ネイマンA型分布

ネイマンタイプA

確率質量関数 横軸はインデックスx、つまり発生回数です。縦軸は、vaがxの値を取る確率です。
累積分布関数 横軸はインデックスx、発生回数です。縦軸は、からまでの確率の累積合計です。${\displaystyle P(Y=0)}$${\displaystyle P(Y=x)}$
表記	${\displaystyle \operatorname {NA} (\lambda ,\phi )}$
パラメータ	${\displaystyle \lambda >0,\phi >0}$
サポート	x ∈ { 0, 1, 2, ... }
ＰＭＦ	${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\phi ^{x}}{x!}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda e^{-\phi })^{j}j^{x}}{j!}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{x}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\phi ^{i}(\lambda e^{-\phi })^{j}j^{i}}{i!j!}}}$
平均	${\displaystyle \lambda \phi }$
分散	${\displaystyle \lambda \phi (1+\phi )}$
歪度	${\displaystyle {\frac {\lambda \phi (1+3\phi +\phi ^{2})}{(\lambda \phi (1+\phi ))^{3/2}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {1+7\phi +6\phi ^{2}+\phi ^{3}}{\phi \lambda (1+\phi )^{2}}}}$
MGF の	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{\phi (e^{t}-1)}-1))}$
CF	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{\phi (e^{it}-1)}-1))}$
PGF	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{\phi (s-1)}-1))}$

統計と確率において、ネイマン A 型分布は、複合ポアソン分布の族に属する離散確率分布です。まず、この分布を簡単に理解するために、単変量離散分布で説明されている次の例を使用して説明します。^[1]単位面積あたりの卵のクラスターの数の変動がパラメータ のポアソン分布で表され、卵のクラスターごとに成長する幼虫の数がすべて同じパラメータ を持つ独立したポアソン分布に従うと仮定することで、単位面積のフィールド (単位の生息地) における幼虫の分布の統計モデルを作成します。幼虫の数を知りたい場合は、ランダム変数Y を各グループ ( jグループが与えられた場合)で孵化した幼虫の数の合計として定義します。したがって、 Y = X ₁ + X ₂ + ... X _jとなります。ここで、 X ₁、...、X _{j は}パラメータおよびを持つ独立したポアソン変数です。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \phi }$

イェジー・ネイマンは1894年4月16日にロシアで生まれ、キャリアの初めをヨーロッパで過ごしたポーランドの統計学者でした。1939年にネイマンA型分布^[1]を開発し、実験圃場の幼虫の分布を記述しました。この分布は、昆虫学（Beall[1940]、^[2] Evans[1953] ^[3]）、事故（Creswell i Froggatt [1963]）、^[4]、細菌学など、伝染に基づいて個体群を記述するために主に使用されています。

この分布はもともと生物学的モデルに基づいており、おそらくデータへの適合度が高ければ仮説モデルが正当化されると予想されていた。しかし、現在ではこの分布をさまざまなモデルから導き出すことが可能であることがわかっており（William Feller [1943]）、^[5]、この観点から、ネイマンの分布は複合ポアソン分布として導き出される。この解釈により、それらは異質な集団をモデル化するのに適しており、明らかな伝染の例となる。

それにもかかわらず、ネイマンのタイプ A を扱う際の難しさは、確率の表現が非常に複雑であるという事実から生じます。最大尤度などの効率的な方法によるパラメータの推定でさえ、面倒で、方程式を理解するのは簡単ではありません。

確率生成関数（pgf）G ₁ ( z )は、N個の独立したX _jのランダム変数を作成し、分岐プロセスに使用されます。各X _jはランダムな数の個体を生成します。ここで、X ₁、X _{2 、...は}Xと同じ分布を持ち、これはpgf G ₂ ( z )のXの分布です。個体の総数はランダム変数です。^[1]

${\displaystyle Y=SN=X_{1}+X_{2}+...+X_{N}}$

SN分布のpgfは次のようになります。

${\displaystyle E[z^{SN}]=E_{N}[E[z^{SN}|N]]=E_{N}[G_{2}(z)]=G_{1}(G_{2}(z))}$

特に役立つ表記法の1つは、F2分布によって一般化されたF1分布を参照するための記号表現を使用することを可能にする。

${\displaystyle Y\sim F_{1}\bigwedge F_{N}}$

この場合は、次のように書かれています。

${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois(\lambda )} \bigwedge \operatorname {Pois(\phi )} }$

最後に、確率生成関数は、

${\displaystyle G_{Y}(z)=\exp(\lambda (e^{\phi (z-1)}-1))}$

確率の生成関数から、以下に説明する確率質量関数を計算できます。

X ₁、X ₂、... X _j をポアソン独立変数とします。ランダム変数Y = X ₁ + X ₂ +... X _jの確率分布は、パラメータがおよびであるネイマンの A 型分布です。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle p_{x}=P(Y=x)={\frac {e^{-\lambda }\phi ^{x}}{x!}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda e^{-\phi })^{j}j^{x}}{j!}}~~}$${\displaystyle ~~x=1,2,...}$

あるいは、

${\displaystyle p_{x}=P(Y=x)={\frac {e^{-\lambda +\lambda e^{-\phi }}\phi ^{x}}{x!}}\sum _{j=0}^{x}S(x,j)\lambda ^{j}e^{-\phi ^{j}}}$

前の式がどのように発展するかを見るには、確率質量関数が確率生成関数から計算され、スターリング数の性質を使用することを念頭に置く必要があります。発展を見てみましょう。

${\displaystyle G(z)=e^{-\lambda +\lambda e^{-\phi }}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}e^{-j\phi }(e^{\phi z}-1)^{j}}{j|}}}$

${\displaystyle =e^{-\lambda +\lambda e^{-\phi }}\sum _{j=0}^{\infty }(\lambda e^{-\phi })^{j}\sum _{x=j}^{\infty }{\frac {S(x,j)\phi ^{x}z^{x}}{x!}}}$

${\displaystyle ={\frac {e^{-\lambda +\lambda e^{-\phi }}\phi ^{x}}{x!}}\sum _{j=0}^{x}S(x,j)\lambda ^{j}e^{-\phi ^{j}}}$

確率を推定する別の方法は、反復的な連続性を用いるものである。^[6]

${\displaystyle p_{x}=P(Y=x)={\frac {\lambda \phi e^{-\phi }}{x}}\sum _{r=0}^{x-1}{\frac {\phi ^{r}}{r!}}p_{x-r-1}~~}$、${\displaystyle ~~p_{0}=\exp(-\lambda +\lambda e^{-\phi })}$

長さはnに比例して変化しますが、この再帰関係は数値計算にのみ使用され、特にコンピューターアプリケーションに役立ちます。

どこ

• x = 0, 1, 2, ... 、ただし、繰り返し連続の確率の場合はx = 1, 2, 3, ...となる。
• ${\displaystyle j\leq x}$
• ${\displaystyle \lambda }$、。${\displaystyle \phi >0}$
• x ! とj ! はそれぞれxとjの階乗です。
• 第二種スターリング数の性質の一つは次の通りである: ^[7]

${\displaystyle (e^{\phi z}-1)^{j}=j!\sum _{x=j}^{\infty }{\frac {S(x,j){\phi z}^{x}}{x!}}}$

${\displaystyle Y\ \sim \operatorname {NA} (\lambda ,\phi )\,}$

確率変数Xのモーメント生成関数は、実パラメータtの関数としてe ^tの期待値として定義されます。 に対して、モーメント生成関数が存在し、次の式に等しくなります。 ${\displaystyle \operatorname {NA(\lambda ,\phi )} }$

${\displaystyle M(t)=G_{Y}(e^{t})=\exp(\lambda (e^{\phi (e^{t}-1)}-1))}$

キュムラント生成関数はモーメント生成関数の対数であり、 ^[1]に等しい。

${\displaystyle K(t)=\log(M(t))=\lambda (e^{\phi (e^{t}-1)}-1)}$

次の表では、1から4までの順序のモーメントを見ることができます。

歪度は平均を中心とした3次モーメントを標準偏差の3/2乗で割ったものであり、分布の場合は次のようになる。 ${\displaystyle \operatorname {NA} }$

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\mu _{2}^{3/2}}}={\frac {\lambda \phi (1+3\phi +\phi ^{2})}{(\lambda \phi (1+\phi ))^{3/2}}}}$

尖度は平均を中心とする4次モーメントを分散の2乗で割ったもので、分布の場合は次の式で表される。 ${\displaystyle \operatorname {NA} }$

${\displaystyle \beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}={\frac {\lambda \phi (1+7\phi +6\phi ^{2}+\phi ^{3})+3\lambda ^{2}\phi ^{2}(1+\phi )^{2}}{\lambda ^{2}\phi ^{2}(1+\phi )^{2}}}={\frac {1+7\phi +6\phi ^{2}+\phi ^{3}}{\phi \lambda (1+\phi )^{2}}}+3}$

過剰尖度は正規分布の尖度をゼロにするための補正であり、次のようになります。

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}-3={\frac {1+7\phi +6\phi ^{2}+\phi ^{3}}{\phi \lambda (1+\phi )^{2}}}}$

• 常に、分布は平均値の周りに鋭いピークを持ち、裾が太くなります。${\displaystyle \beta _{2}>3}$${\displaystyle \gamma _{2}>0}$

離散分布では、任意の実数値確率変数の特性関数は、iが虚数単位であり、t∈Rであるときの期待値として定義されます 。 ${\displaystyle e^{itX}}$

${\displaystyle \phi (t)=E[e^{itX}]=\sum _{j=0}^{\infty }e^{ijt}P[X=j]}$

この関数は、モーメント生成関数と を介して関連しています。したがって、この分布の特性関数は、 ${\displaystyle \phi _{x}(t)=M_{X}(it)}$

${\displaystyle \phi _{x}(t)=\exp(\lambda (e^{\phi (e^{it}-1)}-1))}$

• 記号は特性関数を表すために使用されることに注意してください。${\displaystyle \phi _{x}}$

累積分布関数は、

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\lambda ,\phi )&=P(Y\leq x)\\&=e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{x}{\frac {\phi ^{i}}{i!}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda e^{-\phi })^{j}j^{i}}{j!}}\\&=e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{x}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\phi ^{i}(\lambda e^{-\phi })^{j}j^{i}}{i!j!}}\end{aligned}}}$

• 分散指数は確率分布の分散を正規化した尺度であり、分散 と平均の比として定義される。^[8]${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle d={\frac {\sigma ^{2}}{\mu }}=1+\phi }$

• N個のサンプルから、各ランダム変数Y _iは から得られ、Y ₁、Y ₂、...、Y _nは独立しています。これにより、MLE推定値は次のように得られます。^[9]${\displaystyle \operatorname {NA(\lambda ,\phi )} }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{N}}={\bar {x}}={\bar {\lambda }}{\bar {\phi }}~~~}$の人口平均はどこにあるか${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\bar {x}}}$

• 前述の2つの式の間では、とを使ってパラメータ化することができます。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mu =\lambda \phi \\d=1+\phi \end{cases}}\longrightarrow \quad \!{\begin{aligned}\lambda ={\frac {\mu }{d-1}}\\\phi =d-1\end{aligned}}}$

NA( )の平均と分散はそれぞれとである。したがって、次の2つの式が得られる。^[10]${\displaystyle \lambda ,\phi }$${\displaystyle \mu =\lambda \phi }$${\displaystyle \lambda \phi (1+\phi )}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\bar {x}}=\lambda \phi \\s^{2}=\lambda \phi (1+\phi )\end{cases}}}$

• ${\displaystyle s^{2}}$および はそれぞれモストラル分散と平均です。${\displaystyle {\bar {x}}}$

これら 2 つの方程式を解くと、およびのモーメント推定値とが得られます。 ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$${\displaystyle {\hat {\phi }}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\bar {\lambda }}={\frac {{\bar {x}}^{2}}{s^{2}-{\bar {x}}}}}$

${\displaystyle {\bar {\phi }}={\frac {s^{2}-{\bar {x}}}{\bar {x}}}}$

および の最大尤度推定値を計算するには、確率質量関数内のすべての確率を乗算して、式 を取得します。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\lambda ,\phi ;x_{1},\ldots ,x_{n})}$

「その他の特性」で定義されたパラメータ化調整を適用すると、 が得られます 。サイズNのサンプルXが与えられた場合に を (サンプル平均)として推定すると、単一のパラメータに基づいて最大尤度推定を定義できます。これは以下で確認できます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mu ,d;X)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(d;X)=\prod _{i=1}^{n}P(x_{i};d)}$

• 確率を推定するために、計算がそれほど複雑にならないように、反復的な継承の pmf を使用します。

データ サンプルをシミュレートするために使用する場合、ポアソン分布がデータに適合しているかどうかを確認することが重要です。このために、次の仮説検定が使用されます。 ${\displaystyle \operatorname {NA(\lambda ,\phi )} }$

${\displaystyle {\begin{cases}H_{0}:d=1\\H_{1}:d>1\end{cases}}}$

尤度比検定統計量は、 ${\displaystyle \operatorname {NA} }$

${\displaystyle W=2({\mathcal {L}}(X;\mu ,d)-{\mathcal {L}}(X;\mu ,1))}$

ここで、尤度は対数尤度関数です。Wは、 d = 1 がパラメータ領域の端にあるため、帰無仮説で予想されるような漸近分布を持ちません。W の漸近分布では、定数 0 と が50:50 の混合比を持つことが実証されています。この混合比では、上裾のパーセンテージポイントは、${\displaystyle {\mathcal {L}}()}$${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 2\alpha }$${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$

ポアソン分布（{0, 1, 2, 3, ...}上）はネイマンA型分布の特殊なケースであり、

${\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda )=\operatorname {NA} (\lambda ,\,0).\,}$

1 次および 2 次のモーメントから、パラメータとに基づいて母平均と分散を記述できます。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \mu =\lambda \phi }$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\lambda \phi (1+\phi )}$

分散指数dでは、次数 1 のパラメーター化された方程式を に、次数 2 の方程式をに代入すると、 が得られることがわかります。したがって、 d が1 に近づくと、変数Y はパラメーターのポアソン分布になります。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle d=1+\phi }$${\displaystyle \lambda }$

そして、

${\displaystyle \lim _{d\rightarrow 1}\operatorname {NA} (\lambda ,\,\phi )\rightarrow \operatorname {Pois} (\lambda )}$

ネイマンのタイプ A 種の繁殖がクラスターを形成する場合、分布は植物の分散を特徴付けるために使用されています。これは通常、種が親植物の子孫から、または親植物の近くに落ちた種子から発生する場合に発生します。しかし、Archibald (1948] ^{[11] は、}適合された分布のタイプから繁殖の種類を推測するにはデータが不十分であると観察しました。ネイマン A 型は植物分布に対して肯定的な結果を生み出しましたが、Evans (1953] ^[3]は、負の二項分布が昆虫分布に対して肯定的な結果を生み出すことを示しました。ネイマン A 型分布は生態学の文脈でも研究されており、植物クラスターがサンプル位置を選択するために使用される正方形の端を横切らないほどコンパクトでない限り、分布を植物個体群に適用できる可能性は低いという結果が出ています。Skellam (1958) によると、クラスターのコンパクトさは、ネイマンによる分布の元の導出における隠れた仮定です。^[12]結果は正方形のサイズの選択によって大幅に影響を受けることが示されました。

バス運転手の事故に関して、クレスウェルとフロガット（1963）^[4]は、以下の仮説に基づいてネイマンA型を導き出した。

1. 各ドライバーは「呪文」の影響を受けやすく、その数は任意の時間に対してポアソン分布し、すべてのドライバーに対して同じパラメータを持ちます。${\displaystyle \lambda }$
2. 一定時間中のドライバーのパフォーマンスは悪く、すべてのドライバーに対して同じパラメータで、ポアソン数の衝突を経験する可能性があります。${\displaystyle \phi }$
3. 各ドライバーは独立して動作します。
4. 呪文以外では事故は起こりません。

これらの仮定は、およびモデルを介してネイマン A 型分布につながります。彼らの「短い分布」とは対照的に、クレスウェルとフロガットは、その長い裾からこれを「長い分布」と呼びました。アーウィン (1964) によると、さまざまなドライバーが異なるレベルの傾向、つまりK を持っていると仮定することによっても、A 型分布が得られます。確率は次のとおりです。 ${\displaystyle \operatorname {Pois(\lambda )} }$${\displaystyle \operatorname {Pois(\phi )} }$

${\displaystyle \operatorname {P(K=k\phi )} ={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}$

• 価値観を受け入れる${\displaystyle ~0,~\phi ,~2\phi ,~3\phi ,~...}$

そして、傾向度kのドライバーは、次の場合にX 件の事故を起こします。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle ~\operatorname {P(X=x|k\phi )} ={\frac {e^{-k\phi }(k\phi )^{x}}{x!}}}$

これは、Kによって取得された値を混合するモデルです。 ${\displaystyle ~\operatorname {Pois(k\phi )} \wedge \operatorname {Pois(\lambda )} }$

1965 年から 1969 年にかけての食糧用少数民族テント群のアプリケーションでも分布が示唆されました。この点では、非常に大規模なデータベースで分布を調整するのではなく、クラスタリング率またはグループごとのエンティティの平均数のみを近似する必要があることが予測されました。

• 使用履歴の参照。^[1]

• 以下のコードは、 の5000インスタンスをシミュレートします。${\displaystyle \operatorname {NA(\lambda ,\phi )} }$

rNeymanA <- function(n,lambda, phi){
   r <- 数値()
   (j が 1:n の場合) {
      k = rpois(1,ラムダ)
      r[j] <- 合計(rpois(k,phi))
   }
   戻り値
 }

• 再帰確率の質量関数は、理論的な確率を推定するためにRに実装されています。以下で確認できます。

dNeyman.rec <- 関数(x, lambda, phi){
 p <- 数値()
 p[1]<- exp(-ラムダ + ラムダ*exp(-ファイ))
 c <- ラムダ*ファイ*exp(-ファイ)
 x == 0の場合{
   戻り値(p[1])
 }
 それ以外{
   (i が 1:x の場合) {
     スマ = 0
     (r が 0:(i-1) の範囲) の場合 {
       suma = suma + (phi^r)/(factorial(r))*p[ir]
     }
     p[i+1] = (c/(i))*suma # l'R あたり +1
   }
   解像度 <- p[i+1]
   戻り値
 }
}

シミュレーションで得られた相対頻度とpmfで計算された確率の結果を比較します。パラメータとに2つの値が与えられます。次の表に示します。 ${\displaystyle \lambda =2}$${\displaystyle \phi =1}$