シンプレクティック分解

数学、特に表現論において、シンプレクティック解消とは、シンプレクティック幾何学と特異点解消を組み合わせた射である。^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle \pi :Y\to X}$は複素代数多様体間の射であり、${\displaystyle Y}$滑らかでシンプレクティック構造を持ち、${\displaystyle X}$アフィンであり、正規分布に従い、ポアソン構造を持つ。${\displaystyle \pi }$シンプレクティック分解であるのは、${\displaystyle \pi }$射影的、双有理的、かつポアソン分布に従う。 ^{[ 1 ]}

円錐シンプレクティック分解とは、$\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$両方において${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$これらの措置の下で、${\displaystyle X}$1点（0と表記）に縮退し、シンプレクティック形式は重み2でスケーリングされ、射は${\displaystyle \pi }$これらの動作と互換性がある。円錐状シンプレクティック分解のコアは中心ファイバーとして定義される。${\displaystyle F_{0}=\pi ^{-1}(0)}$円錐状のシンプレクティック分解は、トーラスのハミルトニアン作用を持つ場合、ハミルトニアンである。${\displaystyle T}$両方において${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$この場合、射は${\displaystyle \pi }$でなければなりません${\displaystyle T}$-同変で、${\displaystyle T}$円錐形と連動する動作$\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$アクション。さらに、固定点集合${\displaystyle Y^{T}}$有限でなければならない。^{[ 1 ]}

シンプレクティック分解の研究は、表現論における古典的な手法の自然な一般化として出現した。20 世紀の間、数学者たちは主に幾何学的手法を通して半単純リー代数の表現論を研究し、特に旗多様体とその余接束に焦点を当てた。^{[ 1 ]}

21世紀には、このアプローチはより一般的な枠組みへと発展し、旗多様体の伝統的な余接束はシンプレクティック分解に置き換えられました。この一般化は、幾何学と表現論の関係を理解する上で大きな進歩をもたらしました。古典的な半単純リー代数は、それに応じてアフィンポアソン多様体の変形量子化に置き換えられました。^{[ 1 ]}

• クーロン分岐
• ポアソン多様体
• シンプレクティック双対性
• シンプレクティック幾何学