}$（または逆）${\displaystyle \exp }$実数直線上の式を楕円積分（または「楕円超越関数」の部分逆関数）で表す。クロネッカーは、この一般化は任意の高次の方程式に適用できるさらに一般的な定理の特殊なケースであると考えていた。トーマエの公式として知られるこの定理は、1984年に梅村弘^{[ 16 ]}によって完全に表現され、彼は指数関数/楕円超越関数の代わりにシーゲルモジュラー形式を 使用し、積分を超楕円積分に置き換えた。

^{M. Lawrence Glasser [ 17 ]}によるこの導出は、本稿で先に紹介した級数法を一般化し、次の形式の 任意の三項式方程式の解を求めるものです。$${\displaystyle x^{N}-x+t=0}$$

特に、上記のようにチルンハウス変換を用いることで、5次方程式をこの形に簡略化することができる。${\displaystyle x=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$すると、一般形は次のようになる。 $${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i}+t\phi (\zeta )}$$ どこ $${\displaystyle \phi (\zeta )=\zeta ^{\frac {N}{N-1}}}$$

ラグランジュの公式によれば、任意の解析関数に対して${\displaystyle f\,}$変換された一般方程式の根の近傍で、${\displaystyle \zeta \,}$上記は無限級数として表すことができる。 $${\displaystyle f(\zeta )=f(e^{2\pi i})+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {d^{n-1}}{da^{n-1}}}[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{a=e^{2\pi i}}}$$

もし私たちが許せば${\displaystyle f(\zeta )=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$この式では、次の根号を導き出すことができます。 $${\displaystyle x_{k}=e^{-{\frac {2k\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{N-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi i}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+2)}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1}}+1\right)}}}$$$${\displaystyle k=1,2,3,\dots ,N-1\,}$$

ガウスの乗法定理を用いると、上記の無限級数は有限級数の超幾何関数に分解できる。 $${\displaystyle \psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi i}{N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\right)}}}$$

$${\displaystyle x_{n}=e^{-{\frac {2n\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}},\quad n=1,2,3,\dots ,N-1}$$

$${\displaystyle x_{N}=\sum _{m=1}^{N-1}{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{m}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2m\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}}}$$

そして、この形式の三項式は根を持つ。 $${\displaystyle ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2}}}$$$${\displaystyle x_{N}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle x_{N-1}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}={}&-e^{\frac {2n\pi i}{N-2}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {N-5}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}},;\\[8pt]{\frac {1}{N-2}},{\frac {2}{N-2}},\cdots ,{\frac {2N-5}{2N-4}},;\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+\\&+{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}\sum _{q=1}^{N-3}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+1\right)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}\right)^{q}\cdot {\frac {e^{{\frac {2n\left(1-2q\right)}{N-2}}\pi i}}{q!}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}};\\[8pt]{\frac {q+1}{N-2}},{\frac {q+2}{N-2}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2}},{\frac {2q+2N-5}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}},n=1,2,\cdots ,N-2\end{aligned}}}$$

したがって、この方程式の根は、最大で${\displaystyle N-1}$超幾何関数。この方法を簡約ブリング・ジェラード五次関数に適用して、次の関数を定義します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}}$$ これらは、上記の級数式に現れる超幾何関数です。したがって、5次式の根は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{array}{rcrcccccc}x_{1}&=&{}-tF_{2}(t)\\[1ex]x_{2}&=&{}-F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{3}&=&F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{4}&=&{}-iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{5}&=&iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\\end{array}}}$$

これは基本的に、以下の方法で得られる結果と同じである。

ジェームズ・コックル^{[ 18 ]} とロバート・ハーレー^{[ 19 ]}は、1860年に微分方程式を用いて五次方程式を解く方法を開発した。彼らは根を係数の関数とみなし、これらの方程式に基づいて微分レゾルベントを計算する。ブリング・ジェラード五次方程式は、次の関数で表される。 $${\displaystyle f(x)=x^{5}-x+a}$$ そして関数${\displaystyle \,\phi (a)\,}$次のように決定されるものとする。 $${\displaystyle f[\phi (a)]=0}$$

機能${\displaystyle \phi }$また、以下の4つの微分方程式も満たさなければならない。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df[\phi (a)]}{da}}=0\\[6pt]{\frac {d^{2}f[\phi (a)]}{da^{2}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{3}f[\phi (a)]}{da^{3}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{4}f[\phi (a)]}{da^{4}}}=0\end{aligned}}}$$

これらを展開して組み合わせると、微分レゾルベントが得られます。 $${\displaystyle {\frac {(256-3125a^{4})}{1155}}{\frac {d^{4}\phi }{da^{4}}}-{\frac {6250a^{3}}{231}}{\frac {d^{3}\phi }{da^{3}}}-{\frac {4875a^{2}}{77}}{\frac {d^{2}\phi }{da^{2}}}-{\frac {2125a}{77}}{\frac {d\phi }{da}}+\phi =0}$$

微分レゾルベントの解は4階常微分方程式であり、4つの積分定数に依存し、それらは元の5次方程式を満たすように選択する必要があります。これは超幾何型のフックス常微分方程式であり、^{[ 20 ]}その解は、上記のグラッサーの導出で現れた超幾何関数の級数と同一であることがわかります。^{[ 5 ]}

この方法は、微分レゾルベントが偏微分方程式であり、その解が複数の変数の超幾何関数を含む任意の高次の方程式にも一般化できます。^{[ 21 ] [ 22 ]} 任意の単変数多項式の微分レゾルベントの一般式は、 Nahay のべき乗和公式によって与えられます。^{[ 23 ] [ 24 ]}

1989年、ピーター・ドイルとカート・マクマレンは、ブリオスキ標準形の5次方程式を解く 反復法^{[ 25 ]を導出した。}$${\displaystyle x^{5}-10Cx^{3}+45C^{2}x-C^{2}=0.}$$ 反復アルゴリズムは次のように進行する。

1. セット${\displaystyle Z=1-1728C}$
2. 有理関数を計算する$${\displaystyle T_{Z}(w)=w-12{\frac {g(Z,w)}{g'(Z,w)}}}$$どこ${\displaystyle g(Z,w)}$は以下に示す多項式関数であり、${\displaystyle g'}$は​​${\displaystyle g(Z,w)}$に関して${\displaystyle w}$
3. 反復する${\displaystyle T_{Z}[T_{Z}(w)]}$ランダムな初期値で収束するまで試行します。その極限点を極限点と呼びます。${\displaystyle w_{1}}$そして${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$。
4. 計算する$${\displaystyle \mu _{i}={\frac {100Z(Z-1)h(Z,w_{i})}{g(Z,w_{i})}}}$$どこ${\displaystyle h(Z,w)}$は以下に示す多項式関数です。両方についてこれを行ってください。${\displaystyle w_{1}\,}$そして${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$。
5. 最後に、計算します。$${\displaystyle x_{i}={\frac {(9+{\sqrt {15}}i)\mu _{i}+(9-{\sqrt {15}}i)\mu _{3-i}}{90}}}$$i = 1, 2の場合。これらはブリオスキ五次方程式の根のうちの2つです。

2つの多項式関数${\displaystyle g(Z,w)\,}$そして${\displaystyle h(Z,w)\,}$内容は以下のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}g(Z,w)={}&91125Z^{6}\\&{}+(-133650w^{2}+61560w-193536)Z^{5}\\&{}+(-66825w^{4}+142560w^{3}+133056w^{2}-61140w+102400)Z^{4}\\&{}+(5940w^{6}+4752w^{5}+63360w^{4}-140800w^{3})Z^{3}\\&{}+(-1485w^{8}+3168w^{7}-10560w^{6})Z^{2}\\&{}+(-66w^{10}+440w^{9})Z\\&{}+w^{12}\\[8pt]h(Z,w)={}&(1215w-648)Z^{4}\\&{}+(-540w^{3}-216w^{2}-1152w+640)Z^{3}\\&{}+(378w^{5}-504w^{4}+960w^{3})Z^{2}\\&{}+(36w^{7}-168w^{6})Z\\&{}+w^{9}\end{aligned}}}$$

この反復法では、5次方程式の2つの根が得られます。残りの3つの根は、合成除法を用いて2つの根を割り出すことで得られ、3次方程式が得られます。反復法の定式化方法により、この方法は、5次方程式の係数がすべて実数で、初期推定値が実数であっても、常に5次方程式の2つの複素共役根を見つけるようです。この反復法は正二十面体の対称性から導き出されたもので、フェリックス・クラインが著書で説明している方法と密接に関連しています。^{[ 2 ]}