ベルヌーイの原理

非圧縮性流体のベルヌーイ方程式は、ニュートンの運動の第二法則を積分するか、 粘性、圧縮性、熱効果 を無視してエネルギー保存の法則を適用することによって導くことができます。

ニュートンの運動の第二法則を積分して導出する

最も簡単な導出は、まず重力を無視し、ベンチュリ効果に見られるように、直線であるパイプの収縮と膨張を考慮することです。x軸をパイプの軸の下方に向けます。

断面積がA のパイプを流れる流体の塊を定義します。塊の長さはd x、塊の体積はA d xです。質量密度がρの場合、塊の質量は密度に体積を掛けた値m = ρA d xです。距離d xにわたる圧力の変化はd pで、流速は v = ⁠d x/d t⁠ .

ニュートンの運動の第 2 法則(力 = 質量 × 加速度)を適用し、流体の塊に作用する有効な力が- A d pであることを認識します。圧力がパイプの長さに沿って減少する場合、d p は負ですが、流れを生じる力はx軸に沿って正になります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=F\\\rho A\mathrm {d} x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-A\mathrm {d} p\\\rho {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}\end{aligned}}}$$

定常流では、速度場は時間に対して一定で、v = v ( x ) = v ( x ( t )) であるため、v自体は時間tの関数ではありません。断面積が変化するのは、小包がx を通過するときだけです。つまり、 v は、断面積の位置x ( t )を通じてのみtに依存します。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}v={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right).}$$

密度ρ が一定の場合、運動方程式は x について積分して と表すことができます。 ここで、 Cは定数で、ベルヌーイ定数と呼ばれることもあります。これは普遍的な定数ではなく、特定の流体システムの定数です。結論としては、速度が大きい場合は圧力が低く、逆もまた同様です。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p\right)=0}$$ $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}=C}$$

上記の導出では、外部の仕事-エネルギー原理は考慮されていません。むしろ、ベルヌーイの原理は、ニュートンの第 2 法則を単純に操作して導出されました。

エネルギー保存則を用いた導出

非圧縮性流れに対するベルヌーイの原理を導くもう一つの方法は、エネルギー保存則を適用することである。^[19]仕事エネルギー定理の形で、次のように述べる。^[20]

システムの運動エネルギーE _kinの変化は、システムに対して行われた正味の仕事Wに等しい。$${\displaystyle W=\Delta E_{\text{kin}}.}$$

したがって、

このシステムは、最初は断面A ₁とA _{2 の}間にある流体の体積で構成されています。時間間隔Δ tでは、最初に流入断面A ₁にある流体要素が距離s ₁ = v ₁ Δ t移動し、流出断面では流体が断面A ₂から距離s ₂ = v ₂ Δ t離れて移動します。流入と流出で押しのけられた流体の体積は、それぞれA ₁ s ₁とA ₂ s ₂です。関連する押しのけられた流体の質量は、 ρ が流体の質量密度である場合、密度と体積の積に等しいため、ρA ₁ s ₁とρA ₂ s _{2 です}。質量保存則により、時間間隔Δ tで押しのけられたこれら 2 つの質量は等しくなければならず、この押しのけられた質量はΔ mで表されます 。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho A_{1}s_{1}&=\rho A_{1}v_{1}\Delta t=\Delta m,\\\rho A_{2}s_{2}&=\rho A_{2}v_{2}\Delta t=\Delta m.\end{aligned}}}$$

部隊が行う作業は 2 つの部分から構成されます。

• 面積A ₁とA ₂に作用する圧力によって行われる仕事 $${\displaystyle W_{\text{pressure}}=F_{1,{\text{pressure}}}s_{1}-F_{2,{\text{pressure}}}s_{2}=p_{1}A_{1}s_{1}-p_{2}A_{2}s_{2}=\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.}$$
• 重力によってなされる仕事：体積A ₁ s ₁の重力位置エネルギーが失われ、体積A ₂ s ₂の流出時に得られる。したがって、時間間隔Δ tにおける重力位置エネルギーの変化Δ E _pot,gravityは、

$${\displaystyle \Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{2}-\Delta m\,gz_{1}.}$$ ここで、重力による仕事は位置エネルギーの変化と反対であり、W_重力= − ΔE _{pot,重力 です}。重力が負のz方向にある間、仕事（重力と仰角の変化の積）は、正の仰角変化Δ z = z ₂ − z ₁に対して負になり、対応する位置エネルギーの変化は正になります。^{[21] ： 14–4、§14–3}したがって、この時間間隔Δ t で行われた合計仕事は、 運動エネルギーの増加は 、これらをまとめる と、仕事-運動エネルギー定理W = Δ E _kinにより、次のようになります。^[19] または 質量Δ m = ρA ₁ v ₁ Δ t = ρA ₂ v ₂ Δ tで割ると、結果は次のようになります。^[19] または、最初の段落で述べたように、 $${\displaystyle W_{\text{gravity}}=-\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}.}$$$${\displaystyle W=W_{\text{pressure}}+W_{\text{gravity}}.}$$$${\displaystyle \Delta E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}.}$$ $${\displaystyle \Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}+\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}}$$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}+\Delta m\,gz_{1}+\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}+\Delta m\,gz_{2}+\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+gz_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+gz_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}}$$

さらにgで割ると、次の式が得られます。各項は長さの次元 (メートルなど) で表すことができることに注意してください。これは、ベルヌーイの定理から導かれる主方程式です。

中間の項zは、基準面に対する流体の標高による位置エネルギーを表します。z は標高ヘッドと呼ばれ、z_標高という名称が付けられています。

真空中、高度z > 0から自由落下する質量は 、高度z = 0に到達したときに速度に達します。または、頭として整理すると、 次の項になります。⁠ $${\displaystyle v={\sqrt {{2g}{z}}},}$$$${\displaystyle h_{v}={\frac {v^{2}}{2g}}}$$²ページ目/2グラム⁠は速度水頭と呼ばれ、長さの測定値として表されます。これは、流体の運動による内部エネルギーを表します。

静水圧 pは、 p ₀ をある基準圧力として定義され 、または水頭として整理すると、 次のように定義されます。⁠$${\displaystyle p=p_{0}-\rho gz,}$$$${\displaystyle \psi ={\frac {p}{\rho g}}.}$$p/ρg⁠ は圧力水頭とも呼ばれ、長さの測定値として表されます。これは、容器にかかる圧力による流体の内部エネルギーを表します。流速による水頭と静圧による水頭を基準面からの標高と組み合わせると、速度水頭、標高水頭、圧力水頭を使用する非圧縮性流体に便利な単純な関係が得られます。

式 1 に流体の密度を掛けると、3 つの圧力項を持つ式が得られます。

ベルヌーイ方程式のこの形式では、システムの圧力は一定であることに注意してください。システムの静圧 (第 3 項) が増加し、標高による圧力 (中間項) が一定である場合、動圧 (第 1 項) は減少している必要があります。言い換えると、流体の速度が低下し、それが標高差によるものでない場合は、流れに抵抗する静圧の増加によるものである必要があります。

これら 3 つの方程式は、システム上のエネルギーバランスを簡略化したものにすぎません。

圧縮性流体の導出も同様です。この場合も、導出は (1) 質量保存と (2) エネルギー保存に依存します。質量保存は、上の図で、時間間隔Δ tにおいて、面積A _{1によって定義される境界を通過する質量の量が、面積}A ₂によって定義される境界を外側に向かって通過する質量の量に等しいことを意味します。 エネルギー保存も同様の方法で適用されます。A 1とA ₂ で囲まれた流管の体積のエネルギー変化は、これら 2 つの境界のいずれかを介して出入りするエネルギーのみによるものと想定されます_。明らかに、放射と結合した流体の流れなどのより複雑な状況では、このような条件は満たされません。ただし、これが事実であると仮定し、流れが定常であるためエネルギーの正味の変化がゼロであると仮定すると、 Δ E ₁とΔ E ₂ は、それぞれA ₁を介して入ってくるエネルギーとA ₂を介して出ていくエネルギーです。A ₁を通って流入するエネルギーは、流入する運動エネルギー、流体の重力位置エネルギーの形で流入するエネルギー、流体の単位質量あたりの熱力学的内部エネルギー ( ε _{1 )、および機械的仕事}p d Vの形で流入するエネルギーの合計です。 ここで、Ψ = gzは地球の重力による力の位置、gは重力による加速度、z は基準面からの仰角です。Δ E ₂についても同様の式を簡単に作成できます。したがって、0 = Δ E ₁ − Δ E ₂と設定すると、 これは次のように書き直すことができます。 ここで、質量保存則から以前に得られた結果を使用して、これを簡略化して、 圧縮性流れのベルヌーイ方程式を 得ることができます 。$${\displaystyle 0=\Delta M_{1}-\Delta M_{2}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t.}$$$${\displaystyle \Delta E_{1}-\Delta E_{2}=0}$$$${\displaystyle \Delta E_{1}=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t}$$$${\displaystyle 0=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\Psi _{2}\rho _{2}+\varepsilon _{2}\rho _{2}+p_{2}\right)A_{2}v_{2}\,\Delta t}$$$${\displaystyle 0=\left({\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+\Psi _{1}+\varepsilon _{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+\Psi _{2}+\varepsilon _{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t}$$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +\varepsilon +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}\equiv b}$$

同等の表現は流体エンタルピー（ h ）で表すことができます。 $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +h={\text{constant}}\equiv b}$$