ヴィタリ被覆補題

数学において、ヴィタリ被覆定理は、ユークリッド空間の測度論でよく使われる組合せ論的かつ幾何学的な結果である。この補題は、ヴィタリ被覆定理の証明における、独立した興味の対象である中間ステップである。被覆定理は、イタリアの数学者ジュゼッペ・ヴィタリによるものである。^{[1]この定理は、}ルベーグ無視集合を除いて、 R ^dの与えられた部分集合E を、 Eのヴィタリ被覆から抽出された互いに素な族で被覆することが可能であることを述べている。

この補題には、有限バージョンと無限バージョンの 2 つの基本的なバージョンがあります。どちらの補題も距離空間の一般的な設定で証明できますが、通常、これらの結果はユークリッド空間 の特殊なケースに適用されます。どちらの定理でも、次の表記を使用します。 が球で の場合、球 について と書きます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\textstyle B=B(x,r)}$${\displaystyle c\geq 0}$${\displaystyle cB}$${\textstyle B(x,cr)}$

定理 (有限被覆補題)。 を 任意の距離空間に含まれる球の有限集合とします。すると、これらの球の部分集合が存在し、それらは互いに素で次を満たします。証明:一般性を失うことなく、球の集合は空でない、つまりn  > 0 であると仮定します。 を最大半径の球とします。 帰納的に、 が選択されたと仮定します。に と互いに素である球が存在する場合、を最大半径の球とします (同点の場合は任意に決定)。そうでない場合は、m  := kとして帰納的定義を終了します。 ${\displaystyle B_{1},\dots ,B_{n}}$${\displaystyle B_{j_{1}},B_{j_{2}},\dots ,B_{j_{m}}}$$${\displaystyle B_{1}\cup B_{2}\cup \dots \cup B_{n}\subseteq 3B_{j_{1}}\cup 3B_{j_{2}}\cup \dots \cup 3B_{j_{m}}.}$$${\displaystyle B_{j_{1}}}$${\displaystyle B_{j_{1}},\dots ,B_{j_{k}}}$${\displaystyle B_{1},\dots ,B_{n}}$${\displaystyle B_{j_{1}}\cup B_{j_{2}}\cup \dots \cup B_{j_{k}}}$${\displaystyle B_{j_{k+1}}}$

ここで と設定します。残っているのは、任意の に対して であることを示すことです。 であれば、これは明らかです。 でなければ、と交差するような が必ず存在します。可能な限り最小のものを選択し、 の半径が の半径以上であることに注目してください。三角不等式から、必要に応じて であることがわかります。これで有限バージョンの証明が完了します。 ${\textstyle X:=\bigcup _{k=1}^{m}3\,B_{j_{k}}}$${\displaystyle B_{i}\subset X}$${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$${\displaystyle i\in \{j_{1},\dots ,j_{m}\}}$${\displaystyle k\in \{1,\dots ,m\}}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle B_{j_{k}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle B_{j_{k}}}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle B_{i}\subset 3\,B_{j_{k}}\subset X}$

定理（無限被覆補題）。 が可分距離空間内の任意の球の集合で、が球Bの半径を表すものとします。 このとき、の球が互いに素であり、 を満たすような可算な部分集合が存在し、 さらに、 のそれぞれがと交差します。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$$${\displaystyle R:=\sup \,\{\mathrm {rad} (B):B\in \mathbf {F} \}}\infty }$$${\displaystyle \mathrm {rad} (B)}$${\displaystyle \mathbf {G} \subset \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$$${\displaystyle \bigcup _{B\in \mathbf {F} }B\subseteq \bigcup _{C\in \mathbf {G} }5\,C.}$$${\displaystyle B\in \mathbf {F} }$${\displaystyle C\in \mathbf {G} }$${\displaystyle B\subset 5C}$

証明: F を次のように定義される部分集合F _n , n  ≥ 0 に分割することを考えます。

${\displaystyle \mathbf {F} _{n}=\{B\in \mathbf {F} :2^{-n-1}R<{\text{rad}}(B)\leq 2^{- n}R\}.}$

つまり、半径が (2 ^{− n −1} R , 2 ^{− n} R ] である球Bから構成される。G _n  ⊂ F _nとなるシーケンスG _{n は}、次のように帰納的に定義される。まず、H ₀  = F _0とし、 G _{0 を}H ₀の最大の分離部分集合とする（そのような部分集合はゾルンの補題_により存在する）。G 0 ,..., G _nが選択されたと仮定して、 ${\textstyle \mathbf {F} _{n}}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{n+1}=\{B\in \mathbf {F} _{n+1}:\ B\cap C=\emptyset ,\ \ \forall C\in \mathbf {G} _{0}\cup \mathbf {G} _{1}\cup \dots \cup \mathbf {G} _{n}\},}$

G _{n +1 を}H _{n +1}の最大の分離部分集合と する。部分集合

${\displaystyle \mathbf {G} :=\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbf {G} _{n}}$

Fの は定理の要件を満たします。Gは互いに素な集まりであり、与えられた距離空間が可分であるため可算です。さらに、すべての球B  ∈ F は球C  ∈ Gと交差し、 B  ⊂ 5  Cとなります。
確かに、いくつかの が与えられている場合、B がF _nに属するようなnが存在する必要があります。B がH _nに属さないか、つまりn  > 0 であり、B がG ₀、...、G _{n −1}の和集合からの球と交差するか、B  ∈ H _nであり、 G _nの最大値により、B がG _n内の球と交差するか のいずれかです。いずれの場合でも、B はG ₀、...、G _nの和集合に属する球Cと交差します。そのような球C の半径は 2 ^{− n −1} Rよりも大きくなければなりません。Bの半径は2 ^{− n} R以下なので、三角不等式からB  ⊂ 5  Cと結論付けることができる。このことからすぐに次の式が導かれ、証明は完了する。^[2]${\displaystyle B\in \mathbf {F} }$${\displaystyle \bigcup _{B\in \mathbf {F} }B\subseteq \bigcup _{C\in \mathbf {G} }5\,C}$

備考

• 無限バージョンでは、ボールの最初の集合は可算でも非可算でもかまいません。分離可能な距離空間では、ペアごとに素なボールの集合はいずれも可算でなければなりません。非分離空間では、同じ議論からペアごとに素なサブファミリーが存在することが示されますが、そのファミリーは可算である必要はありません。
• 半径が制限されていない場合、結果は失敗する可能性があります。R ^d内の 0 を中心とするすべてのボールのファミリを検討します。任意の分離サブファミリは 1 つのボールBのみで構成され、5  Bにはこのファミリのすべてのボールが含まれません。
• 定数 5 は最適ではありません。 F _{n を}定義するために2 ^{− n の}代わりにスケールc ^{− n}、c  > 1 を使用すると、最終値は 5 ではなく 1 + 2 cになります。 3 より大きい定数であれば補題の正しい記述が得られますが、3 では正しく記述されません。
• より詳細な分析を用いると、元のコレクションFがR ^dの部分集合EのVitali 被覆である場合、上記の証明で定義された部分コレクションGはE をルベーグ無視集合まで被覆することが示される。^[3]

ヴィタリの補題の応用として、ハーディ・リトルウッド最大不等式の証明が挙げられます。この証明のように、ヴィタリの補題は、例えば、ある球の集合の和集合に含まれることが分かっている集合E  ⊂ R ^dのd次元ルベーグ測度、を考えるときによく使われます。この球の集合のそれぞれは、より簡単に計算できる測度を持っているか、または、利用したい特別な性質を持っています。したがって、この和集合の測度を計算すれば、 Eの測度の上限が得られます。しかし、これらの球が重なり合っている場合、すべての和集合の測度を計算するのは困難です。ヴィタリの補題により、となるような互いに素で部分集合を選択できます。したがって、 ${\displaystyle \lambda_{d}}$ ${\displaystyle \{B_{j}:j\in J\}}$${\displaystyle \left\{B_{j}:j\in J'\right\}}$${\textstyle \bigcup _{j\in J'}5B_{j}\supset \bigcup _{j\in J}B_{j}\supset E}$

${\displaystyle \lambda _{d}(E)\leq \lambda _{d}{\biggl (}\bigcup _{j\in J}B_{j}{\biggr )}\leq \lambda _{d}{\biggl (}\bigcup _{j\in J'}5B_{j}{\biggr )}\leq \sum _{j\in J'}\lambda _{d}(5B_{j}).}$

さて、 d次元の球の半径を5倍にすると、その体積は^5d倍に増加するので、

${\displaystyle \sum _{j\in J'}\lambda _{d}(5B_{j})=5^{d}\sum _{j\in J'}\lambda _{d}(B_{j})}$

そしてこうして

${\displaystyle \lambda _{d}(E)\leq 5^{d}\sum _{j\in J'}\lambda _{d}(B_{j}).}$

被覆定理では、与えられた集合E  ⊆  R ^{d を}、 Eの Vitali 被覆から抽出された互いに素な部分集合によって、「無視できる集合」まで被覆することが目的です 。EのVitali クラスまたはVitali 被覆とは、すべてのx  ∈  Eおよびδ > 0 に対して、 x  ∈  Uであり、Uの直径がゼロでなくδ未満である 集合Uが 存在するような集合の集合です。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

ヴィタリの古典的な設定^[1]では、無視できる集合はルベーグ無視できる集合であるが、以下の関連セクションに示すように、 ルベーグ測度以外の測度やR ^{d以外の空間も考慮されている。}

次の観察は有用である: がEの Vitali 被覆であり、E が開集合 Ω ⊆  R ^dに含まれる場合、 Ω に含まれる集合Uの部分集合もEの Vitali 被覆である。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

ルベーグ測度λ _dの次の被覆定理はルベーグ（1910）によるものである。R dの^可測部分集合の集合は、定数Cが存在し、 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle \operatorname {diam} (V)^{d}\leq C\,\lambda _{d}(V)}$

コレクション の任意の集合Vに対して 、正則な族 の例です。立方体の族は正則な族 の例であり、また、ある固定されたm ≥ 1 に対して辺の比がm ⁻¹とmの間にあるようなR ²の長方形の族も正則な族の例です。R ^d に任意のノルムが与えられた場合、そのノルムに関連付けられた計量の球の族は別の例です。逆に、 R ^2のすべての長方形の族は正則ではありません。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$
${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}(m)}$

ヴィタリ (1908) の元の結果は、この定理の特殊なケースであり、d  = 1 であり、有限測度を持つ実数直線の 測定可能な部分集合Eのヴィタリ被覆である区間の集合である。 上記の定理は、Eが有限測度を持つと仮定しなくても成り立つ。これは、有限測度の場合の被覆結果を、n  < | x | < n +1となる点xの開環 Ω _nに含まれるEの 部分に適用することで得られる。^[4]${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

これに多少関連のある被覆定理に、ベシコヴィッチ被覆定理がある。部分集合A  ⊆  R ^dの各点aに、中心aと正の半径r _aを持つユークリッド球B ( a ,  r _a )が割り当てられる。次に、ヴィタリ被覆補題と同様に、これらの球の部分集合が選択され、特定の方法でAが被覆される。ベシコヴィッチ被覆定理とヴィタリ被覆補題の主な違いは、一方では、ヴィタリの非共通性要件が、任意の点x  ∈  R ^{d を}含む選択された球の数N _{x が}次元dのみに依存する定数B _dによって制限されるという事実に緩和される点と、他方では、選択された球がすべての与えられた中心の集合A を被覆する点である。 ^[5]

ルベーグ測度の代わりにハウスドルフ測度を考える場合にも同様の目的が達成できる。その場合には次の定理が適用される。^[6]

さらに、Eが有限のs次元ハウスドルフ測度を持つ場合、任意のε > 0に対して、この部分集合{ U _j }  を選択して、

${\displaystyle H^{s}(E)\leq \sum _{j}\mathrm {diam} (U_{j})^{s}+\varepsilon .}$

この定理は、上で示したルベーグの結果を示唆している。実際、s  = dのとき、 R ^d上のハウスドルフ測度H ^{s は、} d次元ルベーグ測度の倍数と一致する。もし、互いに素な集合が正則であり、有限ルベーグ測度を持つ測定可能領域Bに含まれるならば、 ${\displaystyle \{U_{j}\}}$

${\displaystyle \sum _{j}\operatorname {diam} (U_{j})^{d}\leq C\sum _{j}\lambda _{d}(U_{j})\leq C\,\lambda _{d}(B)<+\infty }$

これにより、前の定理の最初の主張における 2 番目の可能性が排除されます。したがって、E は、ルベーグ無視集合を除いて、選択された分離した部分集合によってカバーされます。

被覆補題は、ヴィタリ被覆定理の次の基本形式の証明における中間ステップとして使用できます。

証明:一般性を失うことなく、 Fのすべての球は非退化であり、半径が 1 以下であると仮定できます。被覆補題の無限形式により、Fの可算な互いに素な部分集合が存在し、すべての球B  ∈ F は、 B  ⊂ 5  Cとなる球C  ∈ Gと交差します。r  > 0 が与えられ、Z が、 Gのどの球にも含まれず、0 を中心とする半径rの開球B ( r )に属する点z  ∈ Eの集合を表すものとします。任意のrに対して、 Zがルベーグ無視可能であることを示せば十分です。 ${\displaystyle \mathbf {G} }$

G内の球のうちB ( r )と交わる球の部分集合を とします。は有限または可算無限であることに注意してください。z  ∈ Zを固定とします。各N について、z はZの定義により閉集合には属しません。しかし、ヴィタリ被覆特性により、z を含み、 B ( r )に含まれ、Kと交わらない球B  ∈ F を見つけることができます。Gの特性により、球B は何らかの球と交差し、 に含まれます。しかし、KとB は交わらないため、 i > Nでなければなりません。したがって、あるi > Nについて、したがって ${\displaystyle \mathbf {G} _{r}=\{C_{n}\}_{n}}$${\displaystyle \mathbf {G} _{r}}$ ${\displaystyle K=\bigcup _{n\leq N}C_{n}}$${\displaystyle C_{i}\in \mathbf {G} }$${\displaystyle 5C_{i}}$${\displaystyle z\in 5C_{i}}$

${\displaystyle Z\subset \bigcup _{n>N}5C_{n}.}$

これにより、すべてのNに対して不等式が 成立する。

${\displaystyle \lambda _{d}(Z)\leq \sum _{n>N}\lambda _{d}(5C_{n})=5^{d}\sum _{n>N}\lambda _{d}(C_{n}).}$

しかし、の球はB(r+2)に含まれており、これらの球は互いに素な ので、${\displaystyle \mathbf {G} _{r}}$

${\displaystyle \sum _{n}\lambda _{d}(C_{n})<\infty .}$

したがって、上記の不等式の右側の項はNが無限大に近づくにつれて0に収束し、必要に応じてZは無視できることがわかります。^[7]

ヴィタリ被覆定理は無限次元の設定では成り立たない。この方向での最初の結果は、1979年にデイヴィッド・プライスによって与えられた： ^[8]（無限次元）可分ヒルベルト空間H上にガウス測度 γが存在するので、ヴィタリ被覆定理は（H、ボレル（H）、  γ）に対しては成り立たない。この結果は2003年にヤロスラフ・ティシェルによって強化された：ヴィタリ被覆定理は、実際には任意の（無限次元）可分ヒルベルト空間上のすべての無限次元ガウス測度に対して成り立たない。 ^[9]

• ベシコビッチ被覆定理

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