W代数

共形体理論と表現論 において、W-代数はヴィラソロ代数を一般化する結合代数である。W-代数はアレクサンダー・ザモロドチコフ^[1]によって導入され、「W-代数」という名前はザモロドチコフが彼の例の1つの要素に文字Wを使用したことに由来する。

W代数は、エネルギー運動量テンソルを含む有限個の有理型体のモードによって生成される結合代数である。 は共形次元の一次体である。^[2]代数の生成元は、モード展開によって有理型体に関連付けられている 。${\displaystyle W^{(h)}(z)}$${\displaystyle T(z)=W^{(2)}(z)}$${\displaystyle h\neq 2}$${\displaystyle W^{(h)}(z)}$${\displaystyle h\in {\frac {1}{2}}\mathbb {N} ^{*}}$${\displaystyle (W_{n}^{(h)})_{n\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle W^{(h)}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }W_{n}^{(h)}z^{-nh}}$

の交換関係は、中心電荷によってパラメータ化されたヴィラソロ代数によって与えられます。この数は、W代数の中心電荷とも呼ばれます。交換関係 ${\displaystyle L_{n}=W_{n}^{(2)}}$${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle [L_{m},W_{n}^{(h)}]=((h-1)mn)W_{m+n}^{(h)}}$

は、次元 の一次体であるという仮定と同等です。残りの交換関係は、原則としてヤコビ恒等式を解くことで決定できます。 ${\displaystyle W^{(h)}(z)}$${\displaystyle h}$

有限の共形次元集合（必ずしもすべてが異なるとは限らない）が与えられた場合、 によって生成される W-代数の数は0、1、またはそれ以上になる可能性がある。結果として得られる W-代数は、すべての に対して存在する場合もあれば、中心電荷の特定の値に対してのみ存在する場合もある。^[2]${\displaystyle H}$${\displaystyle (W^{(h)})_{h\in H}}$${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

W代数は、その生成元が交換関係以外の関係に従わない場合、自由生成と呼ばれます。最も一般的に研究されているW代数のほとんどは、W(N)代数を含め、自由生成です。 ^[3]この記事では、表現論と相関関数のセクションが自由生成W代数に適用されます。

多数の有理型体の存在を仮定し、ヤコビ恒等式を解くことによって W 代数を構成することは可能であるが、W 代数の族の体系的な構成も存在する。 ${\displaystyle W^{(h)}(z)}$

有限次元リー代数と埋め込みから、一種のBRST構成によってアフィンリー代数の普遍包絡代数からW代数を構築することができます。^[2] このとき、W代数の中心電荷はアフィンリー代数のレベルの関数になります。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$

有限次元リー代数 と部分代数 が与えられると、対応するアフィンリー代数 からW 代数 が構成されます。 を生成する体は、のカレント内の多項式と、 のカレントと可換なその導関数です。^[2]の中心電荷は、との中心電荷の差であり、それ自体は、菅原構成によってそれらのレベルに関して与えられます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle W({\hat {\mathfrak {g}}}/{\hat {\mathfrak {h}}})}$${\displaystyle {\hat {\mathfrak {h}}}\hookrightarrow {\hat {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle W({\hat {\mathfrak {g}}}/{\hat {\mathfrak {h}}})}$${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$${\displaystyle {\hat {\mathfrak {h}}}}$${\displaystyle W({\hat {\mathfrak {g}}}/{\hat {\mathfrak {h}}})}$${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$${\displaystyle {\hat {\mathfrak {h}}}}$

の値を持つ正則体とベクトルの集合が与えられた場合、W-代数は遮蔽電荷 と可換な の多項式 とその導関数の集合として定義できます。ベクトルがリー代数 の単純根である場合、結果として得られる W-代数は、ドリンフェルト-ソコロフ還元によってから得られる代数と一致する。 ^[4]${\displaystyle \phi (z)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \oint e^{(a_{i},\phi (z))}dz}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

任意の整数 に対して、W(N) 代数は次元 の有理型体によって生成される W 代数です。W(2) 代数はVirasoro 代数と一致します。 ${\displaystyle N\geq 2}$${\displaystyle N-1}$${\displaystyle 2,3,\dots ,N}$

W(N)代数は、アフィンリー代数 のドリンフェルト-ソコロフ還元によって得られます。 ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}}$

埋め込みはの整数分割によってパラメータ化され、 の基本表現をの表現に分解したものとして解釈されます。結果として得られるW-代数の生成元の次元の集合は となり、ここで は の-次元の既約表現です。^[5]${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\hookrightarrow {\mathfrak {sl}}_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle F\otimes F=R_{1}\oplus \bigoplus _{h\in H}R_{2h-1}}$${\displaystyle R_{d}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

自明な分割はW(N) 代数に対応し、 はそれ自身に対応します。 の場合、分割は ベルシャツキー-ポリアコフ代数につながり、その生成体は次元 を持ちます。 ${\displaystyle N=N}$${\displaystyle N=1+1+\dots +1}$${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}}$${\displaystyle N=3}$${\displaystyle 3=2+1}$${\displaystyle 2,{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}},1}$

W(N)代数の中央電荷は、アフィンリー代数の レベルで次のように与えられる。${\displaystyle k}$

${\displaystyle c_{W(N)}=(N-1)\left(1-N(N+1)\left({\frac {1}{k+N}}+k+N-2\right)\right)}$

アフィンリー代数の中心電荷が

${\displaystyle c_{{\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}}=(N-1)(N+1)-{\frac {N(N-1)(N+1)}{k+N}}}$

交換関係が の下で不変となるような基底を選択することが可能です。 ${\displaystyle W^{(h)}\to (-1)^{h}W^{(h)}}$

ヴィラソロ代数は の普遍包絡代数の部分代数であるが、 のW(N)代数はの普遍包絡代数の部分代数ではない。^[6]${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{2}}$${\displaystyle N\geq 3}$${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}}$

W(3)代数は、ヴィラソロ代数 の生成元と、別の無限の生成元族によって生成される。交換関係は^[2]${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$${\displaystyle (W_{n})_{n\in \mathbb {Z} }=(W_{n}^{(3)})_{n\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}m(m^{2}-1)\delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle [L_{m},W_{n}]=(2m-n)W_{m+n}}$

${\displaystyle [W_{m},W_{n}]={\frac {c}{360}}m(m^{2}-1)(m^{2}-4)\delta _{m+n,0}+{\frac {16}{22+5c}}\Lambda _{m+n}+{\frac {(m-n)(2m^{2}-mn+2n^{2}-8)}{30}}L_{m+n}}$

ここで中心電荷は、次のように定義されます。 ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \Lambda _{n}=\sum _{m=-\infty }^{-2}L_{m}L_{n-m}+\sum _{m=-1}^{\infty }L_{n-m}L_{m}-{\frac {3}{10}}(n+2)(n+3)L_{n}}$

フィールドは次のようになります。 ${\displaystyle \Lambda (z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\Lambda _{n}z^{-n-4}}$${\displaystyle \Lambda =(TT)-{\frac {3}{10}}T''}$

W代数の最高重み表現は、一次状態によって生成される表現である。つまり、 ${\displaystyle v}$

${\displaystyle W_{n>0}^{(h)}v=0\quad ,\quad W_{0}^{(h)}v=q^{(h)}v}$

電荷と呼ばれるいくつかの数値に対して、共形次元も含まれます。 ${\displaystyle q^{(h)}}$${\displaystyle q^{(2)}=\Delta }$

電荷の集合が与えられた場合、対応するVermaモジュールは、これらの電荷を持つ一次状態によって生成される最大の最高重み表現である。Vermaモジュールの基底は ${\displaystyle {\vec {q}}=(q^{(h)})_{h\in H}}$

${\displaystyle \left\{\prod _{h\in H}W_{-{\vec {N}}_{h}}^{(h)}v\right\}_{{\vec {N}}_{h}\in {\mathcal {V}}}}$

ここで、は、、および の型の厳密に正の整数の順序付けられた組の集合です。この基底の要素は、それ自体を除いて子孫状態と呼ばれ、それらの線形結合も子孫状態と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\vec {N}}=(n_{1},n_{2},\dots ,n_{p})}$${\displaystyle 0<n_{1}\leq n_{2}\leq \dots \leq n_{p}}$${\displaystyle W_{-{\vec {N}}}=W_{-n_{1}}W_{-n_{2}}\dots W_{-n_{p}}}$${\displaystyle v}$

チャージの一般的な値の場合、Verma モジュールは唯一の最高重み表現です。代数の中心チャージに依存するチャージの特殊な値の場合、退化表現と呼ばれる他の最高重み表現が存在します。退化表現は、Verma モジュールが可約である場合に存在し、それらは Verma モジュールの非自明なサブモジュールによる商です。

Verma モジュールが還元可能である場合、分解不可能なサブモジュールはそれ自体が最高重み表現であり、ヌル状態またはヌル ベクトルと呼ばれる、子孫かつプライマリである状態によって生成されます。退化した表現は、1 つ以上のヌル ベクトルをゼロに設定することによって得られます。すべてのヌル ベクトルをゼロに設定すると、還元不可能な表現になります。

既約表現の構造と特性は、アフィンリー代数の表現からドリンフェルト-ソコロフ還元によって演繹することができる。^[7]

ヌルベクトルの存在は、電荷 に対する 依存制約の下でのみ可能です。Verma モジュールは、他のヌルベクトルの子孫ではない有限個のヌルベクトルのみを持つことができます。最大数のヌルベクトルを持つ Verma モジュールから始めて、これらすべてのヌルベクトルをゼロに設定すると、完全に退化した表現と呼ばれる既約表現が得られます。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle {\vec {q}}}$

例えば、代数W(3)の場合、ゼロ電荷を持つVerma加群はレベル1、1、2に3つのヌルベクトルを持ちます。これらのヌルベクトルをゼロに設定すると、真空加群と呼ばれる完全に退化した表現が得られます。W(3)の最も単純で非自明な完全に退化した表現は、レベル1、2、3にゼロのヌルベクトルを持ち、その表現は明示的に知られています。^[8]${\displaystyle q^{(2)}=q^{(3)}=0}$${\displaystyle L_{-1}v,W_{-1}v,W_{-2}v}$

完全に退化した表現の別の特徴付けは、任意のVermaモジュールとの融合積が有限個の分解不可能な表現の和であるということである。^[8]

最高重み表現を電荷の集合ではなく、運動量と呼ばれる 重み空間の要素によってパラメータ化すると便利です。${\displaystyle {\vec {q}}=(q^{(2)},\dots ,q^{(N)})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$

を の単根とし、そのスカラー積は のカルタン行列で与えられ、その非ゼロ要素は です。正の単根は、連続する単根の任意の個数の和であり、ワイルベクトルはそれらの半和 であり、 に従います。基本重みは によって定義されます。すると、運動量はベクトルになります。 ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{N-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$${\displaystyle K_{ij}=(e_{i},e_{j})}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$${\displaystyle K_{ii}=2,K_{i,i+1}=K_{i,i-1}=-1}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}N(N-1)}$${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\sum _{e>0}e}$${\displaystyle (\rho ,\rho )={\frac {1}{12}}N(N^{2}-1)}$ ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{N-1}}$${\displaystyle (\omega _{i},e_{j})=\delta _{ij}}$

${\displaystyle P=\sum _{i=1}^{N-1}P_{i}\omega _{i}\quad i.e.\quad (e_{i},P)=P_{i}}$

電荷は運動量と中心電荷の関数であり、ワイル群の作用に対して不変である。特に、は次数 の運動量の多項式であり、ディンキン図の下で自己同型性はのように振る舞う。共形次元は^{[9]である。}${\displaystyle q^{(h)}}$${\displaystyle q^{(h)}}$${\displaystyle h}$ ${\displaystyle e_{i}^{*}=e_{N-i}}$${\displaystyle q^{(h)}(P^{*})=(-1)^{h}q^{(h)}(P)}$

${\displaystyle q^{(2)}={\frac {c+1-N}{24}}-(P,P)}$

中心電荷を次のような数でパラメータ化してみましょう。 ${\displaystyle b}$

${\displaystyle c=(N-1){\big (}1+N(N+1)\left(b+b^{-1}\right)^{2}{\big )}}$

正の根と2つの整数が存在し、^[9]${\displaystyle e>0}$${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} ^{*}}$

${\displaystyle (e,P)=rb+sb^{-1}}$

すると、運動量の Verma 加群はレベル でヌル ベクトルを持ちます。このヌル ベクトルは、それ自体が運動量のプライマリ状態であるか、または同等に (ワイル反射により)です。独立したヌル ベクトルの数は 、(ワイル反射まで) となる正の根の数です 。${\displaystyle P}$${\displaystyle rs}$${\displaystyle P-rbe}$${\displaystyle P-sb^{-1}e}$${\displaystyle (e,P)\in \mathbb {N} ^{*}b+\mathbb {N} ^{*}b^{-1}}$

ヌルベクトルの最大数は正の根の数である。対応する運動量は^[9]型である。${\displaystyle {\frac {1}{2}}N(N-1)}$

${\displaystyle P=(b+b^{-1})\rho +b\Omega ^{+}+b^{-1}\Omega ^{-}}$

ここで、 は整数支配的な重み、つまり の要素であり、 の既約な有限次元表現の最高の重みです。対応する W(N) 代数の完全に退化した表現を と呼びます。${\displaystyle \Omega ^{+},\Omega ^{-}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N-1}\mathbb {N} \omega _{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\Omega _{+},\Omega _{-}}}$

最高重みのの既約有限次元表現は、 の有限集合の重み を持ちます。重みのVerma モジュールとのテンソル積は です。W (N) の完全に退化した表現と運動量のVerma モジュールとの融合積は、次のようになります。 ${\displaystyle R_{\Omega }}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Lambda _{\Omega }}$${\displaystyle |\Lambda _{\Omega }|=\dim(R_{\Omega })}$${\displaystyle V_{p}}$${\displaystyle p\in \sum _{i=1}^{N-1}\mathbb {R} \omega _{i}}$${\displaystyle R_{\Omega }\otimes V_{p}=\bigoplus _{\lambda \in \Lambda _{\Omega }}V_{p+\lambda }}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\Omega _{+},\Omega _{-}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}_{P}}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\Omega _{+},\Omega _{-}}\times {\mathcal {V}}_{P}=\sum _{\lambda _{+}\in \Lambda _{\Omega _{+}}}\sum _{\lambda _{-}\in \Lambda _{\Omega _{-}}}{\mathcal {V}}_{P+b\lambda _{+}+b^{-1}\lambda _{-}}}$

電荷の一次状態に対して、状態-場対応は一次場を関連付け、その場との演算子積展開は ${\displaystyle {\vec {q}}=(q^{(h)})_{h\in H}}$${\displaystyle V_{\vec {q}}(z)}$${\displaystyle W^{(h)}(z)}$

${\displaystyle W^{(h)}(y)V_{\vec {q}}(z)=\left({\frac {q^{(h)}}{(y-z)^{h}}}+\sum _{n=1}^{h-1}{\frac {W_{-n}^{(h)}}{(y-z)^{h-n}}}\right)V_{\vec {q}}(z)+O(1)}$

任意の場において、エネルギー運動量テンソルのモードは微分として作用します。 ${\displaystyle V(z)}$${\displaystyle L_{-1}}$${\displaystyle L_{-1}V(z)={\frac {\partial }{\partial z}}V(z)}$

リーマン球面上で、無限遠に場が存在しない場合は、 となります 。 の場合、恒等式は任意の相関関数に挿入できます。したがって、 はグローバル ウォード恒等式を生じます。 ${\displaystyle W^{(h)}(y){\underset {y\to \infty }{=}}O\left(y^{-2h}\right)}$${\displaystyle n=0,1,\dots ,2h-2}$${\displaystyle \oint _{\infty }dy\ y^{n}W^{(h)}(y)=0}$${\displaystyle W^{(h)}(y)}$${\displaystyle 2h-1}$

局所的な Ward 恒等式は、 を挿入することによって得られます。ここで、は となる有理型関数です。プライマリ フィールドの相関関数では、局所的な Ward 恒等式により、によるの作用が によるの作用によって決定されます。 ${\displaystyle \oint _{\infty }dy\ \varphi (y)W^{(h)}(y)=0}$${\displaystyle \varphi (y)}$${\displaystyle \varphi (y){\underset {y\to \infty }{=}}O\left(y^{2h-2}\right)}$${\displaystyle W_{-n}^{(h)}}$${\displaystyle n\geq h}$${\displaystyle W_{-n}^{(h)}}$${\displaystyle n\leq h-1}$

たとえば、W(3)-一次体の球面上の3点関数の場合、局所的なウォード恒等式は、 のみを含む子孫3点関数の線形結合として、すべての子孫3点関数を決定します。大域的なウォード恒等式は、に対するタイプの3点関数を決定する問題をさらに簡略化します。 ${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{3}V_{{\vec {q}}_{i}}(z_{i})\right\rangle }$${\displaystyle L_{-1},W_{-1},W_{-2}}$${\displaystyle \left\langle V_{{\vec {q}}_{1}}(z_{1})V_{{\vec {q}}_{2}}(z_{2})W_{-1}^{k}V_{{\vec {q}}_{3}}(z_{3})\right\rangle }$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

W(3)代数では、一般的なW代数と同様に、子孫体の相関関数は、ヴィラソロ代数の場合のように、ウォード恒等式を使用して主体の相関関数から演繹することはできません。AW(3)-Vermaモジュールは、一般に無限の重複度を持つ他の2つのW(3)-Vermaモジュールの融合積に現れます。

フィールドに十分な数の消失ヌルベクトルがある場合、 相関関数はBPZ 方程式を一般化する微分方程式に従うことがあります。

完全に退化した 1 つの場を持つ球面上の W(N) 主場の 4 点関数は、 の場合には微分方程式に従いますが、 の場合には従いません。後者の場合、微分方程式が存在するためには、他の場の 1 つがゼロベクトルを持たなければなりません。たとえば、 の 2 つの運動量場(完全に退化した)と の 4 点関数 (ほぼ完全に退化した)は、型の一般化超幾何関数を解とする微分方程式に従います。^[10]${\displaystyle N=2}$${\displaystyle N\geq 3}$${\displaystyle P_{1}=(b+b^{-1})\rho +b\omega _{1}}$${\displaystyle P_{2}=(b+b^{-1})\rho +x\omega _{N-1}}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$${\displaystyle {}_{N}F_{N-1}}$

W極小モデルは、 W代数に基づくヴィラソロ極小モデルの一般化である。その状態空間は有限個の完全に退化した表現から構成される。それらは中心電荷の特定の有理値に対して存在する。W(N)代数の場合、次の型の値である。

${\displaystyle c_{p,q}^{(N)}=N-1-N(N^{2}-1){\frac {(p-q)^{2}}{pq}}\quad {\text{with}}\quad p,q\in \mathbb {N} ^{*}}$

中心電荷を持つAW(N)極小モデルは、ウェス-ズミノ-ウィッテンモデルの剰余類として構築できる。^[11]${\displaystyle c_{k+N,k+N+1}}$ ${\displaystyle {\frac {SU(N)_{k}\times SU(N)_{1}}{SU(N)_{k+1}}}}$

たとえば、2次元の臨界3状態ポッツ模型は中心電荷 を持ちます。この模型のスピン観測量は、 を持つDシリーズ非対角Virasoro極小模型、または を持つ対角W(3)極小模型で記述できます。 ${\displaystyle c_{5,6}^{(2)}=c_{4,5}^{(3)}={\frac {4}{5}}}$${\displaystyle (p,q)=(5,6)}$${\displaystyle (p,q)=(4,5)}$

共形戸田理論は、 W 代数に基づくリウヴィル理論の一般化です。単純なリー代数 が与えられた場合、ラグランジアン はのルート空間に属する体の関数であり、各単純なルートに対して 1 つの相互作用項を持ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle L[\phi ]={\frac {1}{2\pi }}(\partial \phi ,{\bar {\partial }}\phi )+\mu \sum _{e\in \{{\text{simple roots of }}{\mathfrak {g}}\}}\exp \left(b(e,\phi )\right)}$

これは、意味のある役割を果たさない宇宙定数と、中心電荷に関連するパラメータ に依存する。結果として得られる場の理論は共形場の理論であり、そのカイラル対称代数はドリンフェルト・ソコロフ還元によって から構築された W 代数である。量子論における共形対称性の保存には、ベクトル の成分より多くの相互作用項が存在しないことが重要である。^[4]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \phi }$

リウヴィル理論の解を導く方法はW(N)共形戸田理論にも応用できるかもしれないが、それは特定のクラスの3点構造定数の解析的決定にしかつながらず、^[10] W(N)共形戸田理論は解決されていない。 ${\displaystyle N\geq 3}$

中心電荷 では、ヴィラソロ代数は 次元の生成元の三つ組によって拡張することができ、したがって次元の集合 を持つ W 代数を形成する。すると、この W 代数に基づく有理共形場理論を構築することが可能となり、これは対数的である。^[12]最も単純なケースは に対して得られ、中心電荷 を持ち、境界が存在する場合を含めて特によく研究されている。^[13]${\displaystyle c=c_{1,q}^{(2)}}$${\displaystyle 2q-1}$${\displaystyle H=\{2,2q-1,2q-1,2q-1\}}$${\displaystyle q=2}$${\displaystyle c=-2}$

有限W代数は、半単純リー代数のべき零元に関連付けられた特定の結合代数である。^[14]

Alexander Premet によって提供された元の定義は、複素数上の簡約リー代数とべき零元eからなるペアから始まります。Jacobson -Morozov の定理により、e はsl ₂トリプル ( e , h , f )の一部です。ad( h )の固有空間分解により、 に -gradingが誘導されます。 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},e)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus {\mathfrak {g}}(i).}$

規則 によって、 から自明な1次元リー代数への準同型である特性を 定義します。ここで、 はキリング形式を表します。これは、規則によって、 −1 次数付きピース上の 非退化反対称双線型形式を誘導します。${\displaystyle \chi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \chi (x)=\kappa (e,x)}$${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \omega _{\chi }(x,y)=\chi ([x,y]).}$

任意のラグランジアン部分空間 を選択した後、随伴作用によって普遍包絡代数に作用する次のべき零部分代数を定義できます。 ${\displaystyle l}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=l+\bigoplus _{i\leq -2}{\mathfrak {g}}(i).}$

によって生成される普遍包絡代数の左イデアル は、この作用の下で不変です。簡単な計算から、ad の下での の不変量はの結合代数構造を継承することがわかります。不変部分空間はから構築される有限 W 代数と呼ばれ、通常は と表記されます。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \{x-\chi (x):x\in {\mathfrak {m}}\}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})/I}$${\displaystyle ({\mathfrak {m}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle (U({\mathfrak {g}})/I)^{{\text{ad}}({\mathfrak {m}})}}$${\displaystyle ({\mathfrak {g}},e)}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}},e)}$