2次元における質量のない自由スカラーボソン

対称性代数は、2 つのカイラル保存電流、すなわち左向き電流と右向き電流によって生成される。

${\displaystyle J=\partial \phi \quad {\text{および}}\quad {\bar {J}}={\bar {\partial }}\phi }$

従う$\displaystyle \partial {\bar {J}}={\bar {\partial }}J=0}$各電流はアーベルアフィンリー代数を生成する。${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$左向きアフィンリー代数の構造は、左向き電流の自己OPEに符号化されている。

${\displaystyle J(y)J(z)={\frac {-{\frac {1}{2}}}{(yz)^{2}}}+O(1)}$

同様に、電流をローラン級数で表すと、${\displaystyle J(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}z^{-n-1}}$その点について${\displaystyle z=0}$アーベルアフィンリー代数はリー括弧によって特徴付けられる

${\displaystyle [J_{m},J_{n}]={\frac {1}{2}}n\delta _{m+n,0}}$

代数の中心は、${\displaystyle J_{0}}$、そしてその代数は、次元が1または2の互いに可換な部分代数の直和である。

${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}={\text{Span}}(J_{0})\oplus \bigoplus _{n=1}^{\infty }{\text{Span}}(J_{n},J_{-n})}$

任意の値に対して${\displaystyle Q\in \mathbb {C} }$アーベルアフィンリー代数の普遍包絡代数には、生成元を持つヴィラソロ部分代数がある^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}&=-\sum _{m\in {\mathbb {Z} }}J_{nm}J_{m}+Q(n+1)J_{n}\ ,\qquad (n\neq 0)\ ,\\L_{0}&=-2\sum _{m=1}^{\infty }J_{-m}J_{m}-J_{0}^{2}+QJ_{0}\ ,\end{整列}}}$

このヴィラソロ部分代数の中心的な責任は次のとおりです。

${\displaystyle c=1+6Q^{2}}$

また、ヴィラソロ生成子とアフィンリー代数生成子の交換関係は次のようになる。

${\displaystyle [L_{m},J_{n}]=-nJ_{m+n}-{\frac {Q}{2}}m(m+1)\delta _{m+n,0}}$

パラメータが${\displaystyle Q}$自由ボソンの背景電荷と一致すると、その場は ${\displaystyle T(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$これは自由ボソンのエネルギー・運動量テンソルと一致する。したがって、対応するビラソロ代数は、無限小共形写像の代数として幾何学的に解釈され、理論の局所共形対称性を符号化する。

中心電荷やコンパクト化半径の特定の値に対して、自由ボソン理論は、${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$対称性だけでなく、追加の対称性も。特に、${\displaystyle c=1}$コンパクト化半径の特殊な値に対しては、非可換アフィンリー代数、超対称性などが現れる可能性がある^{[ 2 ]。}

アフィン主場${\displaystyle V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)}$左と右${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$-料金${\displaystyle \alpha ,{\bar {\alpha }}}$は電流とのOPEによって定義される。^{[ 1 ]}

${\displaystyle J(y)V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\frac {\alpha }{yz}}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)+O(1)\quad ,\quad {\bar {J}}(y)V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\frac {\bar {\alpha }}{{\bar {y}}-{\bar {z}}}}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)+O(1)}$

これらのOPEは、以下の関係と同等である。

${\displaystyle J_{n>0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\bar {J}}_{n>0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)=0\quad ,\quad J_{0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)=\alpha V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)\quad ,\quad {\bar {J}}_{0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\bar {\alpha }}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)}$

告発${\displaystyle \alpha ,{\bar {\alpha }}}$これらは左向きおよび右向きの運動量とも呼ばれます。これらが一致する場合、アフィン一次場は対角と呼ばれ、次のように表記されます。${\displaystyle V_{\alpha }(z)=V_{\alpha ,\alpha }(z)}$。

自由ボソンの正規順序指数関数はアフィン一次場である。特に、場 ${\displaystyle :e^{2\alpha \phi (z)}:}$ は運動量を持つ対角アフィンプライマリーフィールドです${\displaystyle \alpha }$この体、および一般的にアフィン基本体は、頂点演算子と呼ばれることがあります。^{[ 3 ]}

アフィン一次場は共形次元を持つビラソロ一次場でもある。

${\displaystyle \Delta (\alpha )=\alpha (Q-\alpha )}$

2つの分野${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$そして${\displaystyle V_{Q-\alpha }(z)}$運動量は異なるものの、左右の共形次元は同じである。

アフィン対称性により、自由ボソンCFTでは運動量が保存される。融合規則のレベルでは、これは任意の2つのアフィン一次場の融合において、1つのアフィン一次場のみが現れることができることを意味する。

$${\displaystyle V_{\alpha _{1},{\bar {\alpha }}_{1}}\times V_{\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{2}}=V_{\alpha _{1}+\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{1}+{\bar {\alpha }}_{2}}}$$

したがって、アフィン主体の演算子積展開は次の形式をとる。

${\displaystyle V_{\alpha _{1},{\bar {\alpha }}_{1}}(z_{1})V_{\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{2}}(z_{2})=C(\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i})(z_{1}-z_{2})^{-2\alpha _{1}\alpha _{2}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{-2{\bar {\alpha }}_{1}{\bar {\alpha }}_{2}}\left(V_{\alpha _{1}+\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{1}+{\bar {\alpha }}_{2}}(z_{2})+O(z_{1}-z_{2})\right)}$

どこ${\displaystyle C(\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i})}$は OPE 係数であり、項は${\displaystyle O(z_{1}-z_{2})}$これはアフィン子孫場の寄与である。OPEは背景電荷に明確な依存性を示さない。

アフィン・ウォード恒等式によれば、${\displaystyle N}$-球面上の点関数、^{[ 1 ]}

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i}}(z_{i})\right\rangle \neq 0\implies \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\bar {\alpha }}_{i}=Q}$

さらに、アフィン対称性は球の依存性を完全に決定する${\displaystyle N}$-位置上の点関数、

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i}}(z_{i})\right\rangle \propto \prod _{i<j}(z_{i}-z_{j})^{-2\alpha _{i}\alpha _{j}}({\bar {z}}_{i}-{\bar {z}}_{j})^{-2{\bar {\alpha }}_{i}{\bar {\alpha }}_{j}}}$

相関関数の単一値性は運動量に制約をもたらす。

${\displaystyle \Delta (\alpha _{i})-\Delta ({\bar {\alpha }}_{i})\in {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} }$

自由ボソンCFTは、運動量が連続値をとることができる場合、非コンパクトであると呼ばれる。

非コンパクトな自由ボソンCFT${\displaystyle Q\neq 0}$これらは非臨界弦理論を記述するために用いられる。この文脈では、非コンパクト自由ボソンCFTは線形ダイラトン理論と呼ばれる。

自由なボソンCFT${\displaystyle Q=0}$つまり${\displaystyle c=1}$これは、1次元のターゲット空間を持つシグマモデルです。

• 対象空間がユークリッド実数直線である場合、運動量は虚数となる。${\displaystyle \alpha ={\bar {\alpha }}\in i\mathbb {R} }$共形次元は正である${\displaystyle \Delta (\alpha )\geq 0}$。
• ターゲット空間がミンコフスキー実数直線である場合、運動量は実数である。${\displaystyle \alpha ={\bar {\alpha }}\in \mathbb {R} }$共形次元は負の値である${\displaystyle \Delta (\alpha )\leq 0}$。
• ターゲット空間が円である場合、運動量は離散的な値を取り、コンパクト化された自由ボソンが得られます。

半径がコンパクト化された自由ボソン${\displaystyle R}$は自由ボソンCFTであり、左運動量と右運動量は次の値をとる。

${\displaystyle (\alpha ,{\bar {\alpha }})=\left({\frac {i}{2}}\left[{\frac {n}{R}}+Rw\right],{\frac {i}{2}}\left[{\frac {n}{R}}-Rw\right]\right)\quad {\text{with}}\quad (n,w)\in \mathbb {Z} ^{2}}$

整数${\displaystyle n,w}$これらは運動量と巻き数と呼ばれます。コンパクト化半径の許容値は${\displaystyle R\in \mathbb {C} ^{*}}$もし${\displaystyle Q=0}$そして${\displaystyle R\in {\frac {1}{iQ}}\mathbb {Z} }$そうでなければ。^{[ 1 ]}

もし${\displaystyle Q=0}$半径を持つ自由ボソン${\displaystyle R}$そして${\displaystyle {\frac {1}{R}}}$同じ CFT を記述します。シグマモデルの観点から、この等価性はT 双対性と呼ばれます。

もし${\displaystyle Q=0}$コンパクト化された自由ボソンCFTは、任意のリーマン面上に存在する。トーラス上のその分配関数は${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} }{\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }}}$[ ^{3 ]​}

${\displaystyle Z_{R}(\tau )=Z_{\frac {1}{R}}(\tau )={\frac {1}{|\eta (\tau )|^{2}}}\sum _{n,w\in \mathbb {Z} }q^{{\frac {1}{4}}\left[{\frac {n}{R}}+Rw\right]^{2}}{\bar {q}}^{{\frac {1}{4}}\left[{\frac {n}{R}}-Rw\right]^{2}}}$

どこ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$、 そして${\displaystyle \eta (\tau )}$はデデキントのイータ関数です。この分配関数は、理論の共形次元のスペクトル上のビラソロ代数の指標の合計です。

すべての自由ボソンCFTと同様に、アフィン一次場の相関関数は、アフィン対称性によって決定される場の位置に依存します。残りの定数因子は、場の運動量と巻き数に依存する符号です。^{[ 4 ]}

のため${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$自己同型${\displaystyle J\to -J}$アーベルアフィンリー代数には、アフィン対称性を保持する2種類の境界条件があります。

${\displaystyle J={\bar {J}}\quad {\text{or}}\quad J=-{\bar {J}}}$

境界線が線である場合${\displaystyle z={\bar {z}}}$これらの条件は、それぞれ自由ボソンに対するノイマン境界条件とディリクレ境界条件に対応する。${\displaystyle \phi }$。

コンパクト化された自由ボソンの場合、各タイプの境界条件は、以下のパラメータで表された境界状態のファミリーにつながる。${\displaystyle \theta \in {\frac {\mathbb {R} }{2\pi \mathbb {Z} }}}$上半平面上の対応する一点関数${\displaystyle \{\Im z>0\}}$^[ 5 ^]​

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle V_{(n,w)}(z)\right\rangle _{{\text{Dirichlet}},\theta }&={\frac {e^{in\theta }\delta _{w,0}}{|z-{\bar {z}}|^{\frac {n^{2}}{2R^{2}}}}}\\\left\langle V_{(n,w)}(z)\right\rangle _{{\text{Neumann}},\theta }&={\frac {e^{iw\theta }\delta _{n,0}}{|z-{\bar {z}}|^{\frac {R^{2}w^{2}}{2}}}}\end{aligned}}}$

非コンパクト自由ボソンの場合、ノイマン境界状態は1つしか存在しないが、ディリクレ境界状態は実数パラメータによってパラメータ化される。対応する1点関数は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle V_{\alpha }(z)\right\rangle _{{\text{Dirichlet}},\theta }&={\frac {e^{\alpha \theta }}{|z-{\bar {z}}|^{2\Delta (\alpha )}}}\\\left\langle V_{\alpha }(z)\right\rangle _{\text{Neumann}}&=\delta (i\alpha )\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \alpha \in i\mathbb {R} }$そして${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ユークリッドボソンの場合。

ノイマン境界とディリクレ境界は、自由ボソンのアフィン対称性を保持する唯一の境界である。しかし、共形対称性のみを保持する境界も存在する。

半径が無理数の場合、追加の境界状態は数値によってパラメータ化されます。${\displaystyle x\in [-1,1]}$アフィン一次場の1点関数は${\displaystyle (n,w)\neq (0,0)}$消滅する。しかし、アフィン一次体のアフィン子孫であるヴィラソロ一次体は、${\displaystyle (n,w)=(0,0)}$非自明な一点関数を持つ。^{[ 5 ]}

半径が有理数である場合${\displaystyle R={\frac {p}{q}}}$追加の境界状態は多様体によってパラメータ化される${\displaystyle {\frac {SU(2)}{\mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{q}}}}$[ ^{6 ]​}

任意の位置における等角境界条件${\displaystyle c}$また、「境界リウヴィル理論」という誤った名称の下でも研究された。^{[ 7 ]}

から${\displaystyle N}$質量のない自由スカラーボソンでは、対称性代数を用いて積CFTを構築することが可能です。${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}^{N}}$ボソンの一部または全部はコンパクト化できる。

特に、コンパクト化${\displaystyle N}$背景電荷のないボソン${\displaystyle N}$次元トーラス（Neveu–Schwarz B場を持つ）は、 Narainコンパクト化と呼ばれるCFTの族を生み出す。これらのCFTは任意のリーマン面上に存在し、摂動弦理論において重要な役割を果たす。^{[ 8 ] [ 9 ]}

自己同型が存在するため${\displaystyle J\to -J}$アフィンリー代数の${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$、さらに一般的な自己同型写像​​の${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}^{N}}$自由ボソンCFTのオービフォールドが存在する。 ^{[ 10 ]}例えば、${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$コンパクト化された自由ボソンのオービフォールド${\displaystyle Q=0}$これは重要な2次元アシュキン・テラーモデルである。^{[ 4 ]}

クーロンガス形式は、自由ボソンCFTから相互作用CFT、またはその相関関数の一部を構築するための手法である。そのアイデアは、次の形式の遮蔽演算子を用いて自由CFTを摂動することである。${\displaystyle \textstyle {\int }d^{2}z\,O(z)}$、 どこ${\displaystyle O(z)}$は共形次元のアフィン一次場である${\displaystyle (\Delta ,{\bar {\Delta }})=(1,1)}$摂動論的な定義にもかかわらず、この手法は運動量保存則のおかげで正確な結果をもたらす。^{[ 3 ]}

背景電荷を持つ単一の自由ボソンの場合${\displaystyle Q}$2つの対角スクリーニング演算子が存在する${\displaystyle \textstyle {\int }V_{b},\textstyle {\int }V_{b^{-1}}}$、 どこ${\displaystyle Q=b+b^{-1}}$最小モデルにおける相関関数は 、これらの遮蔽演算子を使用して計算でき、ドツェンコ・ファテエフ積分が得られます。^{[ 11 ]}リウヴィル理論における相関関数の留数も計算でき、これが3点構造定数のDOZZ公式の最初の導出につながりました。 ^{[ 12 ] [ 13 ]}

の場合${\displaystyle N}$自由ボソンの場合、遮蔽電荷の導入は、共形戸田理論を含む非自明なCFTを定義するために使用できます。これらの非自明なCFTの対称性は、アーベルアフィンリー代数の部分代数によって記述されます。遮蔽に応じて、これらの部分代数はW代数である場合とそうでない場合があります。^{[ 14 ]}

クーロンガス形式は、q状態ポッツモデルや${\displaystyle O(n)}$モデル。^{[ 15 ]}

任意の次元において、一般化自由理論と呼ばれる共形場理論が存在する。しかしながら、これらは2次元の自由ボソン共形場理論の一般化ではない。前者では（整数を法として）保存されるのは共形次元であり、後者では運動量が保存される。

2次元の場合、一般化には以下が含まれる。

• 質量のない自由フェルミオン。
• ゴーストCFT。^{[ 3 ]}
• 超対称自由CFT。