必須スペクトル

数学において、有界演算子（または、より一般的には、密に定義された 閉線形演算子）の本質スペクトルは、大まかに言えば「逆変換がうまくいかない」というタイプの条件によって定義される、そのスペクトルの特定のサブセットです。

形式的には、X をヒルベルト空間とし、T をX上の自己随伴作用素とします。

Tの本質スペクトルは、通常 σ _ess ( T ) と表記され、次の式を満たすすべての複素数λ の集合である。

${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$

はフレドホルム演算子ではありません。ここで、 はX上の恒等演算子を表すので、X内のすべてのxに対して が成り立ちます。(演算子は、その核と余核が有限次元である場合にフレドホルムです。) ${\displaystyle I_{X}}$${\displaystyle I_{X}(x)=x}$

本質的なスペクトルは常に閉じており、スペクトルのサブセットです。T は自己随伴なので、スペクトルは実軸上に含まれます。

本質スペクトルはコンパクトな摂動に対して不変です。つまり、K がX上のコンパクトな自己随伴演算子である場合、 Tの本質スペクトルと の本質スペクトルは一致します。これが本質スペクトルと呼ばれる理由です。Weyl (1910)はもともと、ある微分演算子の本質スペクトルを境界条件に依存しないスペクトルとして定義しました。 ${\displaystyle T+K}$

ワイルの基準は次の通りである。まず、数λがTのスペクトル内にあるのは、空間Xに次の数列{ψ _k }が存在する場合のみであり、 ${\displaystyle \Vert \psi _{k}\Vert =1}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|T\psi _{k}-\lambda \psi _{k}\right\|=0.}$

さらに、この条件を満たすシーケンスが存在するが、収束する部分シーケンスを含まない場合（たとえば、が正規直交シーケンスである場合）、λ は本質的なスペクトルにあります。このようなシーケンスは特異シーケンスと呼ばれます。 ${\displaystyle \{\psi _{k}\}}$

本質スペクトルはスペクトルσの部分集合であり、その補集合は離散スペクトルと呼ばれるので、

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(T)=\sigma (T)\setminus \sigma _{\mathrm {ess} }(T).}$

Tが自己随伴である場合、定義により、数λがTの離散スペクトル内にあるとは、それが有限重複度の孤立した固有値である場合であり、これは空間の次元が

${\displaystyle \span\{\psi \in X:T\psi =\lambda \psi \}}$

は有限だがゼロではない次元を持ち、 ε > 0 が存在して μ ∈ σ( T ) かつ |μ−λ| < ε であるということは、 μ と λ が等しいことを意味します。(バナッハ空間の一般的な非自己随伴演算子の場合、定義により、数が正規固有値である場合、その数は離散スペクトル内にあります。または、同等に、それがスペクトルの孤立点であり、対応するリース射影の階数が有限である場合、その数は離散スペクトル内にあります。) ${\displaystyle \lambda}$

X をバナッハ空間とし、 をX上の稠密な領域を持つ閉線型作用素とする。本質スペクトルの定義は複数あるが、それらは同等ではない。^[1]${\displaystyle T:\,X\to X}$ ${\displaystyle D(T)}$

1. 本質的なスペクトルは、半フレドホルムではないすべての λ の集合です(演算子は、その値域が閉じており、その核または余核が有限次元である場合に半フレドホルムです)。${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$
2. 本質的なスペクトルは、の範囲が閉じていないか、 の核が無限次元であるようなすべての λ の集合です。${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)}$${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$
3. 本質的なスペクトルは、フレドホルムではないすべての λ の集合です(演算子は、その値域が閉じており、その核と余核の両方が有限次元である場合にフレドホルムです)。${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)}$${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$
4. 本質的なスペクトルは、インデックスが 0 のフレドホルムではないすべての λ の集合です(フレドホルム演算子のインデックスは、カーネルの次元とコカーネルの次元の差です)。${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)}$${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$
5. 本質的なスペクトルは、 σ _ess,1 ( T )と、レゾルベントセットと交差しないすべての成分との和集合です。${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$

上記で定義した各基本スペクトル、は閉じている。さらに、 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$${\displaystyle 1\leq k\leq 5}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\subset \sigma (T)\subset \mathbb {C} ,}$

これらの包含はいずれも厳密である可能性がある。自己随伴演算子の場合、上記の必須スペクトルの定義はすべて一致する。

基本スペクトルの 半径を次のように定義する。

${\displaystyle r_{\mathrm {ess} ,k}(T)=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)\}.}$

スペクトルは異なる可能性がありますが、半径はすべてのkに対して同じです。

集合の定義はワイルの基準と同等であり、特異なシーケンスが存在するすべての λ の集合です。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)}$

本質スペクトルはk = 1,2,3,4の場合にはコンパクト摂動に対して不変であるが、k = 5の場合には不変ではない。この集合はコンパクト摂動に依存しないスペクトルの部分を与える。つまり、 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (T+K),}$

ここで、X上のコンパクト演算子の集合を表します(DE Edmunds および WD Evans、1987)。 ${\displaystyle B_{0}(X)}$

閉じた密に定義された演算子Tのスペクトルは、互いに素な和集合に分解できる。

${\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\bigsqcup \sigma _{\mathrm {d} }(T)}$、

ここで、Tの離散スペクトルです。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(T)}$

• スペクトル（機能解析）
• 解決形式主義
• スペクトルの分解（関数解析）
• 離散スペクトル（数学）
• オペレータのスペクトル
• 作用素理論
• フレドホルム理論

自己随伴ケースについては、

• リード、マイケル C. ;サイモン、バリー(1980)、現代数理物理学の方法: 関数解析、第 1 巻、サンディエゴ: アカデミック プレス、ISBN 0-12-585050-6
• テシュル、ジェラルド(2009)。量子力学の数学的手法、シュレーディンガー作用素への応用。アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-4660-5。

一般演算子のスペクトルに関する議論は、

• DE Edmunds と WD Evans (1987)、「スペクトル理論と微分演算子」、オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-853542-2。 

本質的なスペクトルの元々の定義は

• H. Weyl (1910)、「Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen」、Mathematische Annalen 68、220–269。