級内相関係数

統計学において、級内相関、または級内相関係数（ICC）^{[ 1 ]}は、グループに組織化された単位に対して定量的な測定が行われる場合に使用できる記述統計量です。これは、同じグループ内の単位が互いにどの程度似ているかを示します。これは相関の一種と見なされますが、他のほとんどの相関尺度とは異なり、ペアの観測値として構造化されたデータではなく、グループとして構造化されたデータに対して機能します。

級内相関係数は、一定の血縁関係にある個体（例えば、同胞）が、量的形質に関してどの程度類似しているかを定量化するためによく用いられます（遺伝率を参照）。また、異なる観察者が同じ量を測定する際の、測定値の一貫性や再現性を評価する際にも、この係数は重要な役割を果たします。

級内相関に関する初期の研究は、ペアになった測定値の場合に焦点を当てており、最初に提案された級内相関（ICC）統計量は、級間相関（ピアソン相関）の修正版であった。

N組のデータ値 ( x _{n ,1} , x _{n ,2} ) ( n = 1, ..., N )からなるデータセットを考えます。Ronald Fisher ^{[ 3 ]}によって最初に提案されたクラス内相関r ^{[ 2 ]}は、   

${\displaystyle r={\frac {1}{Ns^{2}}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}-{\bar {x}})(x_{n,2}-{\bar {x}}),}$

どこ

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{2N}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}+x_{n,2}),}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{2N}}\left\{\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}-{\bar {x}})^{2}+\sum _{n=1}^{N}(x_{n,2}-{\bar {x}})^{2}\right\}.}$

この統計量^{[ 3 ]}の後のバージョンでは、 s2^を計算するための分母に自由度2N - 1を使用し、rを計算するための分母にN - 1を使用したため、s2は不偏^になり、sが既知の場合はrも不偏になります。  

このICCとクラス間相関（ピアソン相関）の主な違いは、平均と分散を推定するためにデータがプールされる点です。これは、クラス内相関を求める場合、ペアは順序付けられていないとみなされるためです。例えば、双子の類似性を研究する場合、双子のペア内の2人の値を意味のある方法で順序付けることは通常できません。クラス間相関と同様に、ペアデータのクラス内相関も区間[  −1,  +1]に限定されます。

クラス内相関は、2 つ以上の値を持つグループを持つデータセットに対しても定義されます。3 つの値で構成されるグループの場合、それは次のように定義されます^{[ 3 ]}

${\displaystyle r={\frac {1}{3Ns^{2}}}\sum _{n=1}^{N}\left\{(x_{n,1}-{\bar {x}})(x_{n,2}-{\bar {x}})+(x_{n,1}-{\bar {x}})(x_{n,3}-{\bar {x}})+(x_{n,2}-{\bar {x}})(x_{n,3}-{\bar {x}})\right\},}$

どこ

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{3N}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}+x_{n,2}+x_{n,3}),}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{3N}}\left\{\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}-{\bar {x}})^{2}+\sum _{n=1}^{N}(x_{n,2}-{\bar {x}})^{2}+\sum _{n=1}^{N}(x_{n,3}-{\bar {x}})^{2}\right\}.}$

グループあたりの項目数が増えるにつれて、この式における交差項の数も増えます。以下の同等の形式の方が計算が簡単です。

${\displaystyle r={\frac {K}{K-1}}\cdot {\frac {N^{-1}\sum _{n=1}^{N}({\bar {x}}_{n}-{\bar {x}})^{2}}{s^{2}}}-{\frac {1}{K-1}},}$

ここで、Kはグループあたりのデータ値の数であり、${\displaystyle {\bar {x}}_{n}}$はn^番目のグループの標本平均です。^{[ 3 ]}この形式は通常ハリスによるものとされています。^{[ 4 ]}左辺の項は非負であるため、級内相関は以下を満たさなければなりません。

${\displaystyle r\geq {\frac {-1}{K-1}}.}$

Kが大きい場合、このICCはほぼ等しい。

${\displaystyle {\frac {N^{-1}\sum _{n=1}^{N}({\bar {x}}_{n}-{\bar {x}})^{2}}{s^{2}}},}$

これは、全分散のうちグループ間の変動に起因する割合として解釈できます。ロナルド・フィッシャーは、彼の古典的な著書『研究者のための統計的方法』の中で、クラス内相関に1章を丸ごと割いています。^{[ 3 ]}

完全にノイズで構成された母集団のデータの場合、フィッシャーの公式は0を中心とした分布を示すICC値を生成します。つまり、負の値になることもあります。これは、フィッシャーがこの公式を偏りのないものとなるように設計したため、推定値が過大評価されることもあれば、過小評価されることもあるからです。母集団の基となる値が小さい場合、または0の場合、標本から計算されたICCは負の値になる可能性があります。

ロナルド・フィッシャー以来、級内相関は分散分析（ANOVA）の枠組みの中で、そして近年ではランダム効果モデルの枠組みの中で考察されてきた。数多くの級内相関推定量が提案されている。これらの推定量のほとんどは、ランダム効果モデルの観点から定義することができる。

${\displaystyle Y_{ij}=\mu +\alpha _{j}+\varepsilon _{ij},}$

ここで、Y _ijはj^番目のグループのi^番目の観測値、μは観測されない全体平均、α _jはグループjのすべての値に共通する観測されないランダム効果、ε _ijは観測されないノイズ項です。^{[ 5 ]}モデルを識別するために、α _jとε _ijは期待値がゼロであり、互いに無相関であると仮定します。また、α _jは同一分布であると仮定し、ε _{ijも同一分布であると仮定します。α j}の分散は σ ² _αで表され、 ε _ijの分散はσ ² _εで表されます。

この枠組みにおける母集団ICCは^{[ 6 ]である。}

${\displaystyle {\frac {\sigma _{\alpha }^{2}}{\sigma _{\alpha }^{2}+\sigma _{\varepsilon }^{2}}}.}$

この枠組みでは、ICCは同じグループからの2つの観測値の相関関係を表す。

この ANOVA フレームワークの利点は、異なるグループが異なる数のデータ値を持つことができる点であり、これは以前の ICC 統計では扱いが難しい。この ICC は常に非負であるため、全分散のうち「グループ間」の割合として解釈できる。この ICC は、共変量効果を考慮するように一般化することができ、その場合、ICC は共変量調整済みデータ値のクラス内類似性を捉えるものとして解釈される。^{[ 8 ]}

この式は（フィッシャーの元の式とは異なり）決して負の値をとることはないため、ICCが0である母集団からのサンプルでは、​​サンプルのICCは母集団のICCよりも高くなります。

さまざまなICC統計量が提案されているが、それらすべてが同じ母集団パラメータを推定するわけではない。同じデータに対して著しく異なる結果を生み出す可能性があるため、特定の用途にどのICC統計量が適切かについてはかなりの議論がなされてきた。^{[ 9 ] [ 10 ]}

代数形式の観点から見ると、フィッシャーのオリジナルのICCは、ピアソン相関係数に最もよく似たICCです。この2つの統計量の重要な違いの1つは、ICCでは、プールされた平均と標準偏差を使用してデータが中心化およびスケーリングされるのに対し、ピアソン相関では、各変数が自身の平均と標準偏差で中心化およびスケーリングされる点です。ICCのこのプールされたスケーリングは、すべての測定値が同じ量（ただし、異なるグループの単位）であるため、理にかなっています。たとえば、各「ペア」が2つの単位それぞれに対して行われた単一の測定値（たとえば、一卵性双生児のペアの各双子の体重を測定する）であるペアデータセットでは、単一の単位に対する2つの異なる測定値（たとえば、各個人の身長と体重を測定する）ではなく、ICCはピアソン相関よりも自然な関連性の尺度です。

ピアソン相関係数の重要な特性の一つは、比較対象となる2つの変数にそれぞれ異なる線形変換を適用しても、その値が変化しないことです。例えば、XとYを相関させる場合、Y = 2X + 1とすると、X と Yのピアソン相関係数は1となり、完全な相関関係が成立します。ICC（級内相関係数）では、グループ内の各値にどの変換を適用するかを決定する基準がないため、この特性は意味を成しません。しかし、すべてのグループのすべてのデータに同じ線形変換を適用すれば、ICCは変化しません。  

ICCは、同じ量を測定する複数の観察者による測定値の一貫性、または適合性を評価するために使用されます。^{[ 11 ]} 例えば、複数の医師にCTスキャンの結果を評価して癌の進行の兆候をスコアリングするように依頼した場合、スコアが互いにどの程度一貫しているかを問うことができます。真実がわかっている場合（例えば、CTスキャンがその後探索手術を受けた患者のものである場合）、一般的には医師のスコアが真実とどの程度一致しているかに焦点が当てられます。真実がわからない場合は、スコア間の類似性のみを考慮できます。この問題の重要な側面は、観察者間変動と観察者内変動の両方があることです。観察者間変動とは、観察者間の系統的な違いを指します。たとえば、ある医師は、他の医師よりも一貫して高いリスクレベルで患者を評価する可能性があります。観察者内変動とは、特定の患者に対する特定の観察者のスコアの偏差で、系統的な違いの一部ではないものを指します。

ICCは、交換可能な測定値、つまりグループ内で測定値を意味のある順序で並べる方法がないグループ化されたデータに適用できるように構築されています。観察者間の一致性を評価する場合、同じ観察者が研究対象の各要素を評価すると、観察者間に系統的な差異が生じる可能性が高く、これは交換可能性の概念と矛盾します。系統的な差異が存在する状況でICCを使用すると、結果として観察者内変動と観察者間変動の複合的な尺度が得られます。交換可能性が妥当であると合理的に想定できる状況の1つは、採点対象の検体（たとえば血液検体）を複数のアリコートに分割し、同じ機器でアリコートを個別に測定する場合です。この場合、サンプルの測定順序による影響がない限り、交換可能性は維持されます。

級内相関係数は観察者内変動と観察者間変動の複合体であるため、観察者が交換不可能な場合、その結果の解釈は難しいと考えられることがあります。交換不可能な観察者間の一致度をより適切に評価する尺度として、コーエンのカッパ統計量、フリース・カッパ、一致相関係数^{[ 12 ]}などの代替尺度が提案されています。

ICC はオープンソースのソフトウェアパッケージRでサポートされています ( psyまたはirrパッケージの関数 "icc" を使用するか、 psychパッケージの関数 "ICC" を使用します )。rptRパッケージ^{[ 13 ]}は、混合モデルフレーム ワークでガウス分布、二項分布、ポアソン分布のデータに対する ICC と再現性の推定方法を提供します。特に、このパッケージでは調整済み ICC (つまり、他の変数を制御する) の推定が可能で、パラメトリックブートストラップに基づく信頼区間と残差の順列に基づく有意性を計算します。商用ソフトウェアも ICC をサポートしています。たとえば、StataやSPSS ^{[ 14 ]などです。}

3つのモデルは以下のとおりです。

• 一方向ランダム効果：各被験者は、ランダムに選択されたk人の評価者からなる異なるグループによって測定される。
• 双方向ランダム：k人の評価者がランダムに選ばれ、その後、各被験者は同じk人の評価者によって測定される。
• 双方向混合型：k人の固定評価者が定義される。各被験者はk人の評価者によって評価される。

測定回数：

• 単一測定：実験では複数の測​​定が行われる場合でも、信頼性は単一の評価者による単一の測定が行われる状況に適用されます。
• 平均測定：信頼性は、k人の評価者による測定値を各被験者ごとに平均化する状況に適用されます。

一貫性または完全な一致：

• 絶対的一致：2人の評価者間の一致が重要であり、これには両方の評価者の系統誤差とランダムな残差誤差が含まれる。
• 一貫性：同一評価者による繰り返し測定においては、評価者の系統誤差は相殺され、ランダムな残差誤差のみが残る。

一貫性ICCは、評価者間分散と残差分散を分離する方法がないため、一方向ランダム効果モデルでは推定できません。

Liljequist ら (2019) は、単一測定 ICC の 3 つのモデルの概要と再分析、およびそれらの使用のための代替レシピも提示している。^{[ 18 ]}

Cicchetti (1994) ^{[ 19 ]}は、カッパまたはICCの評価者間一致度指標の解釈に関する、よく引用される以下のガイドラインを示しています。

• 0.40未満――低い。
• 0.40～0.59の間であれば、まずまずです。
• 0.60～0.74の間であれば良好です。
• 0.75～1.00の間であれば、非常に優れている。

KooとLi（2016）は別のガイドラインを示している：^{[ 20 ]}

• 0.50未満：悪い
• 0.50～0.75：中程度
• 0.75～0.90の間：良好
• 0.90以上：素晴らしい

• 相関比
• デザイン効果
• 効果量#イータ二乗（η²）

• AgreeStat 360：クラウドベースの評価者間信頼性分析、コーエンのカッパ係数、グウェットのAC1/AC2係数、クリッペンドルフのアルファ係数、ブレナン・プレディガー係数、フリースの一般化カッパ係数、級内相関係数
• さまざまな種類のICCを計算できる便利なオンラインツール。Wayback Machineに2015年7月29日にアーカイブされました。
• 級内相関係数：データ駆動型意思決定のための実践ガイド