時間を止める

確率論、特に確率過程の研究において、停止時間（マルコフ時間、マルコフモーメント、任意停止時間、または任意時間^{[ 1 ]}とも呼ばれる）は、特定の種類の「ランダム時間」である。ランダム時間とは、与えられた確率過程が特定の関心のある挙動を示す時間として解釈される確率変数である。停止時間は、多くの場合、停止ルールによって定義される。停止ルールとは、現在の位置と過去の出来事に基づいて過程を継続するか停止するかを決定するメカニズムであり、ほぼ常に有限時間で停止するという決定につながる。

停止時間は決定理論において登場し、任意停止定理はこの分野における重要な結果である。停止時間は、チョンが著書（1982年）で述べたように、「時間の連続性を制御する」ために、数学的証明においても頻繁に用いられる。

ランダムな時間によって停止ルールが適用される場合と適用されない場合の例をいくつか示すために、典型的なハウスエッジを持つルーレットをプレイするギャンブラーを考えてみましょう。ギャンブラーは100ドルから始め、各ゲームで赤に1ドルを賭けます。

• ちょうど5試合プレイすることは停止時間τ  =  5に相当し、停止ルールとなる。
• 資金が尽きるか、500試合プレイするまでプレイを続けるのが、ゲーム終了のルールです。
• プレイヤーが獲得できる最大の利益額に達するまでプレイするというルールは、停止ルールではなく、停止時間も示しません。なぜなら、現在と過去だけでなく未来に関する情報も必要となるからです。
• 資金が2倍になるか資金がなくなるまでプレイすることは停止ルールであり、プレイするゲームの数に制限はないものの、有限時間内に停止する確率は1です。

停止時間のより一般的な定義を説明するために、確率過程であるブラウン運動を考えてみましょう。${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$それぞれ${\displaystyle B_{t}}$は確率空間上で定義された確率変数である。${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$この確率空間上のフィルタリングを次のように定義します。$\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$は、次の形式のすべての集合によって生成されるσ代数とする。${\displaystyle (B_{s})^{-1}(A)}$どこ${\displaystyle 0\leq s\leq t}$そして${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$はボレル集合である。直感的に言えば、事象Eは に含まれる。$\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$時刻 0 から時刻tまでのブラウン運動を観察するだけでEが真か偽かを判断できる場合に限ります。

• すべての定数$\displaystyle \tau$ :=t_{0}} は（自明なことに）停止時刻であり、停止規則「時刻で停止」に対応します。$t0$「。
• させて${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$それから$\displaystyle \tau$ :=\inf\{t\geq 0\mid B_{t}=a\}} はブラウン運動の停止時間であり、「ブラウン運動が値aに達したらすぐに停止する」という停止ルールに対応します。
• 別の停止時刻は次のように与えられる。$\displaystyle \tau$ :=\inf\{t\geq 1\mid B_{s}>0{\text{ for all }}s\in [t-1,t]\}} 。これは、「ブラウン運動が連続する1時間単位にわたって正の値になった時点で停止する」という停止規則に対応します。
• 一般に、τ ₁と τ ₂が停止時間である場合、${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$そして彼らの最小値$\displaystyle \tau _{1}\wedge \tau _{2}}$最大$\displaystyle \tau _{1}\vee \tau _{2}}$τ ₁  + τ ₂も停止時刻となります。（ただし、差分や積については、停止時刻を決定するために「将来を予測する」必要がある場合があるため、この限りではありません。） 

上記の2番目の例のような到達時間は、停止時間の重要な例となることがあります。停止時間は基本的にすべて到達時間であることを示すのは比較的簡単ですが、 ^{[ 2 ]}特定の到達時間が停止時間であることを示すのははるかに難しい場合があります。後者のタイプの結果は、Début定理として知られています。

停止時間は、確率過程の特定の性質を、必要な性質が局所的な意味でのみ満たされる状況に一般化するためによく使用されます。まず、Xが過程であり、τ が停止時間である場合、X ^{τ は}、時間τで停止した過程Xを表すために使用されます。

${\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{\min(t,\tau )}}$

そして、Xが局所的に何らかの性質Pを満たすとは、無限に増加する停止時刻の列 τ _nが存在し、そのプロセスが

${\displaystyle \mathbf {1} _{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$

性質Pを満たす。時間インデックス集合I = [0, ∞) の場合の一般的な例は以下のとおりである。

局所マルチンゲール過程。過程Xが局所マルチンゲールであるとは、それがcàdlàgであり、無限に増加する 停止時刻の列 τ _{nが存在し、}

${\displaystyle \mathbf {1} _{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$

は各nに対してマルチンゲール である。

局所的に積分可能なプロセス。非負かつ増加過程Xは、無限大に増加する停止時刻の列τ _{n が存在し、}

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\mathbf {1} _{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}\right]<\infty }$

各nについて。

停止時刻（時間インデックス集合I = [0,∞)）は、いつ発生するかを予測できるかどうかに応じて、いくつかのタイプに分類されることが多い。

停止時間τ は、 τ > 0のときτ _n < τ を満たす停止時間の増加列τ _nの極限に等しい場合、予測可能である。列τ _nはτ を告知すると言われ、予測可能な停止時間は告知可能と呼ばれることもある。予測可能な停止時間の例としては、連続的で適応的なプロセスの到達時間がある。τが連続的で実数値のプロセスXがある値aに等しくなる最初の時間である場合、 τ _{n は}、X がaから1/ nの距離内にある最初の時間である列τ _nによって告知される。

アクセス可能な停止時刻とは、予測可能な時刻のシーケンスでカバーできる時刻のことです。つまり、停止時刻τは、P( τ = τ _n ( nについて) = 1 となる場合にアクセス可能です。ここで、τ _nは予測可能な時刻です。

停止時刻τ は、停止時刻の増加系列によって決して予測できない場合、完全に到達不可能である。言い換えれば、予測可能な時刻σに対して P( τ = σ < ∞) = 0 となる。完全に到達不可能な停止時刻の例としては、ポアソン過程のジャンプ時刻などが挙げられる。

停止時刻τ は、アクセス可能な時刻と完全にアクセス不可能な時刻に一意に分解できます。つまり、一意のアクセス可能な停止時刻 σ と完全にアクセス不可能な時刻 υ が存在し、σ < ∞のときはτ = σ 、υ < ∞のときはτ = υ、σ = υ = ∞のときはτ = ∞となります。なお、この分解結果の記述において、停止時刻はほぼ確実に有限である必要はなく、∞ になることもあります。 

医学における臨床試験では、試験がエンドポイントを達成したかどうかを判断するために、中間解析が頻繁に行われます。しかし、中間解析は偽陽性結果のリスクを生じさせるため、中間解析の回数とタイミングを決定するために停止境界が使用されます（偽陽性率を示すアルファ消費とも呼ばれます）。R回の中間検定のそれぞれにおいて、尤度が閾値pを下回る場合、試験は停止されます。閾値pは使用する方法によって異なります。逐次解析を参照してください。

• 最適な停止
• ウォルドの方程式
• オッズアルゴリズム
• 秘書の問題
• 打撃時間
• プロセスを停止しました
• 障害の問題
• デビュー定理
• 逐次分析

• Thomas S. Ferguson、「秘書問題を解決したのは誰か？」、Stat. Sci. vol. 4、282 – 296、（1989）。
• 停止時刻の概要。
• F. トーマス・ブルース、「オッズを合計して1になったら停止する」、確率論年報、第4巻、1384 ～ 1391ページ、（2000年）
• チョン、カイライ (1982)。マルコフ過程からブラウン運動まで講義。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249。ニューヨーク州ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 978-0-387-90618-8。
• H. ヴィンセント・プア、オリンピア・ハジリアディス (2008) 『最速検出法』（初版 ）。ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-62104-5。
• プロッター、フィリップ・E. (2005).確率積分と微分方程式. 確率モデリングと応用確率論 第21巻 (第2版 (バージョン2.1、修正第3刷) 版). ベルリン: シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 978-3-540-00313-7。
• シリヤエフ、アルバート・N. (2007).最適停止規則. スプリンガー. ISBN 978-3-540-74010-0。