テイラーの法則

ピアソン^{[ 20 ]}は1921年にこの方程式を提案した（ネイマン^{[ 21 ]}も研究している）。

$\displaystyle s^{2}=am+bm^{2}}$

1938年、スミスは作物の収量を研究しながら、テイラーのものと似た関係を提唱した。^{[ 22 ]}この関係は

${\displaystyle \log V_{x}=\log V_{1}+b\log x\,}$

ここで、V _xはx単位の区画の収量の分散、 V ₁は単位面積当たりの収量の分散、xは区画のサイズです。傾き ( b ) は不均一性の指標です。この関係におけるbの値は0 から 1 の間です。収量の相関が高い場合、b は0 に近づき、相関が低い場合、b は1 に近づきます。

1941年のブリス^{[ 23 ] 、1941年のフラッカーとブリシュル[ 24 ]}、1961年のヘイマンとロウ^{[ 25 ]}も、現在テイラーの法則として知られているものを記述したが、単一の種のデータという文脈においてであった。

テイラーの 1961 年の論文では、1936 年と 1960 年の間に発表された 24 本の論文のデータを使用しました。これらの論文では、ウイルス病変、大型動物プランクトン、土壌中の蠕虫とハダニ、土壌、植物、空気中の昆虫、葉のダニ、羊のダニ、海の魚など、さまざまな生物学的環境が検討されていました。^{[ 1 ]} b値は 1 ～ 3 の間にありました。テイラーは、これらの種の空間分布の一般的な特徴としてべき乗則を提案しました。また、この法則を説明するメカニズム仮説も提案しました。

動物の空間分布を説明する最初の試みは、バートレットの確率的個体群モデルや出生と死亡の過程から生じる負の二項分布などのアプローチに基づいていた。^{[ 26 ]} テイラーの説明は、動物の移動行動と集団行動のバランスが取れているという仮定に基づいていた。^{[ 1 ]} 彼の仮説は当初は定性的であったが、発展するにつれて半定量的になり、シミュレーションによって裏付けられた。^{[ 27 ]}

べき乗法則については、多くの代替仮説が提唱されてきた。ハンスキーは、生殖の乗法効果によって調整されるランダムウォークモデルを提案した。^{[ 28 ]}ハンスキーのモデルは、べき乗法則の指数が2の値付近に制約されると予測したが、これは報告されている多くの値と矛盾しているように思われた。^{[ 3 ] [ 4 ]}

アンダーソンらは、単純な確率的出生、死亡、移民、移住モデルを定式化し、二次分散関数を得た。^{[ 29 ]}このモデルに対する反応として、テイラーは、そのようなマルコフ過程はべき乗則指数が繰り返し観測間で大きく変動すると予測するが、そのような変動は観測されていないと主張した。^{[ 30 ]}

Adrienne W. Kemp は、負の二項分布、 Neyman タイプ A、Polya–Aeppli 分布に基づく多数の離散確率モデルをレビューし、適切なパラメータ調整により分散と平均のべき乗則が得られることを示しました。 ^{[ 31 ]} しかし、Kemp はモデルのパラメータ化をメカニズムの観点から説明しませんでした。その後、テイラーの法則に関する比較的抽象的なモデルがいくつか発表されました。^{[ 6 ] [ 32 ]}

テイラーの法則と他の分散対平均関数を実際のデータで区別することの難しさや、標準的な回帰方法の不正確さに基づいて、テイラーの法則に関して統計的な懸念が提起された。^{[ 33 ] [ 34 ]}

テイラーの法則は時系列データに適用されており、ペリーはシミュレーションを用いて、カオス理論がテイラーの法則をもたらす可能性があることを示した。^{[ 35 ]}

^{テイラーの法則は植物[ 36 ]}や細菌集団^{[ 37 ]}の空間分布に適用されてきた。 先に述べたタバコ壊死ウイルスの観察と同様に、これらの観察はテイラーの動物行動モデルとは一致しなかった。

分散と平均のべき乗関数は、テイラーの法則の枠組みの下で、非生態系システムに適用されてきた。べき乗法則のさまざまな現れ方についてのより一般的な説明として、分散と平均の間に固有のべき乗関数関係を表す確率モデルのファミリーであるトゥイーディー分布^{[ 38 ]}に基づく仮説が提案されている。^{[ 11 ] [ 13 ] [ 39 ]}

べき乗法則に対するいくつかの代替仮説が提案されている。Hanski は、生殖の想定される乗法効果によって調整されるランダムウォークモデルを提案した。^{[ 28 ]} Hanski のモデルは、べき乗法則の指数が 2 の値付近に制約されると予測したが、これは報告されている多くの値と矛盾しているように見えた。^{[ 3 ] [ 4 ]} Andersonらは、単純な確率的出生、死亡、移住、および移出モデルを定式化し、二次分散関数を得た。^{[ 29 ]} Lewontin Cohen成長モデル。^{[ 40 ]}は、別の提案された説明である。べき乗法則の観察は、メカニズム的プロセスよりも数学的アーティファクトを反映している可能性があるという可能性が提起された。^{[ 41 ]}しかし、生態学的個体群に適用される Taylor 法則の指数の変動は、統計的根拠のみに基づいて説明または予測することはできない。^{[ 42 ]}北海の魚類群集におけるテイラーの法則の指数の変動は外部環境によって変化することが研究で示されており、生態学的プロセスが少なくとも部分的にテイラーの法則の形式を決定していることが示唆されている。^{[ 43 ]}

物理学の文献では、テイラーの法則はゆらぎスケーリングと呼ばれてきました。Eislerらは、ゆらぎスケーリングの一般的な説明を見つけるためのさらなる試みとして、頻繁に発生する事象がより大きな衝撃と関連付けられる衝撃不均一性と呼ばれるプロセスを提案しました。 ^{[ 44 ]}しかし、Eisler の論文の付録 B では、著者らは、衝撃不均一性の方程式が、Tweedie 分布で見つかったものと同じ数学的関係をもたらすことを指摘しました。

別の物理学者グループであるフロンチャックとフロンチャックは、平衡および非平衡統計物理学の原理から、ゆらぎのスケーリングに関するテイラーのべき乗則を導出した。^{[ 45 ]}彼らの導出は、自由エネルギーや生物の集合を引き起こす外部場などの物理量の仮定に基づいていた。しかし、動物や植物の集合に関連してこれらの仮定された物理量を直接実験的に実証することはまだ達成されていない。その後まもなく、フロンチャックとフロンチャックのモデルの分析が発表され、彼らの方程式が直接トゥイーディー分布につながることが示され、フロンチャックとフロンチャックがこれらの分布の最大エントロピー導出を提供した可能性があることが示唆された。^{[ 14 ]}

テイラーの法則は、与えられた実数を超えない素数に対して成り立つことが示されている。 ^{[ 46 ]}この結果は、最初の1100万個の素数に対して成り立つことが示されている。ハーディ・リトルウッドの双子素数予想が正しい場合、この法則は双子素数に対しても成り立つ。

テイラーの法則の指数はスケール不変です。測定単位が定数倍で変更された場合、${\displaystyle c}$指数（${\displaystyle b}$）は変更されません。

これを確認するには、y = cxとします。すると

${\displaystyle \mu _{1}=\operatorname {E} (x)}$

${\displaystyle \mu _{2}=\オペレーター名 {E} (y)=\オペレーター名 {E} (cx)=c\オペレーター名 {E} (x)=c\mu _{1}}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\operatorname {E} ((x-\mu _{1})^{2})}$

${\displaystyle \sigma _{2}^{2}=\operatorname {E} ((y-\mu _{2})^{2})=\operatorname {E} ((cx-c\mu _{1})^{2})=c^{2}\operatorname {E} ((x-\mu _{1})^{2})=c^{2}\sigma _{1}^{2}}$

テイラーの法則を元の変数（x）で表すと次のようになる。

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=a\mu _{1}^{b}}$

そして、再スケーリングされた変数（y）では、

${\displaystyle \sigma _{2}^{2}=c^{2}\sigma _{1}^{2}=c^{2}a\mu _{1}^{b}=c^{2-b}a(c\mu _{1})^{b}=c^{2-b}a\mu _{2}^{b}}$

したがって、${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$依然として比例している${\displaystyle \mu _{2}^{b}}$（比例定数は変化しているにもかかわらず）。

テイラーの法則は、平均と分散の間の唯一のスケール不変な関係であることが示されている。^{[ 51 ]}

レイナーは、傾きbの推定における改良を提案した。 ^{[ 52 ]}

${\displaystyle b={\frac {f-\varphi +{\sqrt {(f-\varphi )^{2}-4r^{2}f\varphi }}}{2r{\sqrt {f}}}}}$

どこ${\displaystyle r}$ピアソンモーメント相関係数は${\displaystyle \log(s^{2})}$そして ${\displaystyle \log m}$、${\displaystyle f}$は、サンプル分散の比率です。${\displaystyle \log(s^{2})}$そして${\displaystyle \log m}$そして${\displaystyle \varphi }$は、${\displaystyle \log(s^{2})}$そして${\displaystyle \log m}$。

通常の最小二乗回帰では、φ = ∞ と仮定します。これは、両方の推定値がbの値を過小評価する傾向があります。   ${\displaystyle \log(s^{2})}$そして${\displaystyle \log m}$誤りがある可能性があります。

テイラーの法則の拡張は、複数のサンプルが採取された場合にフェリスらによって提案されている^{[ 53 ]。}

${\displaystyle s^{2}=cn^{d}m^{b},}$

ここで、 s ²とmはそれぞれ分散と平均、b、c、dは定数、nはサンプル数です。現在までに、この提案された拡張がテイラーの法則のオリジナル版と同等に適用可能であることは検証されていません。

この法則の小標本への拡張はハンスキーによって提案されている。^{[ 54 ]}小標本の場合、ポアソン変動（P）―標本変動に起因する変動―は有意になる可能性がある。Sを全分散、Vを生物学的（真の）分散とする。すると

${\displaystyle S=V+P}$

テイラーの法則が正しいと仮定すると、

${\displaystyle V=am^{b}}$

ポアソン分布では平均と分散が等しいので、

${\displaystyle P=m}$

これにより、

${\displaystyle S=V+P=am^{b}+m}$

これはバートレットの当初の提案と非常によく似ている。

傾きの値（b）が 1より有意に大きい場合は、生物の凝集を示している。

ポアソン分布データの場合、b = 1 です。^{[ 30 ]}母集団が対数正規分布またはガンマ分布に従う場合、b = 2 です。   

個体当たりの環境変動が一定である集団の場合、log(分散)とlog(平均個体数)の回帰直線はb  =  2となるはずです。

研究されたほとんどの集団ではb  <  2 (通常 1.5～1.6) ですが、2 の値が報告されています。^{[ 55 ]} b > 2のケースが報告されたこともあります。^{[ 3 ]} b の値が 1 未満であることはまれですが、報告されています ( b = 0.93)。^{[ 50 ]}

法則の指数 ( b ) は基礎となる分布の歪度に比例すると示唆されている。^{[ 56 ]}この提案は批判されており、追加の研究が必要であると思われる。^{[ 57 ] [ 58 ]}

この回帰における傾き（b ）の起源は依然として不明である。これを説明するために2つの仮説が提唱されている。1つは、 bは種の行動に由来し、その種にとって定数であるという仮説である。もう1つは、bはサンプリングされた個体群に依存するという仮説である。この法則に関する研究は数多く（1000件以上）行われているにもかかわらず、この問題は未解決のままである。

aとbはどちらも、年齢別の分散、死亡率、サンプル単位のサイズによって変化することが知られている。 ^{[ 59 ]}

この法則は、値が小さい場合には適合性が低い可能性があります。このため、テイラーの法則の拡張がハンスキーによって提案されており、これは低密度でのテイラーの法則の適合性を改善します。^{[ 54 ]}

クラスター（例えば、四分円）内の二値データに適用可能なテイラーの法則の形式が提案されている。^{[ 60 ]}二項分布では、理論上の分散は

${\displaystyle {\text{var}}_{\text{bin}}=np(1-p),}$

ここで、(var _bin ) は二項分布の分散、nはクラスターごとのサンプルサイズ、pは特性 (疾患など) を持つ個体の割合、つまり個体がその特性を持つ確率の推定値です。

二値データの難点の1つは、一般的に平均と分散の間に特定の関係があることです。感染者の平均割合が0.5を超えると、分散は減少します。

観測された分散 (var _{obs ) は (var bin} )のべき関数として変化することが現在では知られています。^{[ 60 ]}

ヒューズとマッデンは、分布がポアソン分布であれば、平均と分散が等しいと指摘した。^{[ 60 ]}これは多くの観測された比率サンプルでは明らかに当てはまらないため、彼らは代わりに二項分布を仮定した。彼らはテイラーの法則の平均を二項分散に置き換え、この理論的な分散を観測された分散と比較した。二項データの場合、彼らは var _obs = var _binであり、過分散の場合は var _obs  >  var _binであることを示した。

記号で表すと、ヒューズとマッデンによるタイアラーの法則の修正は次のようになる。

${\displaystyle {\text{var}}_{\text{obs}}=a({\text{var}}_{\text{bin}})^{b}.}$

この関係を対数形式で表すと次のようになります。

${\displaystyle \log({\text{var}}_{\text{obs}})=\log a+b\log({\text{var}}_{\text{bin}}).}$

後者のバージョンは、二乗べき乗則として知られています。

ヒューズとマッデンによる二値べき乗則の導出における重要なステップは、パティルとスティテラー^{[ 61 ]}が、単一サンプル内の無制限カウントの過分散を評価するために使用される分散対平均比は、実際には2つの分散、すなわち観測された分散とランダム分布の理論的分散の比であるということを観察したことである。無制限カウントの場合、ランダム分布はポアソン分布である。したがって、サンプルの集合に対するテイラーべき乗則は、観測された分散とポアソン分散の間の関係として考えることができる。

より広義には、マッデンとヒューズ^{[ 60 ]}は、べき乗則を、ランダム分布の観測分散と理論分散という2つの分散の関係として捉えた。バイナリデータの場合、ランダム分布は二項分布（ポアソン分布ではない）である。したがって、テイラーべき乗則とバイナリべき乗則は、異質性に関する一般的なべき乗則関係の2つの特殊なケースである。

aとbの両方が1に等しい場合、小規模なランダムな空間パターンが示唆され、二項分布によって最もよく説明されます。b = 1かつa > 1の場合、過分散（小規模な集積）があります。b > 1の場合、集積の程度はpによって変化します。Turechekら^{[ 62 ]}は、二値べき乗則が植物病理学の多数のデータセットを説明することを示しました。一般に、bは1より大きく2より小さいです。   

この法則の適合性はシミュレーションによって検証されている。^{[ 63 ]}これらの結果は、データセットに対して単一の回帰直線ではなく、セグメント回帰が真にランダムな分布のより良いモデルである可能性を示唆している。ただし、このセグメント化は、非常に短い分散距離と大きな方形区サイズの場合にのみ発生する。^{[ 62 ]}直線の折れ目は、pが0に非常に近い場合にのみ発生する。

この法則の拡張が提案されている。^{[ 64 ]}この法則の元の形式は対称的だが、非対称形式に拡張することができる。^{[ 64 ]}シミュレーションを使用すると、隣人の病気の状態に正の相関がある場合、対称形式がデータに適合する。隣人が感染する可能性の間に負の相関がある場合、非対称バージョンの方がデータに適合する。

^{シミュレーション研究[ 65 ]}に基づき、データサンプルに対するテイラーの法則の妥当性を検証するアプリケーションでは、以下のことが推奨されている。

（１）研究対象となる生物の総数が１５以上であること （２）研究対象となる生物群の最小数が５以上であること （３）サンプル内の生物の密度が少なくとも２桁変化すること

一般的に（少なくとも最初は）、個体群は環境中にランダムに分布していると仮定される。個体群がランダムに分布している場合、個体群の平均（m）と分散（s²）は等しく、少なくとも1個体を含むサンプルの割合（^p ）は

${\displaystyle p=1-e^{-m}}$

集団分布を示す種と、全体密度が均等でランダムに分布する種を比較した場合、集団分布を示す種のp値は小さくなります。逆に、全体密度が均等で均一に分布する種とランダムに分布する種を比較した場合、ランダムに分布する種のp値は大きくなります。これは、 pをmに対してプロットすることでグラフ的に検証できます。

ウィルソンとルームはテイラーの法則を取り入れた二項モデルを開発した。^{[ 66 ]}基本的な関係は次のとおりである。

${\displaystyle p=1-e^{-m\log(s^{2}/m)(s^{2}/m-1)^{-1}}}$

ここで、対数は底eに取られます。

テイラーの法則を取り入れると、この関係は次のようになる。

${\displaystyle p=1-e^{-m\log(am^{b-1})(am^{b-1}-1)^{-1}}}$

負の二項分布の一般的な分散パラメータ（k ）は

${\displaystyle k={\frac {m^{2}}{s^{2}-m}}}$

どこ${\displaystyle m}$は標本平均であり、${\displaystyle s^{2}}$は分散です。^{[ 67 ]} 1 / kが > 0 の場合、母集団は集約されているとみなされます。1 / k = 0 ( s ² = m ) の場合、母集団はランダム (ポアソン) 分布しているとみなされ、1 / kが < 0 の場合、母集団は一様分布しているとみなされます。k = 0の場合、分布についてコメントすることはできません。

ウィルソンとルームは、テイラーの法則が母集団に適用されると仮定して、kの代替推定値を与えた。^{[ 66 ]}

${\displaystyle k={\frac {m}{am^{b-1}-1}}}$

ここで、 aとbはテイラーの法則における定数である。

ジョーンズ^{[ 68 ]}は、上記のkの推定値と、少なくとも1人の個体を含むサンプルを見つける確率についてウィルソンとルームが開発した関係^{[ 66 ]を使用して、}

${\displaystyle p=1-e^{-m\log(am^{b-1})(am^{b-1}-1)^{-1}}}$

標本単位あたりx個体を含む標本の確率の推定量を導出した。ジョーンズの公式は

${\displaystyle P(x)=P(x-1){\frac {k+x-1}{x}}{\frac {mk^{-1}}{mk^{-1}-1}}}$

ここで、P ( x )はサンプリング単位あたりx個体が見つかる確率、 kはウィルソン・ルーム方程式から推定される値、mは標本平均である。個体が0個体見つかる確率P (0)は負の二項分布で推定される。

${\displaystyle P(0)=\left(1+{\frac {m}{k}}\right)^{-k}}$

ジョーンズはこれらの確率に対する信頼区間も示している。

${\displaystyle \mathrm {CI} =t\left({\frac {P(x)(1-P(x))}{N}}\right)^{1/2}}$

ここで、CIは信頼区間、tはt分布から得られた臨界値、Nは総サンプルサイズである。

カッツは、 2つのパラメータ（w ₁、w ₂ ）を持つ分布族（カッツ族）を提案した。^{[ 69 ]}この分布族には、ベルヌーイ分布、幾何分布、パスカル分布、ポアソン分布が特殊な場合として含まれる。カッツ分布の平均と分散は、

${\displaystyle m={\frac {w_{1}}{1-w_{2}}}}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {w_{1}}{(1-w_{2})^{2}}}}$

ここで、mは標本の平均、s²^は標本の分散である。これらのパラメータはモーメント法によって推定でき、そこから次の式が得られる。

${\displaystyle {\frac {w_{1}}{1-w_{2}}}=m}$

${\displaystyle {\frac {w_{2}}{1-w_{2}}}={\frac {s^{2}-m}{m}}}$

ポアソン分布の場合、w ₂ = 0、w ₁ = λはポアソン分布のパラメータです。この分布族は、パンジャー分布族とも呼ばれます。

カッツ族は、スント・ジュエル族の分布と関連している。^{[ 70 ]}

${\displaystyle p_{n}=\left(a+{\frac {b}{n}}\right)p_{n-1}}$

サント・ジュエル族に属するのは、ポアソン分布、二項分布、負の二項分布（パスカル分布）、拡張切断負の二項分布、対数級数分布のみです。

人口がカッツ分布に従う場合、テイラーの法則の係数は次のようになる。

${\displaystyle a=-\log(1-w_{2})}$

${\displaystyle b=1}$

カッツは統計的検定も導入した^{[ 69 ]}

${\displaystyle J_{n}={\sqrt {\frac {n}{2}}}{\frac {s^{2}-m}{m}}}$

ここで、J n_は検定統計量、s ²は標本の分散、mは標本の平均、nは標本サイズです。J _nは漸近的に平均ゼロ、分散1の正規分布に従います。標本がポアソン分布に従う場合、J _n = 0 となります。J n < 0 および > 0 の値は、それぞれ分散不足と分散過大を示します。分散過大は_、多くの場合、潜在的な異質性、つまり標本が抽出された母集団内に複数のサブ母集団が存在することによって引き起こされます。

この統計はネイマン・スコット統計に関連している。

${\displaystyle NS={\sqrt {\frac {n-1}{2}}}\left({\frac {s^{2}}{m}}-1\right)}$

これは漸近的に正規分布に従うことが知られており、条件付きカイ二乗統計量（ポアソン分散検定）

${\displaystyle T={\frac {(n-1)s^{2}}{m}}}$

これは、母集団がポアソン分布に従う場合、漸近的に自由度n − 1 のカイ二乗分布に従うことが知られています。

人口がテイラーの法則に従うならば

${\displaystyle J_{n}={\sqrt {\frac {n}{2}}}(am^{b-1}-1)}$

テイラーの法則が適用される場合、局所的な絶滅までの平均時間を決定することが可能です。このモデルは、時間における単純なランダムウォークと密度依存的な個体群調節がないことを前提としています。^{[ 71 ]}

させて${\displaystyle N_{t+1}=rN_{t}}$ここで、N _{t +1}とN _tはそれぞれ時刻t  +  1 とtにおける個体数であり、 r は年間個体数増加率（減少率）に等しいパラメータである。

${\displaystyle \operatorname {var} (r)=s^{2}\log r}$

どこ${\displaystyle {\text{var}}(r)}$分散は${\displaystyle r}$。

させて${\displaystyle K}$種の豊富さ（単位面積あたりの生物数）の尺度となる。

${\displaystyle T_{E}={\frac {2\log N}{\operatorname {Var} (r)}}\left(\log K-{\frac {\log N}{2}}\right)}$

ここで、TE_は局所的な絶滅までの平均時間である。

時間tまでに絶滅する確率は

${\displaystyle P(t)=1-e^{t/T_{E}}}$

人口が対数正規分布に従う場合、人口規模の調和平均( H ) は算術平均( m )と関連している^{[ 72 ]}

${\displaystyle H=m-am^{b-1}}$

個体群が存続するためにはH > 0 でなければならないことを考慮すると、式を整理すると次のようになる。

${\displaystyle m>a^{1/(2-b)}}$

これは、その種が存続するために必要な最小個体数である。

対数正規分布の仮定は、544種のサンプルのおよそ半分に当てはまるようである。^{[ 73 ]}これは、少なくとも妥当な仮定であることを示唆している。

精度の度合い ( D ) は、 s / mと定義され、sは標準偏差、mは平均です。精度の度合いは、他の文脈では変動係数として知られています。生態学研究では、 D は10～25% の範囲にあることが推奨されています。 ^{[ 74 ]}研究者がテイラーの法則がデータに適用できるかどうかをテストしたい場合、必要なサンプルサイズを推定する際には、望ましい精度の度合いが重要になります。必要なサンプルサイズは、いくつかの単純な分布について推定されていますが、母集団分布が不明または仮定できない場合は、必要なサンプルサイズを決定するために、より複雑な式が必要になる場合があります。

母集団がポアソン分布に従う場合、必要な標本サイズ（n）は

${\displaystyle n={\frac {(t/D)^{2}}{m}}}$

ここで、tは、平均 ( m ) が計算された自由度を持つタイプ 1 エラーのt 分布の臨界レベルです。

母集団が負の二項分布に従う場合、必要な標本サイズは

${\displaystyle n={\frac {(t/D)^{2}(m+k)}{mk}}}$

ここで、kは負の二項分布のパラメータである。

より一般的なサンプルサイズ推定法も提案されている^{[ 75 ]。}

${\displaystyle n=\left({\frac {t}{D}}\right)^{2}am^{b-2}}$

ここで、aとbはテイラーの法則から導出される。

^{サウスウッド[ 76 ]}は別の案を提案している。

${\displaystyle n=a{\frac {m^{b}}{D^{2}}}\,}$

ここで、 nは必要なサンプルサイズ、aとbはテイラーの法則の係数、Dは必要な精度です。

カランディノスはnの2つの類似した推定量を提案した。^{[ 77 ]}最初の推定量は、テイラーの法則を取り入れるためにルーシンクによって修正された。^{[ 78 ]}

${\displaystyle n=\left({\frac {t}{d_{m}}}\right)^{2}am^{b-2}}$

ここで、dは、望ましい信頼区間（ CI）の半分と平均値の比である。記号で表すと

${\displaystyle d_{m}={\frac {CI}{2m}}}$

2番目の推定量は二項（存在-非存在）サンプリングで使用されます。必要なサンプルサイズ（n）は

${\displaystyle n=\left(td_{p}\right)^{2}p^{-1}q}$

ここで、d _{p は}、望ましい信頼区間の半分と個体を含むサンプル単位の割合との比であり、p は個体を含むサンプルの割合であり、q  =  1  − pである。記号では、 

${\displaystyle d_{p}={\frac {CI}{2p}}}$

二値（存在/非存在）サンプリングの場合、SchulthessらはKarandinos の式を修正した。

${\displaystyle N=\left({\frac {t}{D_{pi}}}\right)^{2}{\frac {1-p}{p}}}$

ここで、 Nは必要なサンプルサイズ、pは対象となる生物を含む単位の割合、tは選択された有意水準、Dip_はテイラーの法則から導出されたパラメータである。^{[ 79 ]}

逐次分析は、標本サイズを事前に固定しない統計分析手法である。標本は、あらかじめ定義された停止規則に従って採取される。テイラーの法則は、多くの停止規則を導出するために用いられてきた。

テイラーの法則を検証するための連続サンプリングにおける固定精度の公式は、1970年にグリーンによって導出された。^{[ 80 ]}

${\displaystyle \log T={\frac {\log(D^{2})-a}{b-2}}+(\log n){\frac {b-1}{b-2}}}$

ここで、Tは累積サンプル合計、Dは精度レベル、nはサンプルサイズであり、aとbはテイラーの法則から得られる。

害虫駆除の補助として、ウィルソンらは対策を講じるべき閾値レベルを組み込んだテストを開発した。^{[ 81 ]}必要なサンプルサイズは

${\displaystyle n=t|m-T|^{-2}am^{b}}$

ここで、aとbはテイラー係数、||は絶対値、mは標本平均、Tは閾値レベル、tはt分布の臨界レベルである。著者らはまた、二項（存在-非存在）サンプリングに対する同様の検定も提供した。

${\displaystyle n=t|m-T|^{-2}pq}$

ここで、pは害虫が存在するサンプルが見つかる確率であり、q  =  1  − pです。 

グリーンはテイラーの法則に基づいて逐次サンプリングのための別のサンプリング式を導出した^{[ 82 ]}

${\displaystyle D=(an^{1-b}T^{b-2})^{1/2}}$

ここで、 Dは精度、aとbはテイラーの法則の係数、nはサンプルサイズ、Tはサンプリングされた個体の総数である。

セラらはテイラーの法則に基づいた停止ルールを提案した。^{[ 83 ]}

${\displaystyle T_{n}\geq \left({\frac {an^{1-b}}{D^{2}}}\right)^{1/(2-b)}}$

ここで、aとbはテイラーの法則のパラメータ、Dは必要な精度レベル、Tn_は総サンプルサイズである。

SerraらはIwoaの回帰に基づいた2番目の停止ルールも提案した。

${\displaystyle T_{n}\geq {\frac {\alpha -1}{D^{2}-{\frac {\beta -1}{n}}}}}$

ここで、αとβは回帰直線のパラメータ、Dは必要な精度レベル、Tn_は総サンプルサイズである。

著者らは、個体群動態の研究ではDを0.1に、害虫防除の研究ではD を0.25に設定することを推奨した。 

1936年のバートレット^{[ 85 ]}と、後に1968年に岩尾^{[ 86 ]}がそれぞれ独立して、分散と平均の間の別の関係を提案した。

${\displaystyle s_{i}^{2}=am_{i}+bm_{i}^{2}\,}$

ここで、 sはi番目のサンプルの分散、 m _iはi番目のサンプルの平均である。

人口が負の二項分布に従う場合、a  =  1、b  = k (負の二項分布の指数) となります。 

この代替定式化は、ほとんどの研究においてテイラーの法則ほど適合性が高くないことが分かっている。

ナックマンは平均密度とゼロカウントのサンプルの割合との間の関係を提案した。^{[ 87 ]}

${\displaystyle p_{0}=\exp(-am^{b})}$

ここで、p₀_はサンプル中のゼロカウントの割合、mは平均密度、aは尺度パラメータ、bは分散パラメータです。a = b = 1の場合、分布はランダムです。この関係は通常、対数形式でテストされます。

${\displaystyle \log m=c+d\log p_{0}}$

オールソップはこの関係をテイラーの法則と併用して、サンプル中の感染ユニットの割合を表す式を導き出した^{[ 88 ]。}

${\displaystyle P_{1}=1-\exp \left(-\exp \left({\frac {{\frac {\log _{e}\left({\frac {A^{2}}{a}}\right)}{b-2}}+\log _{e}(n)\left({\frac {b-1}{b-2}}-1\right)-c}{d}}\right)\right)}$

${\displaystyle N=nP_{1}}$

どこ

${\displaystyle A^{2}={\frac {D^{2}}{z_{\alpha /2}^{2}}}}$

ここで、D ²は必要な精度、z _α/2は正規分布の上限 α/2、aとbはテイラーの法則係数、cとdはナッハマン係数、nはサンプルサイズ、Nは感染ユニットの数です。

生態学では二値サンプリングは珍しくない。1958年に河野と杉野は、個体のないサンプルの割合とサンプルの平均密度を関連付ける方程式を導出した。^{[ 89 ]}

${\displaystyle \log(m)=\log(a)+b\log(-\log(p_{0}))}$

ここで、p ₀はサンプル中の個体が存在しない割合、mはサンプルの平均密度、aとbは定数です。テイラーの法則と同様に、この方程式はテイラーの法則に従うものを含むさまざまな母集団に適合することがわかっています。負の二項分布とは異なり、このモデルは平均密度に依存しません。

この方程式の導出は簡単である。空室の割合をp ₀とし、これらが指数分布に従うと仮定する。すると

${\displaystyle p_{0}=\exp(-Am^{B})}$

対数を2回取って整理すると、上記の式が得られます。このモデルは、ナハマンが提唱したモデルと同じです。

このモデルの利点は、個体数を数える必要がなく、個体の有無だけで済む点です。特に昆虫を研究対象とする場合など、個体数を数えることが不可能なケースが多くあります。

注記

この方程式は、一連の稲株の害虫被害率Pと平均被害度mの関係を調べている際に導出された。研究されたモデルは 

${\displaystyle P=1-ae^{bm}}$

ここで、aとbは経験定数である。このモデルに基づいて定数aとbが導出され、 Pとmの値の関係を示す表が作成された。 

用途

この方程式から予測されるmの推定値はバイアスを受けるため^{[ 90 ]}、代わりに調整平均( m _a )を使用することが推奨される^{[ 91 ]。}

${\displaystyle m_{a}=m\left(1-{\frac {\operatorname {var} (\log(m_{i}))}{2}}\right)}$

ここで、var は標本単位平均m _iの分散であり、mは全体平均です。

平均推定値に対する別の調整方法は^{[ 91 ]である。}

${\displaystyle m_{a}=me^{({\text{MSE}}/2)}}$

ここで、MSEは回帰分析の平均二乗誤差である。

このモデルは、列挙的（逐次）サンプリングの停止線を推定するためにも使用できます。推定平均の分散は^{[ 92 ]です。}

${\displaystyle \operatorname {var} (m)=m^{2}(c_{1}+c_{2}-c_{3}+{\text{MSE}})}$

どこ

${\displaystyle c_{1}={\frac {\beta ^{2}(1-p_{0})}{np_{0}\log _{e}(p_{0})^{2}}}}$

${\displaystyle c_{2}={\frac {\text{MSE}}{N}}+s_{\beta }^{2}(\log _{e}(\log _{e}(p_{0}))-p^{2})}$

${\displaystyle c_{3}={\frac {\exp(a+(b-2)[\alpha -\beta \log _{e}(p_{0})])}{n}}}$

ここで、MSEは回帰の平均二乗誤差、 αとβはそれぞれ回帰の定数と傾き、^sβ2は_回帰の傾きの分散、Nは回帰における点の数、nはサンプル単位の数、pは回帰におけるp0_の平均値です。パラメータaとbはテイラーの法則から推定されます。

${\displaystyle s^{2}=a+b\log _{e}(m)}$

ヒューズとマッデンは、各クラスターに0からn個の個体が含まれるクラスター内の二値観測に適用できる同様の関係をテストすることを提案した。^{[ 60 ]}

${\displaystyle var_{\text{obs}}=ap^{b}(1-p)^{c}}$

ここで、 a、b、cは定数、var _obsは観測された分散、pは特性（病気など）を持つ個体の割合、つまり特性を持つ個体の確率の推定値です。対数形式では、この関係は次のようになります。

${\displaystyle \log(\operatorname {var} _{\text{obs}})=\log(a)+b\log(p)+c\log(1-p).}$

ほとんどの場合、b = cと仮定され、単純なモデルが得られる。

${\displaystyle \operatorname {var} _{\text{obs}}=a(p(1-p))^{b}}$

この関係はテイラーの法則ほど広範な検証を受けていないが、100以上のデータセットを正確に説明しており、機能しないことを報告する公表された例はない。^{[ 62 ]}

この方程式の変形はShiyomiら（^{[ 93 ]}）によって提案され、回帰をテストすることを提案した。

${\displaystyle \log(\operatorname {var} _{\text{obs}}/n^{2})=a+b\log {\frac {p(1-p)}{n}}}$

ここで、var _obsは分散、aとbは回帰の定数、nはサンプルサイズ (クラスターごとのサンプル数ではない)、p はサンプルに少なくとも 1 人の個体が含まれる確率です。

負の二項分布モデルも提案されている。^{[ 94 ]}モーメント法を用いた分散パラメータ( k )はm2 ^/ ( s2 ^- m )であり、p _iはカウントが0より大きいサンプルの割合である。kの計算に使用されるs2^はテイラーの法則によって予測される値である。p _iは1- ( k ( k + m ) ^-1 ) ^kに対してプロットされ、データの適合性が視覚的に検査される。    

ペリーとテイラーは、テイラーの法則に基づいたkの代替推定量を提案した。^{[ 95 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {am^{b-2}-1}{m}}}$

分散パラメータのより良い推定は、最尤法によって行うことができます。負の二項分布の場合、式^{[ 67 ]から推定できます。}

${\displaystyle \sum {\frac {A_{x}}{k+x}}=N\log \left(1+{\frac {m}{k}}\right)}$

ここで、A _xはx個体を超えるサンプルの総数、Nは個体の総数、xはサンプル内の個体数、mはサンプルあたりの平均個体数、kは指数である。kの値は数値的に推定する必要がある。

このモデルの適合度は、カイ二乗検定など、さまざまな方法でテストできます。これらの検定はサンプルサイズが小さいと偏りが生じる可能性があるため、代替手段としてU統計量（負の二項分布で期待される分散とサンプルの分散の差）があります。この分布の期待される分散はm + m ² / kであり、

${\displaystyle U=s^{2}-m+{\frac {m^{2}}{k}}}$

ここで、s ²は標本分散、mは標本平均、kは負の二項分布のパラメータです。

Uの分散は^{[ 67 ]です}

${\displaystyle \operatorname {var} (U)=2mp^{2}q\left({\frac {1-R^{2}}{-\log(1-R)-R}}\right)+p^{4}{\frac {(1-R)^{-k}-1-kR}{N(-\log(1-R)-R)^{2}}}}$

ここで、p = m / k、q = 1 + p、R = p / q、Nはサンプル中の個体の総数である。Uの期待値は0である。サンプルサイズが大きい場合、Uは正規分布に従う。

注：負の二項分布は、実際には平均と分散の関係によって定義される分布の族です。

${\displaystyle \sigma ^{2}=\mu +a\mu ^{p}}$

ここで、aとpは定数である。a=0の場合、これはポアソン分布を定義する。p=1およびp=2の場合、それぞれNB1分布およびNB2分布と呼ばれる。

このモデルは、バートレットが以前に提案したモデルのバージョンである。

分散パラメータ（k）^{[ 67 ]}は

${\displaystyle k={\frac {m^{2}}{s^{2}-m}}}$

ここで、^{m は標本平均、s 2 は分散です。k −1 が > 0 の場合、母集団は集約されているとみなされます。k −1 = 0 の場合、母集団はランダムであるとみなされます。k −1}が< 0^の場合、母集団は^一様分布し^ているとみなされます。

サウスウッドは、 kを平均値と定数に対して回帰させることを推奨している^{[ 76 ]。}

${\displaystyle k_{i}=a+bm_{i}}$

ここで、k _iとm _iはそれぞれ i 番目のサンプルの分散パラメータと平均値であり、共通の分散パラメータ ( k _c ) の存在をテストします。傾き ( b ) の値が 0 より有意に大きい場合は、 kが平均密度に依存していることを示します。

エリオットは別の方法を提案し、（s ² − m ）を（ m ² − s ² / n ）に対してプロットすることを提案した。^{[ 96 ]} k _cはこの回帰の傾きの 1/slope に等しい。

この係数（C）は次のように定義されます。

${\displaystyle C={\frac {100(s^{2}-m)^{0.5}}{m}}}$

人口が負の二項分布に従うと仮定すると、C = 100 (1/ k ) ^{0.5 となり、}ここでkは分布の分散パラメータです。

この指標（I _c）は^{[ 97 ]と定義される。}

${\displaystyle I_{c}={\frac {\sum x^{2}}{(\sum x)^{2}}}}$

この指標の一般的な解釈は次のとおりです。I c の値が< 1 、= 1、> 1 の場合_、それぞれ一様分布、ランダム分布、または集約分布を意味します。   

s ² = Σ x ² − (Σx) ²なので、指数は次のように書くこともできます。

${\displaystyle I_{c}={\frac {s^{2}+(nm)^{2}}{(nm)^{2}}}={\frac {1}{n^{2}}}{\frac {s^{2}}{m^{2}}}+1}$

テイラーの法則が成り立つと仮定すると、

${\displaystyle I_{c}={\frac {am^{b-2}}{n^{2}}}+1}$

ロイドの平均混雑度指数（IMC）は、ランダムに選択された点を含むサンプル単位に含まれる他の点の平均数です。^{[ 98 ]}

${\displaystyle \mathrm {IMC} =m+{\frac {s^{2}}{m-1}}}$

ここで、 mは標本平均、s²^は分散である。

ロイドのパッチネス指数（IP）^{[ 98 ]}は

${\displaystyle \mathrm {IP} ={\text{IMC}}/m}$

これは、点のランダムな除去（間引き）の影響を受けないパターン強度の指標です。この指標は1988年にピエロウによって提唱され、この名前で呼ばれることもあります。

IPの分散の推定は式自体からは非常に困難であるため、ロイドはデータに負の二項分布を当てはめることを提案した。この方法ではパラメータkが得られる。

${\displaystyle s^{2}=m+{\frac {m^{2}}{k}}}$

それから

${\displaystyle SE(IP)={\frac {1}{k^{2}}}\left[\operatorname {var} (k)+{\frac {k(k+1)(k+m)}{mq}}\right]}$

どこ${\displaystyle SE(IP)}$は、パッチネス指数の標準誤差です。${\displaystyle {\text{var}}(k)}$はパラメータkの分散であり、qはサンプリングされた方形区の数である。

人口がテイラーの法則に従うならば

${\displaystyle \mathrm {IMC} =m+a^{-1}m^{1-b}-1}$

${\displaystyle \mathrm {IP} =1+a^{-1}m^{-b}-{\frac {1}{m}}}$

岩尾は、凝集をテストするためにパッチネス回帰を提案した^{[ 99 ] [ 100 ]。}

させて

${\displaystyle y_{i}=m_{i}+{\frac {s^{2}}{m_{i}}}-1}$

ここでy _iはロイドの平均混雑度指数です。^{[ 98 ]} m _iをyに対して通常の最小二乗回帰を実行します。 

この回帰分析において、傾き（b）の値は集積の指標であり、データがポアソン分布に従う場合は傾きは1 となります。定数（ a）は、微小密度で生息地を共有する個体数であり、0未満、0、または0より大きい値をとります。これらの値は、それぞれ空間パターンにおける個体群の規則性、ランダム性、および集積を表します。aの値が1未満の場合、分布の基本単位は単一の個体であるとみなされます。 

統計量s ² / mが一定でない場合は、代わりにaとbが定数であるam + bm ²に対してロイド指数を回帰させることが推奨されている。^{[ 101 ]}

この回帰における所定の精度 ( D ) に対するサンプルサイズ ( n ) は、 ^{[ 101 ]で与えられます。}

${\displaystyle n=\left({\frac {t}{D}}\right)^{2}\left({\frac {a+1}{m}}+b-1\right)}$

ここで、 aはこの回帰における定数、bは傾き、mは平均、tは t 分布の臨界値です。

岩尾はこの回帰に基づいて逐次サンプリングテストを提案した。^{[ 102 ]}このテストの上限と下限は、害虫の防除に対策が必要となる臨界密度m _{cに基づいている。}

${\displaystyle N_{u}=im_{c}+t(i(a+1)m_{c}+(b-1)m_{c}^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle N_{l}=im_{c}-t(i(a+1)m_{c}+(b-1)m_{c}^{2})^{1/2}}$

ここで、N _uとN _lはそれぞれ上限と下限、aは回帰からの定数、bは傾き、iはサンプル数です。

久野は、この回帰分析に基づいた別の逐次停止テストを提案している。^{[ 103 ]}

${\displaystyle T_{n}={\frac {a+1}{D^{2}-{\frac {b-1}{n}}}}}$

ここで、T _nは総サンプルサイズ、Dは精度、nはサンプル単位数、a は定数、b は回帰からの傾きをそれぞれ表す。

久野の検定は、 n ≥ ( b − 1) / D ²という条件を満たす必要がある。

パレラとジョーンズは、代替的だが関連性のある停止線を提案している^{[ 104 ]}

${\displaystyle T_{n}=\left(1-{\frac {n}{N}}\right){\frac {a+1}{D^{2}-\left(1-{\frac {n}{N}}\right){\frac {b-1}{n}}}}}$

ここで、aとbは回帰分析のパラメータ、Nはサンプリングされた単位の最大数、nは個々のサンプルサイズである。

森下正明の分散指数（I _m）は、母集団全体から無作為に選ばれた2つの点が同じサンプルに含まれる確率を尺度化したものである。^{[ 105 ]}値が高いほど、分布がより集中していることを示す。

${\displaystyle I_{m}={\frac {\sum x(x-1)}{nm(m-1)}}}$

別の表現方法は

${\displaystyle I_{m}=n{\frac {\sum x^{2}-\sum x}{(\sum x)^{2}-\sum x}}}$

ここで、 nはサンプル全体のサイズ、mはサンプル平均、xはサンプル全体の合計値である個々の値です。また、次の式にも等しくなります。

${\displaystyle I_{m}={\frac {n\operatorname {IMC} }{nm-1}}}$

ここで、IMCはロイドの混雑指数である。^{[ 98 ]}

この指標は人口密度とは比較的無関係ですが、サンプルサイズには影響を受けます。1より大きい値は集中分布を示し、1より小さい値は分布の均一性を示し、1の値はランダムサンプルであることを示します。

森下は統計^{[ 105 ]を示した}

${\displaystyle I_{m}\left(\sum x-1\right)+n-\sum x}$

は、自由度n  − 1のカイ二乗分布に従う変数として分布します。 

この指標に対する代替的な有意性検定法が大規模サンプル向けに開発されている。^{[ 106 ]}

${\displaystyle z={\frac {I_{m}-1}{2/(nm^{2})}}}$

ここで、 mは全体の標本平均、nは標本単位の数、zは正規分布の横軸です。有意性は、 zの値を正規分布の値と比較することによって検定されます。

その計算を行うための関数は、統計言語Rのveganパッケージで利用可能です。

森下氏の重複指数と混同しないように注意してください。

スミス・ギルは、サンプルサイズと人口密度の両方に依存せず、−1と+1の範囲に収まるモリシタ指数に基づく統計量を開発した。この統計量は次のように計算される^{[ 107 ]。}

まず、通常の方法で森下指数（Id ）を求めます。次に、母集団から標本抽出された単位数をkとします。2つの臨界値を計算します_。

${\displaystyle M_{u}={\frac {\chi _{0.975}^{2}-k+\sum x}{\sum x-1}}}$

${\displaystyle M_{c}={\frac {\chi _{0.025}^{2}-k+\sum x}{\sum x-1}}}$

ここで、χ ^{2は、97.5% および 2.5% の信頼水準における}n − 1 自由度のカイ二乗値です。

標準化指数（Ip ）は_、以下のいずれかの式から計算されます。

d _≥ M _c > 1の場合

${\displaystyle I_{p}=0.5+0.5\left({\frac {I_{d}-M_{c}}{k-M_{c}}}\right)}$

M _c > I _d ≥ 1の場合

${\displaystyle I_{p}=0.5\left({\frac {I_{d}-1}{M_{u}-1}}\right)}$

1 > I _d ≥ M _{u の場合}

${\displaystyle I_{p}=-0.5\left({\frac {I_{d}-1}{M_{u}-1}}\right)}$

1 > M _u > I _dの場合

${\displaystyle I_{p}=-0.5+0.5\left({\frac {I_{d}-M_{u}}{M_{u}}}\right)}$

I _pは +1 から −1 の範囲で、95% 信頼区間は ±0.5 です。パターンがランダムな場合はI _pの値は 0 になります。パターンが均一な場合はI _p < 0、パターンが凝集性を示す場合はI _p > 0 になります。

サウスウッドの空間集約度指数（k）は次のように定義される。

${\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {m^{*}}{m}}-1}$

ここで、mはサンプルの平均であり、m *はロイドの混雑度指数である。^{[ 76 ]}

フィッシャーの分散指数^{[ 108 ] [ 109 ]}は

${\displaystyle \mathrm {ID} ={\frac {(n-1)s^{2}}{m}}}$

この指標は、母集団の過分散を検定するために使用できます。適用においては、n > 5 ^{[ 110 ]}かつサンプル総数をサンプル数で割った値が > 3 であることが推奨されます。記号では、

${\displaystyle {\frac {\sum x}{n}}>3}$

ここで、x は個々のサンプル値です。母集団がポアソン分布に従う場合、インデックスの期待値はnに等しく、自由度n − 1のカイ二乗分布に従います。 ^{[ 110 ]}母集団がガンマ分布に従う場合、これは尺度パラメータに等しくなります。  

この方法は、母集団全体と、個別にサンプリングされた個々の地域の両方に適用できます。個々のサンプル地域にこの検定を適用する場合は、ボンフェローニ補正係数も使用する必要があります。

人口がテイラーの法則に従うならば

${\displaystyle \mathrm {ID} =(n-1)am^{b-1}}$

クラスターサイズ指数（ICS）は、DavidとMooreによって作成されました。^{[ 111 ]}ランダム（ポアソン）分布では、ICSは0に等しくなることが期待されます。正の値はクラスター分布を示し、負の値は均一分布を示します。

${\displaystyle \mathrm {ICS} ={\frac {s^{2}}{m-1}}}$

ここで、s ²は分散、mは平均です。

人口がテイラーの法則に従う場合

${\displaystyle \mathrm {ICS} =am^{b-1}-1}$

ICSは、Katzの検定統計量を( n /2) ^1/2で割った値に等しく、nはサンプルサイズです。また、Claphamの検定統計量とも関連があります。さらに、クラスター指数と呼ばれることもあります。

グリーン指数（GI ）は、サンプル単位の数nに依存しないクラスターサイズ指数の修正版である。 ^{[ 112 ]}

${\displaystyle C_{x}={\frac {s^{2}/m-1}{nm-1}}}$

この指標は、分布がランダムな場合は 0、最大限に集約されている場合は 1、均一な場合は−1 / ( nm − 1 ) となります。

グリーン指数の分布は現在不明であるため、統計的検定を考案することは困難である。

人口がテイラーの法則に従う場合

${\displaystyle C_{x}={\frac {am^{b-1}-1}{nm-1}}}$

正確な計数が難しい場合、二値サンプリング（存在/非存在）がよく用いられます。分散指数（D）は、研究対象集団を一連の等しいサンプル（単位数 = N、サンプルあたりの単位数 = n、総集団サイズ = n x N）に分割する場合に用いられます。^{[ 113 ]}二項分布に従う母集団からのサンプルの理論上の分散は、

${\displaystyle s^{2}=np(1-p)}$

ここで、s ²は分散、nはサンプリングされたユニット数、pは少なくとも 1 つの個体が存在するサンプリング ユニットの平均割合です。分散指数 ( D ) は、観測された分散と期待される分散の比として定義されます。記号では、

${\displaystyle D={\frac {{\text{var}}_{\text{obs}}}{{\text{var}}_{\text{bin}}}}={\frac {s^{2}}{np(1-p)}}}$

ここで、var _obsは観測された分散、var _binは期待される分散です。期待される分散は、母集団の全体平均で計算されます。D > 1 の値は、集約を示唆するものとみなされます。D ( n − 1 )は、 n − 1 の自由度を持つカイ二乗変数として分布します。ここで、nはサンプリングされた単位の数です。

代替テストとしてCテストがある。^{[ 114 ]}

${\displaystyle C={\frac {D(nN-1)-nN}{(2N(n^{2}-n))^{1/2}}}}$

ここで、Dは分散指数、nはサンプルあたりの単位数、Nはサンプル数である。Cは正規分布に従う。Cの値が統計的に有意である場合、母集団の過分散を示す。

Dはクラス内相関( ρ )とも関連しており、これは^{[ 115 ]で定義されます。}

${\displaystyle \rho =1-{\frac {\sum x_{i}(T-x_{i})}{p(1-p)NT(T-1)}}}$

ここで、Tはサンプルあたりの生物数、pは生物が目的の特性（病気、害虫なしなど）を持つ可能性、xi_はi番目のユニットにおけるこの特性を持つ生物数である。Tはすべてのサンプリングされたユニットで同じでなければならない。この場合、nは定数である。

${\displaystyle \rho ={\frac {D-1}{n-1}}}$

データがベータ二項分布に適合する場合、^{[ 115 ]}

${\displaystyle D=1+{\frac {(n-1)\theta }{1+\theta }}}$

ここで、θは分布のパラメータである。^{[ 114 ]}

Maは、人口密度とテイラーの法則を関連付けるために、パラメータ（m ₀）−人口集積臨界密度−を提案した。^{[ 116 ]}

${\displaystyle m_{0}=\exp \left({\frac {\log a}{1-b}}\right)}$

^{デ・オリベイラ[ 117 ]}が提案した関連統計量は、分散と平均の差である。^{[ 118 ]}母集団がポアソン分布に従う場合、

${\displaystyle var(s^{2}-m)={\frac {2t^{2}}{n-1}}}$

ここで^、 tはポアソンパラメータ、s ²は分散、mは平均、nはサンプルサイズです。s 2 - mの期待値はゼロです。この統計量は正規分布に従います。^{[ 119 ]}

この方程式のポアソンパラメータをt = mとすることで推定すると、少し操作すればこの統計量は次のように書ける。

${\displaystyle O_{T}={\sqrt {\frac {n-1}{2}}}{\frac {s^{2}-m}{m}}}$

これは、 nを ( n - 1)に置き換えた Katz の統計量とほぼ同じです。ここでもO _Tは、 nが大きい場合、平均 0、単位分散の正規分布に従います。この統計量は、Neyman-Scott 統計量と同じです。

注記

デ・オリベイラは、 s ² - mの分散は( 1 - 2 t ^1/2 + 3 t ) / nであると実際に提案しました。ここでtはポアソンパラメータです。彼は、t を標本の平均 ( m ) に等しくすることで推定できると提案しました。ボーニング^{[ 118 ]}によるさらなる調査により、この分散の推定は誤りであることが示されました。ボーニングの修正は上記の式で示されています。

1936年、クラパムは分散と平均の比（相対分散）を検定統計量として使用することを提案した。^{[ 120 ]}記号で表すと

${\displaystyle \theta ={\frac {s^{2}}{m}}}$

ポアソン分布の場合、この比率は 1 に等しくなります。この値からのずれを検定するために、彼はその値をn自由度のカイ二乗分布と比較することを提案しました。ここでnはサンプル単位の数です。この統計量の分布は Blackman ^{[ 121 ]}によってさらに研究され、平均 1、分散 ( V _θ )がほぼ正規分布していることが指摘されました。

${\displaystyle V_{\theta }={\frac {2n}{(n-1)^{2}}}}$

分散の導出はバートレット^{[ 122 ]}によって再分析され、彼はそれを次のように考えた。

${\displaystyle V_{\theta }={\frac {2}{n-1}}}$

サンプルサイズが大きい場合、これら2つの式はほぼ一致する。この検定は、後述のKatzのJ _n統計量と関連している。

人口がテイラーの法則に従うならば

${\displaystyle \theta =am^{b-1}}$

注記

このテストの改良版も発表されている^{[ 123 ]。}これらの著者らは、元のテストはデータに過分散が存在しない場合でも、より大きなスケールで過分散を検出する傾向があると指摘した。彼らは、このようなデータにはポアソン分布よりも多項分布を使用する方が適切かもしれないと指摘した。統計量θは分布する。

${\displaystyle \theta ={\frac {s^{2}}{m}}={\frac {1}{n}}\sum \left(x_{i}-{\frac {n}{N}}\right)^{2}}$

ここで、 Nはサンプル単位の数、nは検査されたサンプルの総数、xi_は個々のデータ値である。

θの期待値と分散は

${\displaystyle \operatorname {E} (\theta )={\frac {N}{N-1}}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (\theta )={\frac {(N-1)^{2}}{N^{3}}}-{\frac {2N-3}{nN^{2}}}}$

Nが大きい場合、E( θ )はほぼ1であり、

${\displaystyle \operatorname {Var} (\theta )\sim \ {\frac {2}{N}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}$

サンプリングされた個体数（n）が大きい場合、この分散の推定値は以前に得られた値と一致します。しかし、サンプル数が少ない場合は、後者の推定値の方が精度が高く、使用すべきです。