帯域制限

帯域制限とは、信号のエネルギーを、目的の周波数範囲外で許容できる低いレベルまで下げるプロセスを指します。

帯域制限は、信号処理および通信の多くのアプリケーションに不可欠な部分です。例としては、無線周波数通信信号間の干渉の制御や、デジタル信号処理のサンプリングに関連するエイリアシング歪みの管理などが挙げられます。

帯域制限信号とは、厳密に言えば、定義された周波数範囲外ではエネルギーがゼロの信号です。実際には、周波数範囲外のエネルギーが特定のアプリケーションで無視できるほど低い場合、信号は帯域制限されているとみなされます。

帯域制限信号はランダム (確率的) または非ランダム (決定論的) のいずれかになります。

一般に、信号の連続フーリエ級数表現には無限の項が必要ですが、その信号から有限個のフーリエ級数項を計算できる場合、その信号は帯域制限されていると見なされます。数学用語では、帯域制限された信号は、フーリエ変換または有界サポートのスペクトル密度を持ちます。

帯域制限された信号は、サンプリング レートが信号の帯域幅の 2 倍を超える場合、サンプルから完全に再構成できます。この最小サンプリング レートは、ナイキスト-シャノンのサンプリング定理に関連するナイキスト レートと呼ばれます。

現実世界の信号は厳密に帯域制限されておらず、対象信号には通常、対象帯域外の不要なエネルギーがあります。このため、サンプル レートを変更するサンプリング機能やデジタル信号処理機能では、通常、エイリアシング歪みの量を制御するために帯域制限フィルターが必要です。帯域制限フィルターは、対象信号の周波数領域の大きさと位相、および時間領域の特性の両方を変更するため、他の歪みを管理するために慎重に設計する必要があります。

単純な決定論的帯域制限信号の例としては、次の形式の正弦波が挙げられます。この信号をあるレートでサンプリングして、すべての整数のサンプルを取得すると、これらのサンプルから完全に回復できます。同様に、異なる周波数と位相を持つ正弦波の合計も、その最高周波数に帯域制限されます。 ${\displaystyle x(t)=\sin(2\pi ft+\theta ).}$${\displaystyle f_{s}={\tfrac {1}{T}}>2f}$${\displaystyle x(nT),}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x(t)}$

図にフーリエ変換を示す信号も帯域制限されている。図にその大きさを示すフーリエ変換を示す信号があるとする。最も高い周波数成分は である。その結果、ナイキストレートは ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle X(f),}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle B.}$

${\displaystyle R_{N}=2B\,}$

または図に示すように、信号中の最高周波数成分の2倍である。サンプリング定理によれば、サンプルを使用して完全に正確に 再構成することが可能である。${\displaystyle x(t)\ }$

${\displaystyle x(nT)=x\left({n \over f_{s}}\right)}$すべての整数に対して${\displaystyle n\,}$${\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over f_{s}}}$

に限って

${\displaystyle f_{s}>R_{N}\,}$

サンプルからの信号の再構築は、Whittaker-Shannon 補間式を使用して実行できます。

帯域制限された信号は時間制限されることはありません。より正確には、関数とそのフーリエ変換は、それがゼロでない限り、両方とも有限のサポートを持つことはできません。この事実は、複素解析とフーリエ変換の特性を使用して証明できます。

証明:両方の領域で有限のサポートを持ち、かつ、同一にゼロではない信号 f(t) が存在すると仮定します。これをナイキスト周波数よりも高速にサンプリングし、それぞれのフーリエ変換 と離散時間フーリエ変換を計算してみましょう。DTFT の特性によれば、であり、ここで は離散化に使用される周波数です。 f が帯域制限されている場合、 は特定の区間の外側でゼロになるため、 が十分に大きい場合、の和におけるの個々のサポートは重なり合わないため、 もいくつかの区間でゼロになります。DTFT の定義によれば、は三角関数の和であり、 f(t) は時間制限があるため、この和は有限になり、 は実際には三角多項式になります。すべての三角多項式は複素平面 全体で正則であり、非定数正則関数のすべての零点は孤立しているという複素解析の簡単な定理があります。しかし、これは、区間がゼロでいっぱいであるという以前の発見と矛盾します。なぜなら、そのような区間内の点は孤立していないからです。したがって、時間と帯域幅が制限される唯一の信号は、一定のゼロです。 ${\displaystyle FT(f)=F_{1}(w)}$ ${\displaystyle DTFT(f)=F_{2}(w)}$${\displaystyle F_{2}(w)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }F_{1}(w+nf_{x})}$${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{2}}$

この結果の重要な帰結の 1 つは、帯域制限された信号は送信に無限の時間を必要とするため、現実世界のいかなる状況でも真に帯域制限された信号を生成することは不可能であるということです。現実世界のすべての信号は必然的に時間制限されており、帯域制限することはできません。それでも、帯域制限された信号の概念は、理論的および分析的な目的に役立つ理想化です。さらに、帯域制限された信号を任意の精度レベルに近似することも可能です。

時間の持続時間と周波数の帯域幅の間の同様の関係は、量子力学における不確定性原理の数学的基礎にもなっています。その設定では、時間領域関数と周波数領域関数の「幅」は、分散のような尺度で評価されます。定量的には、不確定性原理は、実際の波形に次の条件を課します。

${\displaystyle W_{B}T_{D}\geq 1}$

どこ

${\displaystyle W_{B}}$は（適切に選択された）帯域幅の尺度（ヘルツ単位）であり、

${\displaystyle T_{D}}$（適切に選択された）時間の長さ（秒単位）の測定値です。

時間周波数解析では、これらの制限はガボール限界として知られており、達成可能な同時時間周波数分解能 の制限として解釈されます。

• バンドパスフィルタ
• バンドストップフィルタ

• ウィリアム・マッケイ・シーバート（1986年）「回路、信号、システム」マサチューセッツ州ケンブリッジ：MIT出版。