並列化（数学）

数学において、n次元多様体の並列化^[1]は、 n個の大域的に滑らかな線形独立なベクトル場の集合である。 ${\displaystyle M\,}$

n次元の多様体がある場合、の並列化は のすべての上で定義されたn個の滑らかなベクトル場の集合であり、任意のに対しては の基底となります。ここで は接ベクトル束上のファイバーを表します。 ${\displaystyle M\,}$${\displaystyle M\,}$${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$${\displaystyle M\,}$${\displaystyle p\in M\,}$${\displaystyle \{X_{1}(p),\dots ,X_{n}(p)\}}$${\displaystyle T_{p}M\,}$${\displaystyle T_{p}M\,}$${\displaystyle p\,}$ ${\displaystyle TM\,}$

多様体は、並列化が許容される場合は常に並列化可能と呼ばれます。

• すべてのリー群は平行化可能な多様体です。
• 平行化可能な多様体の積は平行化可能である。
• 多様体として考えられるすべてのアフィン空間は平行化可能です。

命題。多様体が平行化可能であるのは、の最初の射影がであり、各 に対して2 番目の因子（ に制限される）が線型写像であるような微分同相写像が存在する場合に限られます。 ${\displaystyle M\,}$${\displaystyle \phi \colon TM\longrightarrow M\times {\mathbb {R} ^{n}}\,}$${\displaystyle \phi \,}$${\displaystyle \tau _{M}\colon TM\longrightarrow M\,}$${\displaystyle p\in M\,}$${\displaystyle T_{p}M\,}$${\displaystyle \phi _{p}\colon T_{p}M\rightarrow {\mathbb {R} ^{n}}\,}$

言い換えれば、は が自明なバンドルである場合に限り並列化可能である。たとえば、 がの開部分集合、つまり の開部分多様体であるとする。このとき はに等しく、 は明らかに並列化可能である。^[2]${\displaystyle M\,}$${\displaystyle \tau _{M}\colon TM\longrightarrow M\,}$${\displaystyle M\,}$${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}\,}$${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}\,}$${\displaystyle TM\,}$${\displaystyle M\times {\mathbb {R} ^{n}}\,}$${\displaystyle M\,}$

• チャート（トポロジー）
• 微分可能多様体
• フレームバンドル
• 正規直交フレームバンドル
• 主要バンドル
• つながり（数学）
• G構造
• ウェブ（微分幾何学）

• ビショップ、RL ; ゴールドバーグ、SI (1968)、多様体上のテンソル解析（初版ドーバー1980年）、マクミラン社、ISBN 0-486-64039-6
• ミルナー、JW;スタシェフ、JD (1974)、特性クラス、プリンストン大学出版局