波長

物理学と数学において、波または周期関数の波長または空間周期は、波の形状が繰り返される距離です。^{[1] [2]}言い換えれば、それは、 2つの隣接する山、谷、またはゼロ交差など、波上の同じ位相の連続する対応点間の距離です。波長は、進行波と定在波の両方の特性であり、他の空間波パターンでもあります。^{[3] [4]}波長の逆数は空間周波数と呼ばれます。波長は、一般的にギリシャ文字のラムダ( λ )で表されます。「波長」という用語は、変調波、変調波の正弦波エンベロープ、または複数の正弦波の干渉によって形成された波にも適用されることがあります。^[5]

一定の波速で移動する正弦波を想定すると、波長は波の周波数に反比例します。つまり、周波数が高い波は波長が短くなり、周波数が低い波は波長が長くなります。 ^[6]

波長は、波が伝わる媒体（真空、空気、水など）によって異なります。波の例としては、音波、光、水波、導体内の周期的な電気信号などがあります。音波は空気圧の変化ですが、光やその他の電磁放射では電場と磁場の強さが変わります。水波は水面の高さの変化です。結晶格子の振動では、原子の位置が変わります。

波動現象の波長または周波数の範囲はスペクトルと呼ばれます。この名前は可視光スペクトルに由来していますが、現在では電磁スペクトル全体、音スペクトル、振動スペクトルにも適用されています。

線形媒体では、任意の波形は正弦波成分の独立した伝播によって記述できる。一定速度で伝わる正弦波の波長λは^[7]で与えられる。${\displaystyle v}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {v}{f}}\,\,,}$

ここで は波の位相速度（位相速度の大きさ）と呼ばれ、は波の周波数です。分散媒体では、位相速度自体は波の周波数に依存するため、波長と周波数の関係は非線形になります。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle f}$

自由空間における光などの電磁放射の場合、位相速度は光速で、約3 × 10 ⁸  m/s。したがって、100 MHz の電磁波 (電波) の波長は次のようになります。3 × 10 ⁸  m/sを10 ⁸  Hz = 3 m。可視光の波長は、およそ 700  nmの深紅からおよそ 400 nm の紫までの範囲です(他の例については、電磁スペクトルを参照してください)。

空気中の音波の場合、音速は343 m/s です (室温および大気圧の場合)。したがって、 人間の耳に聞こえる音の周波数の波長 (20  Hz –20 kHz) は、それぞれ約 17 mと 17  mmの間です。コウモリは 17 mm より小さい対象物を識別できるように、やや高い周波数を使用します。可聴音の波長は、可視光の波長よりもはるかに長くなります。

定在波は、一箇所に留まる波動運動です。正弦定在波には、節と呼ばれる静止した運動点が含まれ、波長は節間の距離の 2 倍になります。

上の図は、箱の中にある 3 つの定在波を示しています。箱の壁は、波が箱の壁で節を持つ必要がある (境界条件の例) と考えられており、これにより許容される波長が決まります。たとえば、電磁波の場合、箱に理想的な導電性の壁がある場合、導電性の壁は接線電場をサポートできないため、壁で節を持つ条件が成立し、壁での波の振幅はゼロになります。

定常波は、速度が反対方向に向いた2つの進行正弦波の合計として考えることができます。^[8]したがって、波長、周期、波の速度は進行波の場合とまったく同じように関連しています。たとえば、光の速度は、理想的な真空を含む金属箱内の定在波を観察することで決定できます。

進行する正弦波は、速度v (x 方向)、周波数f、波長λによって数学的に次のように表されることが多いです。

${\displaystyle y(x,\ t)=A\cos \left(2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-ft\right)\right)=A\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right)}$

ここで、y は任意の位置xと時間tにおける波の値、A は波の振幅です。これらは通常、波数 k (波長の逆数の 2π 倍) と角周波数 ω (周波数の 2π 倍) で次のように表されます。

${\displaystyle y(x,\ t)=A\cos \left(kx-\omega t\right)=A\cos \left(k(x-vt)\right)}$

ここで、波長と波数は速度と周波数と次のように関係します。

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi f}{v}}={\frac {\omega }{v}},}$

または

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v}{\omega }}={\frac {v}{f}}.}$

上記の 2 番目の形式では、位相( kx − ωt )は、波数 k を、位置ベクトル r によってパラメーター化された 3 次元空間の平面波の方向と波数を指定する波数ベクトルに置き換えることによって、( k ⋅ r − ωt )に一般化されることがよくあります。その場合、波数k ( kの大きさ) は、上記で示したように波長と同じ関係にあり、vは波数ベクトルの方向のスカラー速度として解釈されます。位相に波長の逆数を使用する最初の形式は、任意の方向の波に簡単に一般化できません。

他の位相の正弦波や複素指数への一般化も一般的です。平面波を参照してください。波を記述する際に正弦波位相ではなく余弦波位相を使用する一般的な慣例は、余弦波が波の複素指数の実部であるという事実に基づいています。

${\displaystyle Ae^{i\left(kx-\omega t\right)}.}$

波の速度は、波が伝播する媒体によって異なります。特に、媒体内の光の速度は真空中よりも遅くなります。つまり、右の図に示すように、同じ周波数でも媒体内の波長は真空中よりも短くなります。

媒体に入るときのこの速度の変化は屈折を引き起こし、つまり、媒体間の界面に斜めに当たる波の方向を変えます。^[9]電磁波の場合、この伝播角度の変化はスネルの法則によって決まります。

ある媒体における波の速度は、他の媒体における速度と異なるだけでなく、通常、速度は波長によっても変化します。その結果、異なる媒体に入ったときの方向の変化は、波の波長によって変化します。

電磁波の場合、媒体中の速度は屈折率によって決まり、

${\displaystyle v={\frac {c}{n(\lambda _{0})}},}$

ここで、cは真空中の光速、n ( λ _{0 )は波長λ 0}における媒質の屈折率であり、後者は媒質中ではなく真空中で測定される。媒質中の対応する波長は

${\displaystyle \lambda ={\frac {\lambda _{0}}{n(\lambda _{0})}}.}$

電磁波の波長を引用する場合、その波長が他の媒体の波長として具体的に特定されていない限り、通常は真空中の波長を指します。音響学では、波が存在するために媒体が不可欠なため、特定の媒体に対して波長値が与えられます。

波長による光の速度の変化は分散と呼ばれ、プリズムによって光が成分色に分離されるというよく知られた現象の原因でもあります。分離はプリズム内の屈折率が波長によって変化するときに発生し、異なる波長はプリズム内で異なる速度で伝播し、異なる角度で屈折します。媒体内の光の速度が波長によってどのように変化するかを説明する数学的関係は、分散関係として知られています。

波長は、波が空間的に周期的でない場合でも、有用な概念となり得る。例えば、図に示すように、海岸に近づく海の波では、入射波は波の高さと比較した海底の深さに部分的に依存する変化する局所的な波長で波打つ。波の分析は、局所的な波長と局所的な水深の比較に基づいて行うことができる。^[10]

時間的には正弦波であるが、位置によって特性が変化する媒体 (不均質媒体) を伝搬する波は、位置によって異なる速度で伝搬し、結果として空間的には正弦波にならない場合があります。右の図は例を示しています。波が遅くなると、波長が短くなり、振幅が増加します。最大応答の場所を過ぎると、短い波長は大きな損失と関連付けられ、波は消えます。

このようなシステムの微分方程式の解析は、 WKB法（リウヴィル・グリーン法とも呼ばれる）を使用して近似的に行われることが多い。この方法では、局所波数を使用して空間内の位相を積分する。これは、時間と空間の関数として解の「局所波長」を示すものと解釈できる。^{[11] [12]} この方法では、システムを局所的に、局所的な特性と均一であるかのように扱う。特に、周波数に関連付けられた局所波速度は、対応する局所波数または波長を推定するために必要な唯一のものである。さらに、この方法では、波の エネルギー保存など、方程式または物理システムの他の制約を満たすために、ゆっくりと変化する振幅を計算する。

結晶質固体中の波は連続的ではない。なぜなら、それらは規則的な格子状に配置された離散粒子の振動から構成されるからである。これにより、図に示すように、同じ振動がさまざまな異なる波長を持つと考えられるため、エイリアシングが生じる。 ^{[13]これらの波長のうちの1つ以上を使用して記述することは冗長であり、現象に適合する最長の波長を選択するのが慣例となっている。結晶質媒体中のすべての可能な波を記述するのに十分な波長の範囲は、}ブリルアンゾーンに限定された波動ベクトルに対応する。^[14]

固体における波長の不確定性は、エネルギーバンドや格子振動などの波動現象の解析において重要です。これは、離散的な間隔で サンプリングされた信号のエイリアシングと数学的に同等です。

波長の概念は、正弦波、またはほぼ正弦波に最もよく適用されます。これは、線形システムでは、正弦波が形状変化なしで伝播する唯一の形状であり、位相変化と場合によっては振幅変化のみがあるためです。^[15]波長（または波数または波数ベクトル）は、システムの物理的制約に従って、空間における波の特性であり、その周波数と機能的に関連しています。正弦波は最も単純な進行波解であり、重ね合わせによってより複雑な解を構築できます。

分散のない均一な媒体の特殊なケースでは、正弦波以外の波は形状と速度が変化しないまま伝播します。特定の状況では、形状が変化しない波が非線形媒体でも発生することがあります。たとえば、図は浅瀬の海洋波を示していますが、正弦波よりも山が鋭く谷が平らで、典型的なクノイダル波です。^{[16]クノイダル波は、} m次のヤコビ楕円関数で記述されるため、このように呼ばれる進行波で、通常はcn ( x ; m )と表記されます。^[17]非線形表面波媒体​​の特性により、特定の形状の大きな振幅の海洋波は変化せずに伝播することがあります。^[18]

進行波が空間または時間の中で繰り返される固定された形状を持つ場合、それは周期波です。^[19]このような波は、正弦波でなくても波長を持つと見なされることがあります。^[20]図に示すように、波長は波形上の連続する対応する点の間で測定されます。

局所的な波束は、各波束が単位として移動する波動の「バースト」であり、物理学の多くの分野で応用されています。波束には、波の全体的な振幅を表すエンベロープがあります。エンベロープ内で、隣接するピークまたは谷間の距離は、局所波長と呼ばれることがあります。^{[21] [22]}例を図に示します。一般に、波束のエンベロープは、構成波とは異なる速度で移動します。 ^[23]

フーリエ解析を用いると、波束を異なる波数や波長の正弦波の無限和（または積分）に解析することができる。^[24]

ルイ・ド・ブロイは、特定の運動量 値p を持つすべての粒子は波長λ = h / p を持つと仮定しました。ここでhはプランク定数です。この仮説は量子力学の基礎となりました。今日では、この波長はド・ブロイ波長と呼ばれています。たとえば、CRTディスプレイの電子のド・ブロイ波長は約 1/2 です。10 ⁻¹³  m 。このような粒子の波動関数が空間全体に広がるのを防ぐために、ド・ブロイは空間に局在する粒子を表すために波束を使うことを提案した。 ^[25]波束の空間的広がりと、波束を構成する正弦波の波数の広がりは、粒子の位置と運動量の不確実性に対応し、その積はハイゼンベルクの不確定性原理によって制限される。^[24]

正弦波が加わると、相対位相に応じて、互いに強め合ったり（建設的干渉）、打ち消したり（破壊的干渉）することがあります。この現象は干渉計で利用されています。簡単な例として、ヤングによる、光が2 つのスリットを通過する実験があります。^[26] 図に示すように、光は 2 つのスリットを通過し、スクリーンに照射されます。スクリーン上の位置までの光の経路は 2 つのスリットごとに異なり、経路がスクリーンとなす角度 θ によって異なります。スクリーンがスリットから十分離れていると仮定すると（つまり、スリット間隔dに比べてsが大きい場合）、経路はほぼ平行になり、経路差は単純にd sin θになります。したがって、建設的干渉の条件は次のとおりです。^[27]

${\displaystyle d\sin \theta =m\lambda \ ,}$

ここで、m は整数であり、弱め合う干渉の場合は次のようになります。

${\displaystyle d\sin \theta =(m+1/2)\lambda \ .}$

したがって、光の波長がわかっている場合は、干渉縞または縞からスリット間隔を決定することができ、その逆も同様です。

複数のスリットの場合、パターンは^[28]

${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$

ここで、qはスリットの数、g は格子定数です。最初の係数I ₁は単一スリットの結果であり、スリットの数と間隔に応じてより急速に変化する 2 番目の係数を調整します。図では、I _{1 は}1 に設定されていますが、これは非常に大まかな近似値です。

干渉の効果は光を再分配することであり、光に含まれるエネルギーは変化せず、光が現れる場所だけが変化する。^[29]

二重スリット実験で使用した経路差と建設的干渉または破壊的干渉の概念は、スクリーン上で遮断された単一のスリット光の表示にも適用されます。この干渉の主な結果は、狭いスリットからの光がスクリーン上でより広い画像に広がることです。この波動エネルギーの分布は回折と呼ばれます。

光源とスクリーン間の距離に応じて、2 種類の回折が区別されます。距離が離れている場合はフラウンホーファー回折、つまり遠距離場回折、距離が近い場合はフレネル回折、つまり近接場回折です。

単一スリットの解析では、スリットの幅がゼロではないことが考慮され、開口部の各ポイントが光線への 1 つの寄与源として扱われます (ホイヘンスのウェーブレット)。スクリーン上では、スリット内の各位置から到達する光は、たとえ非常に小さな差であっても、異なる経路長を持ちます。その結果、干渉が発生します。

フラウンホーファー回折パターンでは、単一スリットから十分離れた小角近似の範囲内で、強度の広がりSは位置xと2乗sinc関数で関係している：^[30]

${\displaystyle S(u)=\mathrm {sinc} ^{2}(u)=\left({\frac {\sin \pi u}{\pi u}}\right)^{2}\ ;}$ と ${\displaystyle u={\frac {xL}{\lambda R}}\ ,}$

ここで、Lはスリットの幅、Rはスリットからのパターン (スクリーン上) の距離、λ は使用される光の波長です。関数S は、 u がゼロ以外の整数であるときにゼロを持ち、波長に比例した分離の x値にあります。

回折は、望遠鏡（電波望遠鏡を含む）や顕微鏡などの光学機器の分解能に対する基本的な制限です。^[31] 円形の開口部の場合、回折限界の像点はエアリーディスクとして知られています。単一スリット回折式の距離xは半径距離rに置き換えられ、正弦は2 J ₁に置き換えられます。ここで、J _1は1次ベッセル関数です。^[32]

顕微鏡で観察される物体の分解可能な空間サイズは、レイリーの基準、エアリーディスクの最初のヌルまでの半径、使用される光の波長に比例したサイズ、および開口数に応じて制限されます。^[33]

${\displaystyle r_{Airy}=1.22{\frac {\lambda }{2\,\mathrm {NA} }}\ ,}$

ここで、開口数は、顕微鏡対物レンズによって受け入れられる光線の円錐の半角 θ に対して定義されます。 ${\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta \;}$

円形の開口部によって回折された像の中心の明るい部分の角度の大きさ（エアリーディスクの最初のヌルまでの半径）は、望遠鏡やカメラで最も一般的に使用される尺度であり、次の式で表される。^[34]

${\displaystyle \delta =1.22{\frac {\lambda }{D}}\ ,}$

ここで、λは画像化のために焦点を合わせる波の波長、D は画像化システムの入射瞳径（単位は同じ）、角度分解能δはラジアンです。

他の回折パターンと同様に、パターンは波長に比例して拡大縮小されるため、波長が短いほど解像度が高くなります。

サブ波長という用語は、物体が相互作用する波長の長さよりも 1 つ以上の寸法が小さい物体を表すために使用されます。たとえば、サブ波長直径光ファイバーという用語は、光ファイバーの直径が、光ファイバーを伝搬する光の波長よりも小さいこと を意味します。

サブ波長粒子は、相互作用する光の波長よりも小さい粒子です (レイリー散乱を参照)。サブ波長開口部は、そこを伝搬する光の波長よりも小さい穴です。このような構造は、フォトニクスのその他の分野の中でも、異常光伝送やゼロモード導波路に応用されています。

サブ波長は、サブ波長オブジェクトに関係する現象を指す場合もあります。たとえば、サブ波長イメージングなどです。

波長に関連する量は角波長（縮約波長とも呼ばれる）で、通常はƛ（「ラムダバー」またはバー付きラムダ）で表されます。これは、通常の波長を係数 2π で縮めた値（ƛ = λ /2π）に等しく、SI 単位はメートル/ラジアンです。これは角波数（k = 2π/ λ ）の逆数です。これは通常、量子力学で使用され、縮約プランク定数（記号 ħ、h バー）および角周波数（記号 ω = 2π f ）と組み合わせて使用​​されます。

• 発光スペクトル
• エンベロープ（波）
• フラウンホーファー線– 太陽スペクトルの暗線。伝統的に標準的な光波長基準として使用されている。
• 波の記事のインデックス
• 長さの測定
• スペクトル線
• 分光法
• スペクトラム

ウィキメディア・コモンズには、波長に関連するメディアがあります。

• 変換: 波長から周波数へ、またその逆 – 音波と電波
• 14～16歳向けの音の波長に関する教材。Wayback Machineで 2012-03-13 にアーカイブされています。
• 可視電磁スペクトルは波長に応じてウェブカラーで表示されます