p-変動

数学的解析において、p変化は、実数 でインデックス付けされた、順序集合から距離空間への関数の半ノルムの集合です。p変化は、関数の規則性または滑らかさの尺度です。具体的には、が距離空間でI が全順序集合である場合、そのp変化は ${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle f:I\to (M,d)}$${\displaystyle (M,d)}$

${\displaystyle \|f\|_{p{\text{-var}}}=\left(\sup _{D}\sum _{t_{k}\in D}d(f(t_{k}),f(t_{k-1}))^{p}\right)^{1/p}}$

ここで、D は区間 Iのすべての有限分割の範囲をとります。

関数の p 変化は p とともに減少します。fが有限のp変化を持ち、g がα -ヘルダー連続関数である場合、 は有限の p 変化を持ちます。 ${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle {\frac {p}{\alpha }}}$

pが 1 の場合を全変化と呼び、有限の 1 変化を持つ関数を有界変化関数と呼びます。

p変化は、不連続関数にも拡張される、パラメータに依存しない Hölder ノルムのバージョンとして 解釈できます。

fがα-ヘルダー連続（つまり α-ヘルダーノルムが有限）であれば、その-変化は有限です。具体的には、区間 [ a , b ] では、. ${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}}$${\displaystyle \|f\|_{{\frac {1}{\alpha }}{\text{-var}}}\leq \|f\|_{\alpha }(ba)^{\alpha }}$

pがqより小さい場合、コンパクト セット上の有限p変分の関数の空間は、ノルム 1 で有限q変分の関数の空間に連続的に埋め込まれます。つまり、 です 。ただし、ホルダー空間での類似の状況とは異なり、埋め込みはコンパクトではありません。たとえば、 によって与えられる [0,1] 上の実関数を考えます。これらは 1 変分で一様有界であり、不連続関数fに点ごとに収束しますが、これは任意のpに対してp変分の収束ではないだけでなく、一様収束でもありません。 ${\displaystyle \|f\|_{q{\text{-var}}}\leq \|f\|_{p{\text{-var}}}}$${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$

fとg が[ a ,  b ]から共通の不連続点を持たない関数であり、 fが有限のp変化を持ち、g が有限のq変化を持つ場合、リーマン・スティルチェス積分${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>1}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=\lim _{|D|\to 0}\sum _{t_{k}\in D}f(t_{k})[g(t_{k+1})-g({t_{k}})]}$

は明確に定義されている。この積分はYoung (1936)に由来するためYoung積分として知られている。 ^[1]この定積分の値はYoung-Loève推定値によって次のように制限される。

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)-f(\xi )[g(b)-g(a)]\right|\leq C\,\|f\|_{p{\text{-var}}}\|\,g\|_{q{\text{-var}}}}$

ここで、C はpとqのみに依存する定数であり、 ξ はaとb の間の任意の数です。^[2] fとgが連続する 場合、不定積分は有限のq変化を持つ連続関数です。a ≤ s ≤ t ≤ bの場合、[ s , t ] でのq変化はによって制限されます。 ここで、C はpとqのみに依存する定数です。^[3]${\displaystyle F(w)=\int _{a}^{w}f(x)\,dg(x)}$${\displaystyle \|F\|_{q{\text{-var}};[s,t]}}$${\displaystyle C\|g\|_{q{\text{-var}};[s,t]}(\|f\|_{p{\text{-var}};[s,t]}+\|f\|_{\infty ;[s,t]})\leq 2C\|g\|_{q{\text{-var}};[s,t]}(\|f\|_{p{\text{-var}};[a,b]}+f(a))}$

からe  ×  d実行行列 への関数は、上の -値 1 形式と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{e}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

fが 上のリプシッツ連続-値 1 形式であり、X が区間 [ a ,  b ]から への連続関数で、 pが2 未満で有限p -変化である場合、 f ( X ( t ) ) の各要素は有限p -変化のパスになり、積分は有限個のヤング積分の和であるため、 X上のfの積分、を計算できます。これは、パスXによって駆動される方程式の解を提供します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{e}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(X(t))\,dX(t)}$${\displaystyle dY=f(X)\,dX}$

さらに重要なのは、f が上のリプシッツ連続-値 1 形式であり、Xが区間 [ a ,  b ]から への連続関数で、pが 2 未満の有限p -変化である場合、ヤング積分はパスXによって駆動される方程式の解を確立するのに十分であることです。^[4]${\displaystyle \mathbb {R} ^{e}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{e}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle dY=f(Y)\,dX}$

ラフパスの理論は、ヤング積分方程式とヤング微分方程式を一般化し、 p変分の概念を多用します。

p変化は、確率解析で使用される2 次変化とは対照的である。2 次変化は、1 つの確率過程を別の確率過程に移行するものである。特に、p の値が 2 の場合、2 次変化の定義はp変化の定義に少し似ている。2 次変化は、分割が細かくなるにつれて極限として定義されるが、p変化はすべての分割に対する上限である。したがって、ある過程の 2 次変化は、その 2 変化よりも小さくなる可能性があります。W t が [0, T ] 上の標準ブラウン運動である場合、_確率1 で、そのp変化は に対して無限大であり、それ以外では有限である。Wの2 次変化はである。 ${\displaystyle p\leq 2}$${\displaystyle [W]_{T}=T}$

観測値の離散時系列X ₀ ,...,X _Nの場合、そのp変化をO ( N ² )の複雑さで計算するのは簡単です。以下は動的プログラミングを使用した C++ コードの例です。

double p_var ( const std :: vector < double >& X , double p ) { if ( X . size () == 0 ) return 0.0 ; std :: vector < double > cum_p_var ( X . size (), 0.0 ); // 累積 p 変動for ( size_t n = 1 ; n < X . size (); n ++ ) { for ( size_t k = 0 ; k < n ; k ++ ) { cum_p_var [ n ] = std :: max ( cum_p_var [ n ], cum_p_var [ k ] + std :: pow ( std :: abs ( X [ n ] - X [ k ]), p )); } } return std :: pow ( cum_p_var . back (), 1. / p ); }      
	   
		 
	     
	         
		         
			        
		
	
	  

値プロセス^{[5] [6]} や任意の距離空間のプロセス^[6]に対しては、はるかに効率的だがより複雑なアルゴリズムも存在する。${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Young, LC (1936)、「スティルチェス積分に関連するヘルダー型の不等式」、Acta Mathematica、67 (1): 251–282、doi : 10.1007/bf02401743。

• 有界 p 変分による連続パス Fabrice Baudoin
• ヤング積分、切断変分、ラフパスについて Rafał M. Łochowski