マッケイグラフ

数学において、有限群Gの有限次元表現Vのマッケイグラフは、 Gの表現論の構造をエンコードした重み​​付きの矢筒です。各ノードはGの既約表現を表します。χ _i、 χ _jがGの既約表現である場合、 χ _iからχ _jへの矢印が存在するのは、 χ _{j が}テンソル積の構成要素である場合に限ります。この場合、矢印の重みn _ijは、この構成要素が ⁠ ⁠ に現れる回数です。⁠ ⁠の有限部分群Hの場合、 Hのマッケイグラフは、 Hの定義的な 2 次元表現のマッケイグラフです。 ${\displaystyle V\otimes \chi _{i}.}$${\displaystyle V\otimes \chi _{i}.}$${\displaystyle {\text{GL}}(2,\mathbb {C} ),}$

G がn 個の既約な指標を持つ場合、次元dの表現Vのカルタン行列 c _{V は}次のように定義されます。ここでδはクロネッカーのデルタです。ロバート・スタインバーグによる結果では、g がGの共役類の代表である場合、ベクトルはc _Vの固有値への固有ベクトルであり、χ _{V は}表現Vの指標であるとされています。^[1]${\displaystyle c_{V}=(d\delta _{ij}-n_{ij})_{ij},}$${\displaystyle ((\chi _{i}(g))_{i}}$${\displaystyle d-\chi _{V}(g),}$

マッケイ対応は、ジョン・マッケイにちなんで名付けられ、 ⁠​​ ⁠${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$の有限部分群のマッケイグラフと、単純リー代数のADE分類に現れる拡張ディンキン図との間に一対一対応があることを示している。^[2]

Gを有限群、V をG の表現、 χをその指標とする。Gの既約表現をとする。 ${\displaystyle \{\chi _{1},\ldots ,\chi _{d}\}}$

${\displaystyle V\otimes \chi _{i}=\sum _{j}n_{ij}\chi _{j},}$

次に、 Vに対するGのMcKay グラフΓ _{G を}次のように定義します。

• Gの各既約表現は、 Γ _G内のノードに対応します。
• n _ij > 0の場合、 χ _iからχ _jへの重みn _ijの矢印があり、これはn _ijラベルなし矢印と表記されることもあります。${\displaystyle \chi _{i}\xrightarrow {n_{ij}} \chi _{j},}$
• χ _i、 χ _j間の2つの反対矢印を重みn _ijの無向辺として表します。さらに、重みラベルを省略します。${\displaystyle n_{ij}=n_{ji},}$${\displaystyle n_{ij}=1,}$

文字の内積を使用してn _ijの値を計算できます。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle n_{ij}=\langle V\otimes \chi _{i},\chi _{j}\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G} V(g)\chi _{i}(g){\overline {\chi _{j}(g)}}.}$

⁠ ⁠${\displaystyle {\text{GL}}(2,\mathbb {C} )}$の有限部分群の McKay グラフは、その標準表現の McKay グラフとして定義されます。

⁠ ⁠${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$の有限部分群に対して、⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$上の標準表現は自己双対であるため、すべてのi, jに対しても自己双対となります。したがって、 ⁠ ⁠の有限部分群の McKay グラフは無向です。 ${\displaystyle n_{ij}=n_{ji}}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

実際、McKay対応により、 ⁠ ⁠${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$の有限部分群とADE型の拡張Coxeter-Dynkin図 の間には1対1の対応が存在します。

Vのカルタン行列c _{V を}次のように定義します。

${\displaystyle c_{V}=(d\delta _{ij}-n_{ij})_{ij},}$

ここでδ _ijはクロネッカーのデルタです。

• 表現Vが忠実である場合、すべての既約表現は何らかのテンソル冪に含まれ、 Vの McKay グラフは連結されます。${\displaystyle V^{\otimes k},}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$の有限部分群のマッケイグラフには自己ループが存在しません。つまり、すべてのiに対してです。${\displaystyle n_{ii}=0}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$の有限部分群の McKay グラフの矢印はすべて重み 1 です。

• G = A × Bと仮定し、それぞれA 、 Bの標準既約表現c _A、 c _Bがあるとする。 χ _i、i = 1、…、k がAの既約表現であり、ψ _j、j = 1、…、ℓがBの既約表現である場合、

${\displaystyle \chi _{i}\times \psi _{j}\quad 1\leq i\leq k,\,\,1\leq j\leq \ell }$

はA × Bの既約表現であり、この場合、${\displaystyle \chi _{i}\times \psi _{j}(a,b)=\chi _{i}(a)\psi _{j}(b),(a,b)\in A\times B.}$

${\displaystyle \langle (c_{A}\times c_{B})\otimes (\chi _{i}\times \psi _{\ell }),\chi _{n}\times \psi _{p}\rangle =\langle c_{A}\otimes \chi _{k},\chi _{n}\rangle \cdot \langle c_{B}\otimes \psi _{\ell },\psi _{p}\rangle .}$

したがって、 Aの McKay グラフにχ _iと χ _kの間に矢印があり、 Bの McKay グラフにψ _jと ψ _{ℓ の}間に矢印がある場合に限り、 Gの McKay グラフにとの間に矢印があります。この場合、Gの McKay グラフの矢印の重みは、 AとBの McKay グラフの対応する 2 つの矢印の重みの積です。${\displaystyle \chi_{i}\times \psi_{j}}$${\displaystyle \chi _{k}\times \psi _{\ell}}$

• フェリックス・クラインは、 ⁠ ⁠${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$の有限部分群が二元多面体群であることを証明しました。すべては⁠ ⁠${\displaystyle {\text{SU}}(2,\mathbb {C} ).}$の部分群と共役です。マッケイ対応は、これらの二元多面体群のマッケイグラフと拡張されたディンキン図の間に一対一の対応があることを述べています。たとえば、二元四面体群は、 ⁠ ⁠行列によって生成されます。${\displaystyle {\overline {T}}}$${\displaystyle {\text{SU}}(2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle S=\left({\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}}\right),\ \ V=\left({\begin{array}{cc}0&i\\i&0\end{array}}\right),\ \ U={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{cc}\varepsilon &\varepsilon ^{3}\\\varepsilon &\varepsilon ^{7}\end{array}}\right),}$

ここでεは1の原始8乗根である。実際、

${\displaystyle {\overline {T}}=\{U^{k},SU^{k},VU^{k},SVU^{k}\mid k=0,\ldots ,5\}.}$

の共役類​​は以下のとおりです。${\displaystyle {\overline {T}}}$

${\displaystyle C_{1}=\{U^{0}=I\},}$

${\displaystyle C_{2}=\{U^{3}=-I\},}$

${\displaystyle C_{3}=\{\pm S,\pm V,\pm SV\},}$

${\displaystyle C_{4}=\{U^{2},SU^{2},VU^{2},SVU^{2}\},}$

${\displaystyle C_{5}=\{-U,SU,VU,SVU\},}$

${\displaystyle C_{6}=\{-U^{2},-SU^{2},-VU^{2},-SVU^{2}\},}$

${\displaystyle C_{7}=\{U,-SU,-VU,-SVU\}.}$

の文字テーブルは${\displaystyle {\overline {T}}}$

ここで、標準表現Vはcで表されます 。内積を使用すると、 のマッケイグラフは、 の拡張されたコクセター・ディンキン図式であることが分かります。${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/3}.}$${\displaystyle {\overline {T}}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}.}$

• ADE分類
• 二元四面体群

• ハンフリーズ、ジェームズ E. (1972)、リー代数と表現論入門、ビルクハウザー、ISBN 978-0-387-90053-7
• ジェームズ、ゴードン、リーベック、マーティン（2001）、グループの表現と特徴（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-00392-X
• クライン、フェリックス(1884)、「Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade」、トイブナー、ライプニッツ
• McKay, John (1980)、「グラフ、特異点、有限群」、Proc. Symp. Pure Math.、Proceedings of Symposia in Pure Mathematics、37、Amer. Math. Soc.: 183–186、doi : 10.1090/pspum/037/604577、ISBN 9780821814406
• リーメンシュナイダー、オズワルド (2005)、「商面特異点に対するマッケイ対応」、幾何学と位相における特異点、トリエステ特異点サマースクールおよびワークショップの議事録、pp. 483–519