岩堀・ヘッケ代数

数学において、岩堀–ヘッケ代数、あるいはヘッケ代数は、エーリッヒ・ヘッケと岩堀長義にちなんで名付けられ、コクセター群の群代数の変形である。

ヘッケ代数は、アルティン組紐群の群環の商です。この関係は、ヴォーン・ジョーンズによる結び目の新しい不変量の構築に素晴らしい応用が見られました。ヘッケ代数の表現は、神保道夫による量子群の発見につながりました。マイケル・フリードマンは、トポロジカル量子計算の基礎としてヘッケ代数を提案しました。

次のデータから始めます。

• ( W , S ) はコクセター行列M = ( m _st ) を持つコクセターシステムであり、
• Rは単位元を持つ可換環であり、
• { q _s | s ∈ S }は、Wにおいてsとtが共役であるときは常にq _s = q _tとなるようなRの単位族であり、
• AはR上のローラン多項式環で不定元q _s （およびsとtが共役な場合は常にq _s = q _tという上記の制限）である。つまり、A = R [ q ^±1
  _秒]。

多パラメータヘッケ代数 H _R ( W , S , q ) は、すべてのs ∈ Sに対して生成元T _sを持ち、次の関係を満たす 単位結合R代数です。

• 組紐関係: m _st < ∞ 個の因子を持つS内の各s、t のペアに対して、関係T _s T _t T _s ... = T _t T _s T _t ... が成り立ち、各辺にはm _st個の因子がある。
• 二次関係: S内のすべてのsに対して、関係 ( T _s − q _s )( T _s + 1) = 0 が成立します。

警告：後の本や論文では、ルスティグは2次関係の修正形を使用して、スカラーを半整数乗qを含むように拡張した後、${\displaystyle (T_{s}-q_{s}^{1/2})(T_{s}+q_{s}^{-1/2})=0.}$^±1/2
_秒結果として得られるヘッケ代数は、以前に定義されたものと同型である（ただし、ここでのT _sはq^−1/2
_秒 T _{s は}私たちの表記法では使われません。これによって一般理論が変わることはありませんが、多くの式が違って見えます。

代数H _A ( W , S , q )は、汎用の多パラメータ Hecke 代数です。この代数は、不定q _s ∈ Aを単位q _s ∈ Rに写す (唯一の)環準同型 A → Rを介して、他のすべての多パラメータ Hecke 代数が得られるという意味で、汎用です。この準同型により、 RはA代数になり、スカラー拡張H _A ( W , S ) ⊗ _A R は、上で構築されたHecke 代数H _R ( W , S , q ) と標準的に同型です。このプロセスを汎用代数の 特殊化と呼びます。

あらゆる不定q_を整数上の単一の不定q （またはq^1/2
_秒それぞれq ^1/2まで）とすると、（ W、S ）のいわゆる一般的な1パラメータヘッケ代数が得られます。

単一のレースのディンキン図を持つコクセター群（例えば、タイプ A と D のコクセター群）では、コクセター生成子のすべてのペアが共役であるため、sとtがWで共役である場合は常にq _sがq _tに等しいという前述の制限により、マルチパラメータ ヘッケ代数と 1 パラメータ ヘッケ代数が等しくなります。したがって、1 パラメータ ヘッケ代数のみを見ることも非常に一般的です。

W上に積分重み関数が定義されている場合（つまり、すべてのv、w ∈ Wに対してL ( vw ) = L ( v ) + L ( w ) となる写像L : W → Zで、 l ( vw ) = l ( v ) + l ( w )となる写像）、注目すべき一般的な特殊化は準同型q _s ↦ q ^{L ( s )}によって誘導される特殊化です。ここでqはZ上の単一の不定値です。

半整数乗の慣例を用いると、重み関数L : W → ⁠1/2⁠ Zも許可される場合があります。技術的な理由から、正の重み関数のみを考慮することが便利な場合もよくあります。

1. ヘッケ代数は、コクセター群Wの元でインデックス付けされたA上の基底を持ちます。特に、Hは自由A加群です。 がw ∈ Wの縮約分解である場合、 となります。ヘッケ代数のこの基底は、自然基底と呼ばれることもあります。Wの中立元は、Hの恒等式T _e = 1 に対応します。 ${\displaystyle (T_{w})_{w\in W}}$${\displaystyle w=s_{1}s_{2}\ldots s_{n}}$${\displaystyle T_{w}=T_{s_{1}}T_{s_{2}}\ldots T_{s_{n}}}$

2. 自然基底の元は乗法的である、すなわち、l ( yw ) = l ( y ) + l ( w )のときはいつでもT _yw = T _y T _{w で}ある。ここで、 l はコクセター群W上の長さ関数を表す。

3. 自然基底の要素は可逆である。例えば、二次関係からTが導かれる。⁻¹
_秒= q⁻¹
_秒 T _s + ( q⁻¹
_秒−1）。

4. W が有限群で、基底環が複素数体 Cであるとします。ジャック・ティッツは、不定値qが明示的に与えられたリスト（単位根）以外の任意の複素数に特殊化されると、結果として得られる 1 パラメータのヘッケ代数は半単純で、複素群代数C [ W ] と同型である（これは特殊化q ↦ 1 にも対応します）^[要出典]ことを証明しました。

5. より一般的には、W が有限群で基底環R が特性0の体である場合、1 パラメータ Hecke 代数はR [ q ^{±1 ] 上の半単純結合代数である。さらに、Benson と Curtis の以前の結果を拡張して、George Lusztig は、} R [ q ^±1/2 ] の商体へのスカラーの拡張後に Hecke 代数と群代数の間に明示的な同型性を与えた。

カジダンとルスティグの偉大な発見は、ヘッケ代数がさまざまな関連オブジェクトの 表現理論をある意味で制御する異なる基底を許容するというものでした。

一般的な多パラメータヘッケ代数H _A ( W , S , q ) には、q ^{1/2 を}q ^−1/2に写し、Z上で恒等写像として機能する反転 バーがあります。すると、H は、 Aのバー反転に関して半線形であり、 T _sをTに写す唯一の環自己同型i を許容します。 ⁻¹
_秒さらに、この自己同型は反転的（位数が2）であり、任意のT _wを${\displaystyle T_{w^{-1}}^{-1}.}$

カジダン - ルスティグ定理:各w ∈ Wに対して、反転iに対して不変である唯一の元が存在し、その展開を自然基底で表すと次のようになります。 ${\displaystyle C_{w}^{\プライム }}$

${\displaystyle C'_{w}=\left(q^{-1/2}\right)^{l(w)}\sum _{y\leq w}P_{y,w}T_{y},}$

1つは次のようになります。

• P _{w , w} = 1,
• P _{y , w} in Z [ q ] の次数は⁠以下である1/2⁠ ( l ( w ) − l ( y ) − 1)ブルハ順序でy < w の場合、
• P _{y , w} =0の場合${\displaystyle y\nleq w.}$

wがW上で変化する要素は代数Hの基底を形成し、これはヘッケ代数Hの双対標準基底と呼ばれます。標準基底{ C _w | w ∈ W } も同様の方法で得られます。この定理に現れる多項式P _{y , w} ( q ) は、カジュダン・ルスティヒ多項式です。 ${\displaystyle C_{w}^{\プライム }}$

Coxeter 群の左セル、右セル、両側セルの Kazhdan–Lusztig 概念は、 Hの作用下での標準基底の挙動を通じて定義されます。

岩堀–ヘッケ代数は、群論における非常に一般的な構成の重要な特殊なケースとして初めて登場しました。 ( G , K ) を、ユニモジュラ局所コンパクト位相群GとGの閉部分群Kからなるペアとします。すると、コンパクト台のK双 不変連続関数の空間C _c ( K \ G / K ) は、畳み込み演算の下で結合代数の構造を備えることができます。この代数はH ( G // K )と表され、ペア ( G , K ) のヘッケ環と呼ばれます。

例: G = SL( n , Q _p ) かつK = SL( n , Z _p )の場合、ヘッケ環は可換であり、その表現はIan G. Macdonaldによって研究されました。より一般的には、 ( G , K ) がゲルファンド対の場合、結果として得られる代数は可換であることがわかります。

例: G = SL(2, Q )かつK = SL(2, Z )の場合、モジュラー形式理論におけるヘッケ演算子の背後にある抽象環が得られ、これが一般にヘッケ代数に名前を与えました。

有限ワイル群のヘッケ代数に至るケースは、Gがp ^k個の元を持つ有限体上の有限シュヴァレー群であり、B がそのボレル部分群である場合である。岩堀は、ヘッケ環H ( G // B ) は、後者の代数の不定値q を有限体の濃度p ^kに特殊化することで、 Gのワイル群Wの一般ヘッケ代数H _qから得られることを示した。ジョージ・ルスティグは 1984 年に次のように述べている (有限体上の簡約群の指標、xi、脚注):

岩堀代数と呼ぶのが最も適切だと思いますが、岩堀自身が付けたヘッケ環（または代数）という名前は、ほぼ 20 年間使用されており、今さら変更するのはおそらく遅すぎます。

岩堀と松本 (1965) は、Gが非アルキメデス的局所体K上のQ _pなどの簡約代数群の点の群であり、Kが現在Gの岩堀部分群と呼ばれるものである場合を考察した。結果として得られるヘッケ環は、 Gのアフィンワイル群のヘッケ代数、または不定値qがKの剰余体の濃度に特殊化されたアフィンヘッケ代数に同型である。

1970年代のロジャー・ハウの研究と、アレン・モイとの共著によるp進GL( n )の表現に関する論文は、適切に構成されたヘッケ代数を用いて、局所体上の簡約群の既約許容表現を分類する可能性を開いた。（ジョセフ・バーンスタインとアンドレイ・ゼレビンスキーも重要な貢献をした。）これらのアイデアは、コリン・ブッシュネルとフィリップ・クッツコの型理論でさらに発展し、一般線型の場合の分類を完成させることができた。多くの手法は他の簡約群にも拡張でき、現在でも活発に研究されている分野である。必要とされるヘッケ代数はすべて、アフィンヘッケ代数の緩やかな一般化であると 推測されている。

岩堀の研究から、有限型のヘッケ代数の複素表現は有限シュヴァレー群の球面主級数表現の構造と密接に関係していることがわかります。

ジョージ・ルスティグはこの関係をさらに推し進め、リー型有限群の特徴のほとんどをヘッケ代数の表現論の観点から記述することができました。この研究では、幾何学的手法とさまざまな還元を組み合わせて使用​​し、ヘッケ代数を一般化するさまざまなオブジェクトの導入と、それらの表現の詳細な理解につながりました ( q は単位根ではないため)。ヘッケ代数のモジュラー表現と単位根での表現は、アフィン量子群と組み合わせ論における標準基数の理論に関連していることが判明しました。

アフィン ヘッケ代数の表現理論は、 p進群の表現の記述に適用することを目的として、ルスティッヒによって開発されました。有限の場合とは多くの点で異なります^{[どのように? ]}。アフィン ヘッケ代数の一般化は二重アフィン ヘッケ代数と呼ばれ、イヴァン チェレドニクがマクドナルドの定数項予想の証明に使用しました。

• デイヴィッド・ゴールドシュミット『群の指標、対称関数、ヘッケ代数』MR 1225799、ISBN 0-8218-3220-4 
• 岩堀 永義、松本 秀也 p進シュヴァレー群のいくつかのブリュハ分解とヘッケ環の構造について。出版物 Mathématiques de l'IHÉS、25 (1965)、pp. 5–48。MR 0185016
• アレクサンダー・クレシュチェフ、「対称群の線型および射影表現」、ケンブリッジ数学論文集、第 163 巻。ケンブリッジ大学出版局、2005 年。MR 2165457、ISBN 0-521-83703-0 
• George Lusztig、「不等パラメータを持つヘッケ代数」、CRM モノグラフ シリーズ、第 18 巻、アメリカ数学会、2003 年。MR 1974442、ISBN 0-8218-3356-1 
• アンドリュー・マサス、「対称群の岩堀-ヘッケ代数とシューア代数」、大学講義シリーズ、第 15 巻、アメリカ数学会、1999 年。MR 1711316、ISBN 0-8218-1926-7 
• ルスティグ、ジョージ、 「ベンソンとカーティスの定理について」、代数誌 71 (1981)、第 2 号、490–498。MR 0630610、doi :10.1016/0021-8693(81)90188-5
• コリン・ブッシュネルとフィリップ・クツコ、「コンパクト開部分群による GL(n) の許容双対」、数学研究年報、第 129 巻、プリンストン大学出版、1993 年。MR 1204652、ISBN 0-691-02114-7