円錐

半径が円錐の場合${\displaystyle r}$身長${\displaystyle h}$底面は面積が円形です$\displaystyle \pi r^{2}}$したがって、体積の公式は次のようになります。^{[ 6 ]}

$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$$

直円錐の母線の高さは、底面の円周上の任意の点から円錐の表面に沿った線分を通って頂点までの距離です。それは次のように表されます。${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$、 どこ${\displaystyle r}$は底面の半径であり、${\displaystyle h}$は高さです。これはピタゴラスの定理で証明できます。

直円錐の側面積は${\displaystyle LSA=\pi r\ell }$どこ${\displaystyle r}$は円錐の底にある円の半径であり、${\displaystyle \ell }$は円錐の母線の高さです。^{[ 7 ]} {円錐の底面の円の表面積は、どの円についても同じです。$\displaystyle \pi r^{2}}$したがって、直円錐の表面積は、それぞれ次のように表すことができます。

• 半径と高さ

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

（底面の面積と側面の面積の合計。${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$斜高）

${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$

どこ${\displaystyle r}$半径と${\displaystyle h}$高さです。

• 半径と斜高

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r\ell }$

${\displaystyle \pi r(r+\ell )}$

どこ${\displaystyle r}$半径と${\displaystyle \ell }$斜面の高さです。

• 円周と斜高

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {c\ell }{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+\ell \right)}$

どこ${\displaystyle c}$円周と${\displaystyle \ell }$斜面の高さです。

• 頂角と高さ

$\displaystyle \pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)}$

${\displaystyle -{\frac {\pi h^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta }{2}}-1}}}$

どこ${\displaystyle \theta }$頂角は${\displaystyle h}$高さです。

円錐のナッペの1つの表面を展開することで、円形扇形が得られます。

• 半径R

${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

• 弧長L

${\displaystyle L=c=2\pi r}$

• 中心角φ（ラジアン）

${\displaystyle \varphi ={\frac {L}{R}}={\frac {2\pi r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

円錐の表面は次のようにパラメータ化できる。

${\displaystyle f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),}$

どこ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$は円錐の「周りの」角度であり、${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$これは円錐に沿った「高さ」です。

高さが 1 の直円錐${\displaystyle h}$および開口部 ${\displaystyle 2\theta }$その軸は${\displaystyle z}$座標軸で頂点が原点であるものは、パラメトリックに次のように記述されます。

${\displaystyle F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)}$

どこ${\displaystyle s,t,u}$範囲${\displaystyle [0,\theta )}$、${\displaystyle [0,2\pi )}$、 そして${\displaystyle [0,h]}$、 それぞれ。

陰関数形式では、同じ立体は不等式によって定義される。

${\displaystyle \{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},}$

どこ

${\displaystyle F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,}$

より一般的には、頂点が原点にあり、軸がベクトルに平行な直円錐${\displaystyle d}$、および絞り${\displaystyle 2\theta }$は、陰関数ベクトル方程式によって与えられる。${\displaystyle F(u)=0}$どこ

${\displaystyle F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}}$

${\displaystyle F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta }$

どこ${\displaystyle u=(x,y,z)}$、 そして${\displaystyle u\cdot d}$は内積を表します。