関数を変換する線形数学演算子
数学 、特に 関数解析 において 、 シフト演算子は 変換演算子 とも呼ばれ 、 関数 x ↦ f ( x )
をその 変換 x ↦ f ( x + a ) に変換する 演算子 です。 [1] 時系列解析 では 、シフト演算子は ラグ演算子 と呼ばれます。
シフト演算子は線型演算子 の例であり 、その単純さと自然発生性から重要である。 実変数の関数に対するシフト演算子の作用は 調和解析 において重要な役割を果たし 、例えば、 概周期関数 、 正定値関数 、 導関数 、 畳み込み の定義に現れる。 [2]シーケンス（整数変数の関数）のシフトは、 ハーディ空間、 アーベル多様体 の理論、 記号力学 の理論 など、さまざまな分野で現れ、 ベーカーの写像は それらを 明示的に表現する。 三角圏の概念は、シフト演算子の カテゴリ化された 類似物である 。
意味
実変数の関数 シフト演算子 T t (ここで ) は、
t ∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
上の 関数 f を その変換 f t に取ります。
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
T
t
ふ （ x ） =
ふ
t
（ x ） = ふ （ x + t ）
。
{\displaystyle T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.}
線形演算子 T t の平導関数 による実用的な 演算表現は 、ラグランジュ によって導入された 。
d
d x
{\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}
T
t
=
e
t
d
d x
、
{\displaystyle T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,}
これはt における形式的な テイラー展開 を通して操作的に解釈することができ 、単項式 x n に対するその作用は二項定理 によって明らかであり 、したがって x のすべての級数 、したがって上記のすべての関数 f ( x ) に対しても明らかである。 [3] したがって、これはヘヴィサイドの計算におけるテイラー展開の形式的なコード化である。
この演算子は、アーベル群に対するリーの有名な 移流流 のプロトタイプ [4] を提供します。
経験
（
t β （ x ）
d
d x
）
ふ （ x ） = 経験
（
t
d
d h
）
ふ （ h ） = ふ （ h + t ） = ふ
（
h
− 1
（ h （ x ） + t ）
）
、
{\displaystyle \exp \left(t\beta (x){\frac {d}{dx}}\right)f(x)=\exp \left(t{\frac {d}{dh}}\right)F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),}
ここで、標準座標 h （ アーベル関数 ）は次のように定義される。
h ′
（ x ） ≡
1
β （ x ）
、 ふ （ x ） ≡ ふ （ h （ x ） ） 。
{\displaystyle h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).}
例えば、 収量はスケーリングすることが容易にわかります。
β （ x ） = x
{\displaystyle \beta (x)=x}
経験
（
t x
d
d x
）
ふ （ x ） = ふ （
e
t
x ） 、
{\displaystyle \exp \left(tx{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f(e^{t}x),}
したがって （パリティ）；同様に、
[5] が得られる。
経験
（
私 π x
d
d x
）
ふ （ x ） = ふ （ − x ）
{\displaystyle \exp \left(i\pi x{\tfrac {d}{dx}}\right)f(x)=f(-x)}
β （ x ） =
x
2
{\displaystyle \beta (x)=x^{2}}
経験
（
t
x
2
d
d x
）
ふ （ x ） = ふ
（
x
1 − t x
）
、
{\displaystyle \exp \left(tx^{2}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),}
β （ x ） =
1 x
{\displaystyle \beta (x)={\tfrac {1}{x}}}
収穫
経験
（
t x
d
d x
）
ふ （ x ） = ふ
（
x
2
+ 2 t
）
、
{\displaystyle \exp \left({\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),}
β （ x ） =
e
x
{\displaystyle \beta (x)=e^{x}}
収穫
経験
（
t
e
x
d
d x
）
ふ （ x ） = ふ
（
行
（
1
e
− x
− t
）
）
、
{\displaystyle \exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),}
等
流れの初期条件と群の性質はリー流全体を完全に決定し、並進関数方程式 [6]の解を与える。
ふ
t
（
ふ
τ
（ x ） ） =
ふ
t + τ
（ x ） 。
{\displaystyle f_{t}(f_{\tau}(x))=f_{t+\tau}(x).}
シーケンス 左 シフト 演算子は、片側 無限 数列に対して次のよう
に作用する。
S
∗
: （
1つの
1
、
1つの
2
、
1つの
3
、 … ） ↦ （
1つの
2
、
1つの
3
、
1つの
4
、 … ）
{\displaystyle S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )}
そして、両側無限列では
T : （
1つの
け
）
け = − ∞
∞
↦ （
1つの
け + 1
）
け = − ∞
∞
。
{\displaystyle T:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k\,=\,-\infty } ^{\infty }.}
右 シフト 演算子は、片側 無限 数列に対して次のよう
に作用する。
S : （
1つの
1
、
1つの
2
、
1つの
3
、 … ） ↦ （ 0 、
1つの
1
、
1つの
2
、 … ）
{\displaystyle S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )}
そして、両側無限列では
T
− 1
: （
1つの
け
）
け = − ∞
∞
↦ （
1つの
け − 1
）
け = − ∞
∞
。
{\displaystyle T^{-1}:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k\,=\ ,-\infty }^{\infty }.}
両側無限シーケンスに作用する右シフト演算子と左シフト演算子は、 双方向 シフトと呼ばれます。
アーベル群 一般に、上に示したように、 F が アーベル群 G 上の関数であり 、 h が G の元である場合 、シフト演算子 T g は F を[6] [7] に 写像する。
ふ
グ
（ h ） = ふ （ h + グ ） 。
{\displaystyle F_{g}(h)=F(h+g).}
シフト演算子の特性 実数値または複素数値の関数またはシーケンスに作用するシフト演算子は、 関数解析に現れる標準的な ノルム のほとんどを保存する線形演算子です。したがって、通常はノルムが 1 の
連続演算子です。
ヒルベルト空間上の作用 両側シーケンスに作用するシフト演算子は、 上の ユニタリ演算子 です。実変数の関数に作用するシフト演算子は、 上のユニタリ演算子です。
ℓ
2
（
ず
） 。
{\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} ).}
ら
2
（
R
） 。
{\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ).}
どちらの場合も、（左）シフト演算子はフーリエ変換と次の交換関係を満たします。
ここで、 M t は exp( itx ) による 乗算演算子 です。したがって、 T t のスペクトルは 単位円です。
ふ
T
t
=
ま
t
ふ
、
{\displaystyle {\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},}
に作用する 片側シフト S は、最初の 座標で消えるすべての ベクトル に等しい 範囲 を持つ 適切な等 長 変換 です 。演算子 S は、 yが 内のベクトルであり、i ≥ 0 の場合は y i = x i 、i < 0 の場合は y i = 0 である
という 意味 で 、 T −1 の 圧縮 です 。 この 観察 は 、 等長 変換 の 多く
の ユニタリ 拡大 構成 の中心にあります 。
ℓ
2
（
いいえ
）
{\displaystyle \ell_{2}(\mathbb{N})}
T
− 1
ええ = S x
それぞれ
x ∈
ℓ
2
（
いいえ
） 、
{\displaystyle T^{-1}y=Sx{\text{ }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ) ごとに}
ℓ
2
（
ず
）
{\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} )}
S の スペクトル は 単位円 です 。シフト Sは フレドホルム演算子 の一例であり 、フレドホルム指数は -1 です。
一般化 ジャン・デルサルトは 一般化シフト演算子 （ 一般化変位演算子 とも呼ばれる）の概念を導入し、それは ボリス・レヴィタン によってさらに発展させられました 。 [2] [8] [9]
集合 Xから への関数の 空間 Φに作用する 演算
{
ら
x
}
x ∈ バツ
{\displaystyle \{L^{x}\}_{x\in X}}
子の族は 、 次の性質が成り立つ場合、一般化シフト演算子の族と呼ばれます。
Ｃ
{\displaystyle \mathbb {C} }
結合性 : let Then
（
R
ええ
ふ ） （ x ） = （
ら
x
ふ ） （ ええ ） 。
{\displaystyle (R^{y}f)(x)=(L^{x}f)(y).}
ら
x
R
ええ
=
R
ええ
ら
x
。
{\displaystyle L^{x}R^{y}=R^{y}L^{x}.}
X には e が 存在し 、 L e は 恒等演算子 です 。 この場合、集合 X は 超群 と呼ばれます 。
参照
注記
^ Weisstein, Eric W. 「シフト演算子」 。MathWorld 。 ^ ab Marchenko, VA (2006). 「一般化されたシフト、変換演算子、逆問題」。20 世紀の数学的出来事 。 ベルリン: Springer。pp. 145–162。doi : 10.1007 /3-540-29462-7_8。ISBN 978-3-540-23235-3 . MR 2182783。 ^ ジョーダン、チャールズ、(1939/1965)。 有限差分法 、(AMS Chelsea Publishing)、 ISBN 978-0828400336 。 ^ M Hamermesh (1989)、 「群論と物理的問題へのその応用
(Dover Books on Physics)」、Hamermesh ISBM 978-0486661810、第8-6章、pp 294-5、オンライン。 ^ Georg Scheffers (1891) の p 75: Sophus Lie、Vorlesungen Moeber Differentialgleichungen Mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen 、 Teubner、ライプツィヒ、1891。ISBN 978-3743343078 オンライン ^ ab Aczel, J (2006)、 「関数方程式とその応用に関する講義」 （Dover Books on Mathematics、2006）、第6章、 ISBN 978-0486445236 。 ^ 「1パラメータ連続グループは、翻訳グループと同等です」。M Hamermesh、 同上 。 ^ レビタン、BM ; リトビノフ、GL (2001) [1994]、「一般化変位演算子」、 数学百科事典 、 EMS プレス ^ Bredikhina, EA (2001) [1994]、「ほぼ周期関数」、 数学百科事典 、 EMS Press
文献 パーティントン、ジョナサン R. (2004 年 3 月 15 日)。 線形演算子と線形システム 。ケンブリッジ大学出版局。doi : 10.1017/ cbo9780511616693。ISBN 978-0-521-83734-7 。 マーヴィン・ローゼンブラムとジェームズ・ロヴニャック著『 ハーディクラスと作用素理論 』（1985年）オックスフォード大学出版局。 
