シンク関数

数学、物理学、工学において、sinc関数（/ˈsɪŋk / SINK）はsinc ( x )と表記され、以下のように定義される 。$${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin x}{x}}.}$$ または $${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},}$$

後者は正規化シンク関数と呼ばれることもある。2つの定義の唯一の違いは、独立変数（x軸）をπ倍にスケーリングすることである。どちらの場合も、除去可能な特異点であるゼロにおける関数の値は極限値1であると理解される。したがって、シンク関数は至るところで解析的であり、整関数である。

正規化sinc関数は、スケーリングを行わない矩形関数のフーリエ変換です。これは、信号の等間隔サンプルから連続的な帯域制限信号を再構成する概念において使用されます。sincフィルタは信号処理において用いられます。

この関数自体は、レイリー卿が第一種零次球面ベッセル関数の式（レイリーの公式）の中で、この形で初めて数学的に導出したものである。

シンク関数は、基底正弦関数とも呼ばれます。

sinc関数には、正規化された形式と正規化されていない形式の2種類があります。^{[ 1 ]}

数学では、正規化されていない歴史的なsinc関数は、 x ≠ 0に対して次のよう に定義されます。$${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin x}{x}}.}$$

あるいは、正規化されていないsinc関数は、サンプリング関数と呼ばれることが多く、Sa( x )と表記される。^{[ 2 ]}

デジタル信号処理と情報理論では、正規化されたsinc関数は、 x ≠0の 場合、一般的に次のように定義されます。$${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.}$$

いずれの場合も、 x = 0の値は極限値として定義される。 $${\displaystyle \operatorname {sinc} (0):=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}$$すべての実数a ≠ 0に対して(極限は、はさみうちの定理を使用して証明できます)。

正規化により、実数全体にわたる関数の定積分は 1 になります (正規化されていない sinc 関数の同じ積分はπになります)。さらに便利な性質として、正規化された sinc 関数の零点は、xの非零整数値になります。

この関数は、カーディナルサインまたはサインカーディナル関数とも呼ばれています。^{[ 3 ] [ 4 ]}「sinc」という用語は、この関数の完全なラテン語名sinus cardinalis ^{[ 5 ]}の短縮形であり、 Philip M. Woodwardと IL Davies が 1952 年の論文「情報理論と通信における逆確率」で導入し、「この関数はフーリエ解析とその応用で非常に頻繁に現れるため、独自の表記法に値すると思われる」と述べています。^{[ 6 ]}また、Woodward の 1953 年の著書「確率と情報理論、レーダーへの応用」でも使用されています。^{[ 5 ] [ 7 ]} 

正規化されていないsinc関数のゼロ交差はπの非ゼロの整数倍で発生するが、正規化されたsinc関数のゼロ交差は非ゼロの整数で発生する。

正規化されていないsinc関数の局所極値は、コサイン関数との交点に対応します。つまり、sin ( ξ ) / ξ = cos( ξ )がすべての点ξに対して成り立ち、 sin ( x ) / xの導関数がゼロになるため、局所極値に達します。これはsinc関数の導関数から導かれます。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\begin{cases}{\dfrac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}.}$$

正のx座標を持つn番目の極値のx座標に関する無限級数の最初の数項は次のとおりである。$${\displaystyle x_{n}=qq^{-1}-{\frac {2}{3}}q^{-3}-{\frac {13}{15}}q^{-5}-{\frac {146}{105}}q^{-7}-\cdots ,}$$ どこ $${\displaystyle q=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi ,}$$ また、奇数nの場合は局所最小値、偶数nの場合は局所最大値となる。y 軸に関する対称性により、 x座標− x _nに極値が存在する。さらに、 ξ ₀ = (0, 1)に絶対最大値が存在する。

正規化されたsinc関数は、無限積として単純に表現できます。 $${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$$

そして、オイラーの反射公式を通して、ガンマ関数Γ( x )およびガウスのπ関数と関連付けられる。 $${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}={\frac {1}{\Pi (x)\Pi (-x)}}.}$$

オイラーは^{[ 8 ]}​ $${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right),}$$ そして、積和恒等式^{[ 9 ]により}

$${\displaystyle \prod _{n=1}^{k}\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)={\frac {1}{2^{k-1}}}\sum _{n=1}^{2^{k-1}}\cos \left({\frac {n-1/2}{2^{k-1}}}x\right),\quad \forall k\geq 1,}$$ オイラーの積は和として書き換えることができる $${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \left({\frac {n-1/2}{N}}x\right).}$$

正規化されたsinc関数（通常の周波数）の連続フーリエ変換はrect ( f )です。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),}$$ ここで、矩形関数は引数が− 1/2から1/2の間の場合に 1 となり、それ以外の場合は 0 となります。これは、 sinc フィルタが理想的な (ブリックウォール、つまり矩形周波数応答)ローパスフィルタであるという事実に対応します。

このフーリエ積分は、特別な場合を含めて $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1}$$これは広義積分（ディリクレ積分を参照） であり、収束するルベーグ積分ではない。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .}$$

正規化されたsinc関数は、サンプリングされた帯域制限関数の補間において理想的な特性を備えています。

• これは補間関数であり、sinc(0) = 1、非ゼロ整数kに対してはsinc( k ) = 0 となります。
• 関数x _k ( t ) = sinc( t − k ) ( k は整数) は、最高角周波数ω _H = π (つまり、最高サイクル周波数f _H = 1 / 2 )を持つ関数空間L ² ( R )の帯域制限関数の正規直交基底を形成します。

これら2つのsinc関数のその他の特性は以下のとおりです。

• 正規化されていないsinc関数は、第1種零次球面ベッセル関数j ₀ ( x )です。正規化されたsinc関数はj ₀ (π x )です。
• ここでSi( x )は正弦積分であり、$${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x).}$$
• λ sinc( λx ) (正規化されていない) は、線形常微分方程式の 2 つの線形独立解のうちの 1 つです。$${\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.}$$もう一つは⁠ cos( λx ) / x ⁠で、これは対応する sinc 関数とは異なり、x = 0で有界ではありません。
• 正規化されたsinc関数を使用して、$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \quad \Rightarrow \quad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1,}$$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}.}$
• 以下の広義積分には、（正規化されていない）sinc関数が含まれています。$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}})}}.}$$

正規化されたsinc関数は、初期デルタ関数として使用でき、次の弱極限が成り立つことを意味します。

$${\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).}$$

これは通常の極限ではありません。なぜなら、左辺は収束しないからです。むしろ、それは次のことを意味します。

$${\displaystyle \lim _{a\to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)}$$

フーリエ反転定理からわかるように、すべてのシュワルツ関数に対して、上記の式では、a → 0のとき、sinc 関数の単位長さあたりの振動数は無限大に近づきます。しかしながら、式は常に± ⁠ 1 / π x ⁠の包絡線内で振動し、 aの値に関係なく、その状態が続きます。

これは、 x = 0以外のすべてのxに対してδ ( x )がゼロであるという非公式なイメージを複雑にし、デルタ関数を分布ではなく関数として考えることの問題点を示しています。同様の状況はギブス現象にも見られます。

また、標準的なディラック表現とすぐに関連付けることもできます。${\displaystyle \delta (x)}$書くことによって${\displaystyle b=1/a}$そして

$${\displaystyle \lim _{b\to \infty }{\frac {\sin \left(b\pi x\right)}{\pi x}}=\lim _{b\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-b\pi }^{b\pi }e^{ikx}dk={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx}dk=\delta (x),}$$

これは、デルタが積分の無限帯域幅極限として回復されることを明確に示している。

このセクションにおけるすべての合計値は、正規化されていないsinc関数に関するものです。

1から∞までの整数nに対するsinc( n )の合計は、π − 1 / 2に等しい。

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$$

平方和も⁠ π − 1 / 2 ⁠に等しい: ^{[ 10 ] [ 11 ]}

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)+\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)+\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$$

加数の 符号が交互になり、+ から始まる場合、和は 1/2になります。$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)-\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)-\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$$

^{平方数と立方数の}交互和も1/2に等しい: [ 12 ^]$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)-\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)-\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}},}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{3}(n)=\operatorname {sinc} ^{3}(1)-\operatorname {sinc} ^{3}(2)+\operatorname {sinc} ^{3}(3)-\operatorname {sinc} ^{3}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$$

正規化されていないsinc関数のテイラー級数は、sin関数のテイラー級数から得ることができます（sin関数もx =0で1の値をとります）。 $${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }$$

この級数はすべてのxに対して収束する。正規化されたバージョンは容易に導出できる。 $${\displaystyle {\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5!}}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7!}}+\cdots }$$

オイラーは、この級数をバーゼル問題を解くための無限積形式の展開になぞらえたことで有名である。

1 次元 sinc 関数の積は、正方形のデカルト格子 (格子)の多変数sinc 関数を容易に提供します。sinc C ( x , y ) = sinc( x ) sinc( y )で_あり、そのフーリエ変換は周波数空間の正方形 (つまり、2 次元空間で定義されたレンガの壁) の指示関数です。非デカルト格子(たとえば、六角形格子)の sinc 関数は、その格子のブリルアンゾーンの指示関数であるフーリエ変換を持つ関数です。たとえば、六角形格子の sinc 関数は、周波数空間の単位六角形の指示関数であるフーリエ変換を持つ関数です。非デカルト格子の場合、この関数は単純なテンソル積では得られません。しかし、ブリルアンゾーンの幾何学的性質とゾノトープとの関連を利用することで、六方格子、体心立方格子、面心立方格子、その他の高次元格子のsinc関数の明示的な公式を明示的に導出することができる^{[ 13 ]}。

例えば、ベクトルの （整数）線形スパンによって六角格子を生成できます。$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}.}$$

示す $${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{1}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{1},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{2}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{2},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{3}=-{\tfrac {2}{3}}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}),\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$$この六角格子に対するsinc関数は ^{[ 13 ]}のよう に導出できる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sinc} _{\text{H}}(\mathbf {x} )={\tfrac {1}{3}}{\big (}&\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right){\big )}.\end{aligned}}}$$

この構成は、一般的な多次元格子に対するランチョス窓の設計に使用できます。 ^{[ 13 ]}

一部の著者は類推により双曲線正弦基数関数を定義している。^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

${\displaystyle \mathrm {sinhc} (x)={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {\sinh(x)}{x}},}&{\text{if }}x\neq 0\\{\displaystyle 1,}&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$

• アンチエイリアシングフィルタ– エイリアシングによる損傷を軽減する数学的変換 
• ボルウェイン積分– 数学的積分の一種 
• ディリクレ積分– sin(x)/x の 0 から無限大までの積分 
• ランチョス再サンプリング– 信号処理における手法 
• 数学関数の一覧
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• 行列の三角関数– 微分方程式を解く上で重要な関数 
• 三角関数の積分– 積分によって定義される特殊な関数 
• ウィテカー・シャノン補間式– 信号（再）再構成アルゴリズム 
• ウィンケル三重投影法– 擬似方位角妥協地図投影法（地図作成） 

• Stenger, Frank (1993). Numerical Methods Based on Sinc and Analytic Functions. Springer Series on Computational Mathematics. Vol. 20. Springer-Verlag New York, Inc. doi:10.1007/978-1-4612-2706-9. ISBN 9781461276371.

• Weisstein, Eric W."Sinc Function". MathWorld.