4次曲線の重接線

代数平面曲線の理論では、一般的な4 次平面曲線には、曲線に 2 か所で接する28 本の二重接線があります。これらの線は複素射影平面に存在しますが、28 本すべての線が実数を座標として持ち、したがってユークリッド平面に属する4 次曲線を定義することは可能です。

28 本の実数従属接線を持つ明示的な 4 次曲線は、Plücker  (1839)によって初めて示されました^[1] Plücker が示したように、どの 4 次曲線の実数従属接線の数は 28、16、または 9 未満の数でなければなりません。28 本の実数従属接線を持つ別の 4 次曲線は、2本の平行でない線に接する、軸の長さが固定された楕円の中心の軌跡によって形成されます。 ^{[2] Shioda (1995) は、3}次面 を投影することによって形成される、28 本の従属接線を持つ 4 次曲線の別の構成を示しました。Shioda 曲線の従属接線のうち 27 本は実数であり、28 番目は射影平面の 無限遠直線です。

トロット曲線は、28本の実接線を持つ別の曲線であり、次の4次多項式を 満たす点（ x、y ）の集合である。

${\displaystyle \displaystyle 144(x^{4}+y^{4})-225(x^{2}+y^{2})+350x^{2}y^{2}+81=0。 }$

これらの点は、種数3で28本の実接線を持つ特異でない4次曲線を形成します。^[3]

Plücker や Blum と Guinand の例と同様に、Trott 曲線には 4 つの分離された楕円があり、これは 4 次曲線としては最大数であるため、M 曲線です。4 つの楕円は 6 つの異なる楕円のペアにグループ化できます。各楕円のペアには、ペアの両方の楕円に接する 4 つの従接線、2 つの楕円を分離する 2 つの従接線、分離しない 2 つの従接線があります。さらに、各楕円は平面の非凸領域を境界とし、境界の非凸部分にまたがる 1 つの従接線があります。

4 次曲線の双対曲線には、主曲線の 28 個の二重接線と双対になる 28 個の実通常の二重点があります。

4次方程式の28個の重接線は、次の形式の記号に対応して配置することもできる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\\end{bmatrix}}}$

ここで、a、b、c、d、e、fはすべて0または1であり、

${\displaystyle ad+be+cf=1\ (\operatorname {mod} \ 2).}$^[4]

a、b、c、d、e、fには 64 通りの選択肢がありますが、そのうち和が奇数になるのは 28 通りだけです。また、a、b、c をファノ平面の点の同次座標、d、e、f を同じ有限射影平面の直線の座標と解釈することもできます。和が奇数であるという条件は、点と直線が互いに接しないことを要求することと同等であり、接しない点と直線のペアは 28 通りあります。

ファノ平面上の点と線は、非入射点・直線対から分離して三角形を形成し、四次方程式の重接線はファノ平面の28個の三角形に対応すると考えられてきた。^[5]ファノ平面のレヴィグラフはヒーウッドグラフであり、ファノ平面の三角形は6閉路で表されている。ヒーウッドグラフの28個の6閉路は、コクセターグラフの28個の頂点に対応する。^[6]

4次関数の28本のビタンジェントは、2次デルペッツォ面上の56本の直線のペア^[5]と、28個の奇数シータ特性にも対応します。

3次曲線上の27本の直線と4次曲線上の28本の二接線は、種数4の標準6次曲線の120本の三接平面とともに、ウラジミール・アーノルドの意味で「三位一体」を形成し、具体的にはマッケイ対応の形式を形成します^{[7] [8] [9]。そして、}三位一体で議論されているように、 E ₇や E ₈を含む多くの他のオブジェクトと関連付けることができます。

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