離散スペクトル（数学）

数学、特にスペクトル理論において、閉じた線型作用素の離散スペクトルは、対応するリース射影子の階数が有限であるようなスペクトルの孤立点の集合として定義されます。

定義域を持つバナッハ空間の閉じた線型作用素のスペクトル 上の点は、次の2つの条件が満たされる場合、離散スペクトルに属すると言われる。 ^[1]${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)\subset {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(A)}$${\displaystyle A}$

1. ${\displaystyle \lambda}$は 内の孤立点です。${\displaystyle \sigma (A)}$
2. 対応するリース射影子のランクは有限です。 ${\displaystyle P_{\lambda }={\frac {-1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\Gamma }(A-zI_{\mathfrak {B}})^{-1 }\,dz}$

ここで はバナッハ空間における恒等演算子であり、 はの閉包における のスペクトルの唯一の点である開領域を囲む滑らかな単純な反時計回りの閉曲線である。つまり、${\displaystyle I_{\mathfrak {B}}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {C} }$${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \sigma (A)\cap {\overline {\Omega }}=\{\lambda \}.}$

離散スペクトルは、次の正規固有値の集合と一致する。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(A)}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(A)=\{{\mbox{A の正規固有値}\}.}$^{[2] [3] [4]}

一般に、リース射影の階数は対応する固有値のルート 線形の次元よりも大きくなる可能性があり、特に、、を持つことが可能です。したがって、次の包含関係があります。 ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }}$${\displaystyle \mathrm {dim} \,{\mathfrak {L}}_{\lambda }<\infty }$${\displaystyle \mathrm {ランク} \,P_{\lambda }=\infty }$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(A)\subset \{{\mbox{isolated points of the spectrum of }}A{\mbox{ with finite algebraic multiplicity}}\}.}$

特に、準零演算子

${\displaystyle Q:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} ),\qquad Q:\,(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )\mapsto (0,a_{1}/2,a_{2}/2^{2},a_{3}/2^{3},\dots ),}$

、、、が あり ます 。 ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(Q)=\{0\}}$${\displaystyle \mathrm {rank} \,P_{\lambda }=\infty }$${\displaystyle \sigma (Q)=\{0\}}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(Q)=\emptyset }$

演算子の離散スペクトルは、の固有値の集合として定義される点スペクトルと混同しないでください。離散スペクトルの各点は点スペクトルに属しますが、 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(A)}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(A)}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(A)\subset \sigma _{\mathrm {p} }(A),}$

逆は必ずしも真ではありません。点スペクトルは、必ずしもスペクトルの孤立した点から構成されるわけではありません。これは、左シフト演算子の例からわかります。 この演算子の場合、点スペクトルは複素平面の単位円であり、スペクトルは単位円の閉包ですが、離散スペクトルは空です。 ${\displaystyle L:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} ),\quad L:\,(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\dots ).}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(L)=\mathbb {D} _{1},\qquad \sigma (L)={\overline {\mathbb {D} _{1}}};\qquad \sigma _{\mathrm {disc} }(L)=\emptyset .}$

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