閉じた線形演算子

数学の一分野である関数解析において、閉じた線型演算子または閉じた演算子とは、グラフが閉じている線型演算子のことである（閉じたグラフの性質を参照）。これは、無限演算子の基本的な例である。

閉グラフ定理によれば、バナッハ空間間の線型演算子は、有界演算子である場合に限り、閉演算子となります。したがって、実際に使用される閉線型演算子は、通常、バナッハ空間の 稠密な部分空間上でのみ定義されます。

関数解析では、ある空間の部分集合上で定義される関数である部分関数を考えるのが一般的です。 部分関数は、プロトタイプを持つことを示す表記法で宣言されます（つまり、その定義域は で、その余定義域は です）。 ${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:D\to Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Y}$

特に、すべての部分関数は関数であるため、関数に関するすべての用語を部分関数に適用できます。たとえば、部分関数のグラフは集合 です 。ただし、これには「閉グラフ」の定義という例外があります。が積位相のの閉部分集合である場合、部分関数は閉グラフを持つと言われます。重要な点として、積空間は であり、通常の関数に対して上で定義されたものではないことに注意してください。対照的に、が通常の関数 (部分関数 ではなく) と見なされる場合、「閉グラフを持つ」とは、が の閉部分集合であることを意味します。 が の閉部分集合である場合、 は の閉部分集合でもありますが、その逆は一般には保証されません。 ${\displaystyle f}$${\textstyle \operatorname {graph} {\!(f)}=\{(x,f(x)):x\in \operatorname {dom} f\}.}$${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle D\times Y=\operatorname {dom} f\times Y}$${\displaystyle f:D\to Y}$${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle D\times Y.}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \operatorname {dom} (f)\times Y}$

定義: XとY が位相ベクトル空間(TVS)である場合、そのグラフがX ×  Yで閉じているとき、線型写像 f  : D ( f ) ⊆ X → Y を閉じた線型作用素と呼びます。

線形演算子は${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$で閉包可能であるとは${\displaystyle X\times Y}$ を含むベクトル部分空間 が存在し、そのグラフが の集合の閉包に等しい関数（または多関数）が存在する場合である。このような はにおけるの閉包と呼ばれ、 で表され、必然的に を拡張する。${\displaystyle E\subseteq X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F:E\to Y}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle X\times Y.}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle {\overline {f}},}$${\displaystyle f.}$

が閉包可能な線型演算子である場合、${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$コアまたはの本質的定義域は、への制限のグラフのにおける閉包がにおけるのグラフの閉包に等しいよう部分集合であるにおけるの閉包はにおけるの閉包に等しい）。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle C\subseteq D}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle f{\big \vert }_{C}:C\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \operatorname {graph} f{\big \vert }_{C}}$${\displaystyle X\times Y}$

有界演算子は閉じた演算子です。以下は有界でない閉じた演算子の例です。

• がハウスドルフTVSで、が上のベクトル位相であり、がそれよりも厳密に細かい 場合、恒等写像は閉じた不連続線型作用素である。^[1]${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle \operatorname {Id} :(X,\tau )\to (X,\nu )}$
• 区間上の連続関数全体のバナッハ空間である微分作用素 を考える 。その定義域をとれば、は閉じた作用素となり、有界ではない。^[2] 一方、滑らかな関数の空間をスカラー値関数とすると、は閉じたものではなくなるが、閉包可能となり、閉包は${\displaystyle A={\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle X=Y=C([a,b])}$ ${\displaystyle [a,b].}$${\displaystyle D(f)}$${\displaystyle C^{1}([a,b]),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D(f)}$${\displaystyle C^{\infty }([a,b])}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{1}([a,b]).}$

バナッハ空間間の 線形演算子f  : D ( f ) ⊆ X → Yについて、次の性質は簡単に確認できます。

• Aが閉じている場合、 A − λ Id _{D ( f )}は閉じています。ここでλはスカラー、Id _{D ( f )}は恒等関数です。
• fが閉じている場合、その核（または零空間）はXの閉じたベクトル部分空間です。
• fが閉じていて単射であれば、その逆関数 f  ⁻¹も閉じています。
• 線型作用素f が閉包を持つのは、任意のx ∈ Xおよび任意のシーケンスのペアx _• = ( x _i )に対して、^∞
  _{i =1}そしてy _• = ( y _i )^∞
  _{i =1}D ( f )では両方ともXのxに収束し、両方ともf ( x _• ) = ( f ( x _i ))^∞
  _{i =1}そして、f ( y _• ) = ( f ( y _i ))^∞
  _{i =1}Yで収束する場合、lim _{i → ∞} fx _i = lim _{i → ∞} fy _iが成立します。

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