厳密に特異な演算子

数学の一分野である関数解析において、厳密に特異な演算子は、任意の無限次元部分空間上で下方に有界ではない、ノルム空間間の 有界線型演算子 です。

XとY をノルム線型空間とし、の形式の有界作用素の空間をB(X,Y)で表します。を任意の部分集合とします。に対して不等式が成り立つような定数が存在するときはいつでも、 T はの下で有界であるといいます。 A=Xの場合は、単にT はの下で有界であるといいます。 ${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle c\in (0,\infty )}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle \|Tx\|\geq c\|x\|}$

ここで、XとY がバナッハ空間であり、 と がそれぞれの恒等演算子を表すものとします。 が任意の に対してフレドホルム演算子である場合、演算子は非本質的と呼ばれます。 同様に、が任意の に対してフレドホルムである場合に限り、Tは非本質的です。内のすべての非本質的演算子の集合を で表します。 ${\displaystyle Id_{X}\in B(X)}$${\displaystyle Id_{Y}\in B(Y)}$${\displaystyle T\in B(X,Y)}$${\displaystyle Id_{X}-ST}$${\displaystyle S\in B(Y,X)}$${\displaystyle Id_{Y}-TS}$${\displaystyle S\in B(Y,X)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}$${\displaystyle B(X,Y)}$

演算子は、Xの任意の無限次元部分空間上で下方に有界にならないときはいつでも、厳密に特異であるといいます。 におけるすべての厳密に特異な演算子の集合を で表します。 各 に対して が存在して、 を満たす X のすべての部分空間 E に対して が存在するときはいつでも、 が有限に厳密に特異であるといいます。におけるすべての有限に厳密に特異な演算子の集合を で表します。 ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle T\in B(X,Y)}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle {\text{dim}}(E)\geq n}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle \|Tx\|<\epsilon \|x\|}$${\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}$${\displaystyle B(X,Y)}$

X内の閉じた単位球をで表します。 がYの相対的にノルムコンパクトな部分集合である場合、演算子はコンパクトであり、 はそのようなコンパクトな演算子すべての集合で表されます。 ${\displaystyle B_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$${\displaystyle T\in B(X,Y)}$${\displaystyle TB_{X}=\{Tx:x\in B_{X}\}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$

厳密に特異な演算子は、コンパクト演算子の一般化として見ることができます。これは、すべてのコンパクト演算子が厳密に特異であるためです。これら 2 つのクラスは、いくつかの重要な特性を共有しています。たとえば、Xがバナッハ空間で、TがB(X)内の厳密に特異な演算子である場合、そのスペクトルは 次の特性を満たします。(i)の濃度は最大でも可算である。(ii) ( Xが有限次元である自明な場合を除く)。(iii)の唯一の可能な極限点はゼロである。 (iv) ゼロ以外の値はすべて固有値である。(i)-(iv) からなるこの同じ「スペクトル定理」は、 B(X)内の非本質的演算子に対しても満たされます。 ${\displaystyle \sigma (T)}$${\displaystyle \sigma (T)}$${\displaystyle 0\in \sigma (T)}$${\displaystyle \sigma (T)}$${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$

クラス、、、およびはすべてノルム閉じた作用素イデアルを形成します。つまり、XとY がバナッハ空間である場合、成分空間、、、およびはそれぞれB(X,Y)の閉じた部分空間 (作用素ノルム内) であり、クラスは任意の有界線型作用素との合成に対して不変です 。${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {FSS}}}$${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}$

一般に、 が成り立ち、 XとYの選択に応じて、それぞれの包含関係は厳密である場合もそうでない場合もあります。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)\subset {\mathcal {FSS}}(X,Y)\subset {\mathcal {SS}}(X,Y)\subset {\mathcal {E}}(X,Y)}$

,に対するすべての有界線型写像 は厳密に特異です。ここで、および は数列空間です。同様に、に対するすべての有界線型写像および は厳密に特異です。ここで はゼロに収束する数列のバナッハ空間です。これは、 q  <  pに対してそのようなT はコンパクトであるというピットの定理の系です。 ${\displaystyle T:\ell _{p}\to \ell _{q}}$${\displaystyle 1\leq q,p<\infty }$${\displaystyle p\neq q}$${\displaystyle \ell_{p}}$${\displaystyle \ell_{q}}$${\displaystyle T:c_{0}\to \ell _{p}}$${\displaystyle T:\ell _{p}\to c_{0}}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\displaystyle c_{0}}$

の場合、形式的な恒等演算子は有限に厳密に特異ですが、コンパクトではありません。 の場合、 、のコピー上で一様下方に有界である「ペルチンスキー演算子」が存在し、したがって厳密に特異ですが、有限に厳密に特異ではありません。 この場合は となります。 しかし、共域を持つすべての非本質的演算子は厳密に特異であるため、 となります。 一方、Xが任意の可分バナッハ空間の場合、いずれも非本質的であるが厳密に特異ではない、下方に有界な演算子が存在します。 したがって、特に、すべての に対して となります。 ${\displaystyle 1\leq p<q<\infty }$${\displaystyle I_{p,q}\in B(\ell _{p},\ell _{q})}$${\displaystyle 1<p<q<\infty }$${\displaystyle B(\ell _{p},\ell _{q})}$${\displaystyle \ell _{2}^{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})}$${\displaystyle \ell _{q}}$${\displaystyle {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})={\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{q})}$${\displaystyle T\in B(X,\ell _{\infty })}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{\infty })}$${\displaystyle 1<p<\infty }$

コンパクト演算子は対称イデアルを形成します。これは、の場合に限り であることを意味します。ただし、クラス、、または の場合は当てはまりません。双対関係を確立するために、追加のクラスを導入します。 ${\displaystyle T\in {\mathcal {K}}(X,Y)}$${\displaystyle T^{*}\in {\mathcal {K}}(Y^{*},X^{*})}$${\displaystyle {\mathcal {FSS}}}$${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Z がバナッハ空間Yの閉部分空間である場合、自然なマッピングによって定義される「標準的な」全射が 存在します。 Yの無限余次元閉部分空間Zが与えられたときにマップが全射にならない場合、演算子は厳密に余特異と呼ばれます。 B(X,Y)の厳密に余特異な演算子の部分空間を で表します。 ${\displaystyle Q_{Z}:Y\to Y/Z}$${\displaystyle y\mapsto y+Z}$${\displaystyle T\in B(X,Y)}$${\displaystyle Q_{Z}T}$${\displaystyle {\mathcal {SCS}}(X,Y)}$

定理 1. XとY をバナッハ空間と し、 とします。T *が厳密に特異 (または厳密に余弦) であれば、T は厳密に余弦 (または厳密に特異) です。 ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$

厳密に特異な演算子であっても、その随伴関数が厳密に特異でも厳密に余特異でもない例があることに注意してください (Plichko、2004 を参照)。同様に、包含写像 など、厳密に余特異な演算子であっても随伴関数が厳密に特異ではない場合があります。したがって、 はと完全な双対性はありません。 ${\displaystyle I:c_{0}\to \ell _{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$${\displaystyle {\mathcal {SCS}}}$

定理 2. XとY をバナッハ空間と し、 とする。T *が非本質的であれば、 Tも非本質的である。 ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$

Aiena、Pietro、Fredholm、および局所スペクトル理論、乗数への応用(2004)、ISBN  1-4020-1830-4。

Plichko, Anatolij、「超特異演算子と超特異演算子」、North-Holland Mathematics Studies 197 (2004)、pp239-255。