σ代数

数学的解析学と確率論において、集合X上のσ 代数（「シグマ代数」、σ 体とも呼ばれ、σ はドイツ語の「Summe」^[1]に由来する）は、補集合、可算和集合、可算積集合に関して閉じたXの部分集合の空でない集合 Σ である。順序付けられた対は可測空間と呼ばれる。 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

部分集合のσ代数は部分集合の集合代数であり、後者の要素は有限個の部分集合の和集合または積集合の下で閉じている必要があるだけであり、これはより弱い条件である。^[2]

σ-代数の主な用途は、測度の定義です。具体的には、与えられた測度が定義されているサブセットのコレクションは、必然的にσ-代数です。この概念は、ルベーグ積分の基礎として数学的解析において重要であり、確率論では、確率を割り当てることができるイベントのコレクションとして解釈されます。また、確率論では、σ-代数は条件付き期待値の定義において極めて重要です。

統計学では、十分な統計量の正式な数学的定義には（サブ）σ代数が必要である^[3]。特に、統計量が関数またはランダムプロセスであり、条件付き密度の概念が適用できない場合に必要となる。

上の σ-代数の 1 つが空集合である場合。一般に、有限代数は常に σ-代数です。 ${\displaystyle X=\{a,b,c,d\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,\{a,b\},\{c,d\},\{a,b,c,d\}\},}$${\displaystyle \varnothing }$

が の可算分割である場合、分割内の集合のすべての和集合（空集合を含む）の集合は σ 代数です。 ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \},}$${\displaystyle X}$

より有用な例は、すべての開区間から始めて、すべての可算和集合、可算積集合、および相対補集合を追加し、関連する閉包特性が達成されるまで（ボレル階層として知られる構成）、このプロセス（すべての可算順序数にわたる超限反復によって）を継続することによって形成される実数直線の部分集合の集合です。

σ 代数の主な動機は、測度の定義、集合の限界の操作、集合によって特徴付けられる部分情報の管理の 3 つです。

上の測度は、のサブセットに非負の実数を割り当てる関数です。これは、セットの「サイズ」または「ボリューム」の概念を明確にするものと考えることができます。 無限の連続した分離セットの場合でも、分離セットの和集合のサイズが個々のサイズの合計になるようにします。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X;}$

のすべての部分集合にサイズを割り当てたいところですが、多くの自然な状況では、これは不可能です。たとえば、選択公理によれば、実数直線の部分集合に対する通常の長さの概念がサイズである場合、サイズが存在しない集合、たとえばヴィタリ集合 が存在することになります。このため、代わりに の特権部分集合の小さなコレクションを検討します。これらの部分集合は可測集合と呼ばれます。これらは、可測集合に期待される操作に対して閉じています。つまり、可測集合の補集合は可測集合であり、可測集合の可算和集合は可測集合です。これらの特性を持つ空でない集合のコレクションは、σ-代数と呼ばれます。 ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$

ほぼ確実に収束するという確率概念など、測度の多くの用途には、集合の列の極限が関係します。このためには、可算な和集合と積集合の下での閉包が最も重要です。集合の極限は、σ-代数上で次のように定義されます。

• の部分集合の列の極限は、これらの集合の無限個に含まれるすべての点（または、それらの共末端個に含まれるすべての点）から構成されます。つまり、すべてを含む集合の無限部分列（ただし）が存在する場合のみ、次のようになります。${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}=\ bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\cup A_{n+1}\cup \cdots .}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in \limsup _{n\to \infty }A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n_{1}},A_{n_{2}},\ldots }$${\displaystyle n_{1}$${\displaystyle x;}$${\displaystyle x\in A_{n_{1}}\cap A_{n_{2}}\cap \cdots .}$
• の部分集合の列の極限下限または内極限は、これらの集合の有限個を除くすべてに含まれるすべての点（または同等に、最終的にすべての集合に含まれるすべての点）で構成されます。つまり、すべての集合がそれを含むインデックスが存在する場合のみ、${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\cap A_{n+1}\cap \cdots .}$$${\displaystyle x\in \liminf _{n\to \infty }A_{n}}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle A_{N},A_{N+1},\ldots }$${\displaystyle x;}$${\displaystyle x\in A_{N}\cap A_{N+1}\cap \cdots .}$

内側の極限は常に外側の極限のサブセットです。 これらの 2 つのセットが等しい場合、それらの極限が存在し、次の共通セットに等しくなります。 $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}~\subseteq ~\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}:=\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$

確率の大部分、特に条件付き期待値が関係する場合、観測可能なすべての情報の一部のみを表す集合が関係します。この部分的な情報は、主σ-代数のサブセットであるより小さなσ-代数で特徴付けることができます。これは、部分的な情報にのみ関連し、部分的な情報によってのみ決定されるサブセットのコレクションで構成されます。正式には、が上のσ-代数である場合、 であれば はのサブσ-代数です。例を挙げて、この考え方がどのように生じるかを説明します。 ${\displaystyle \Sigma ,\Sigma '}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma '}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma '\subseteq \Sigma }$

2人の人がコインを繰り返し投げて表( )か裏( )が出るかを見るゲームに賭けていると想像してください。両方のプレイヤーは無限に裕福であると仮定されているため、ゲームが続く時間に制限はありません。つまり、サンプル空間Ωは、またはのすべての可能な無限シーケンスで構成されなければなりません。${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T:}$ $${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):x_{i}\in \{H,T\},i\geq 1\}.}$$

反転が起こった後に観測される情報は、最初の反転のシーケンスを記述する可能性の1つである。これはサブσ代数としてコード化される。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}=\{A\times \{H,T\}^{\infty }:A\subseteq \{H,T\}^{n}\}}$$

これは最初のフリップをロックし、残りのフリップの結果については不可知論的です。すると、 他のすべてを含む最小の σ 代数が どこにあるかに注目してください。${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {G}}_{3}\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal { G}}_{\infty },}$$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$

をある集合とし、をその冪集合とする。このとき、部分集合は、次の3つの性質を満たすときのみσ-代数と呼ばれる。 ^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle P(X)}$${\displaystyle \Sigma \subseteq P(X)}$

1. ${\displaystyle X}$は です。${\displaystyle \Sigma }$
2. ${\displaystyle \Sigma }$は補集合に関して閉じている: ある集合がに含まれる場合、その補集合も に含まれる。${\displaystyle A}$${\displaystyle \Sigma ,}$${\displaystyle X\setminus A.}$
3. ${\displaystyle \Sigma }$は可算和集合の下で閉じている。がに含まれる場合、 も含まれる。${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$${\displaystyle \Sigma ,}$${\displaystyle A=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots .}$

これらの特性から、σ-代数は可算交差に関しても閉じていることがわかります（ド・モルガンの法則を適用することにより）。

また、(1)は に含まれ、( 2)はその補集合である空集合も に含まれることを主張しているので、空集合は に含まれることも分かり ます 。さらに、 は条件(3)も満たしているので、 は上の最小のσ-代数です。上の最大のσ-代数は です。${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma .}$${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P(X).}$

σ-代数の元は可測集合と呼ばれる。が集合で が上のσ-代数である順序付きペアは可測空間と呼ばれる。2つの可測空間間の関数は、すべての可測集合の逆像が可測である場合に可測関数と呼ばれる。可測空間の集合はカテゴリを形成し、可測関数は射となる。測度は、 σ-代数から への特定のタイプの関数として定義される。${\displaystyle (X,\Sigma ),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle [0,\infty ].}$

σ-代数は、π-システムとDynkin-システム(λ-システム) の両方です。 Dynkin の定理により、逆もまた真です (下記参照)。

この定理（または関連する単調類定理）は、特定の σ 代数の特性に関する多くの結果を証明するための重要なツールです。これは、次の 2 つのより単純な集合のクラスの性質を活用します。

• π-システム とは、有限個の交差の下で閉じている部分集合の集合であり、${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$
• ディンキンシステム(または λ システム)は、補集合と互いに素な部分集合の可算な和集合の下で閉じている の部分集合の集合です。${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ディンキンのπ-λ定理は、 がπシステムで が を含むディンキンシステムである場合、によって生成されるσ-代数はに含まれるというもの である。 πシステムは比較的単純なクラスであるため、 内のすべての集合が検討中の性質を持つことを確認するのは難しくないかもしれないが、一方で、 の性質を持つすべての部分集合の集合がディンキンシステムであることを示すことも簡単である。 ディンキンのπ-λ定理は、 内のすべての集合が の性質を持つことを意味するので、 の任意の集合についてそれを確認する作業を回避する。${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle D.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \sigma (P)}$${\displaystyle \sigma (P).}$

π-λ定理の最も基本的な用途の1つは、別々に定義された測度または積分の同値性を示すことである。例えば、確率変数の確率を、確率の計算に通常関連する ルベーグ-スティルチェス積分と同値とするために用いられる。は、ボレルσ代数上のすべての に対してであり 、 は上で定義されたの累積分布関数であり、 は、ある標本空間の部分集合のσ代数上で定義された確率測度である。${\displaystyle X}$$${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega .}$

空間上のσ-代数の集合を仮定する${\displaystyle \textstyle \left\{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\right\}}$${\displaystyle X.}$

会う

σ-代数の集合の共通部分は σ-代数である。σ-代数としての性質を強調するために、次のように表記されることが多い。 $${\displaystyle \bigwedge _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }.}$$

証明の概要: が交差を表すとします。 は任意の に含まれるため、は空ではありません。 任意の の補集合と可算和の下での閉包は、 についても同じことが成り立つことを意味します。したがって、は σ 代数です。 ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma _{\alpha },\Sigma ^{*}}$${\displaystyle \Sigma _{\alpha }}$${\displaystyle \Sigma ^{*}.}$${\displaystyle \Sigma ^{*}}$

参加する

σ-代数の集合の和集合は、一般にσ-代数でも代数でもないが、結合として知られるσ-代数を 生成する。 結合を生成するπ-システムは、 証明の概要：の場合によって、それぞれがそうで あることが分かる。これは、部分集合の集合によって生成される σ-代数の定義によって 意味する 。一方、 ディンキンのπ-λ定理によって、意味する。 $${\displaystyle \bigvee _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }=\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$$$${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}:A_{i}\in \Sigma _{\alpha _{i}},\alpha _{i}\in {\mathcal {A}},\ n\geq 1\right\}.}$$ ${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle \Sigma _{\alpha }\subset {\mathcal {P}},}$$${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\subseteq {\mathcal {P}}.}$$$${\displaystyle \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)\subseteq \sigma ({\mathcal {P}})}$$$${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)}$$$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {P}})\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$$

が のサブセットであり、が測定可能な空間であるとします。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\Sigma )}$

• この集合は、${\displaystyle \{Y\cap B:B\in \Sigma \}}$${\displaystyle Y.}$
• は測定可能な空間であるとする。その集合はσ-代数の部分集合である。${\displaystyle (Y,\Lambda )}$${\displaystyle \{A\subseteq X:A\cap Y\in \Lambda \}}$${\displaystyle X.}$

σ環は単に普遍集合^[5]を含むσ環である。σ環は必ずしもσ環である必要はない。例えば、実数直線上のゼロのルベーグ測度の可測部分集合は σ 環であるが、実数直線は無限測度を持ち、したがってそれらの可算和によって得ることができないため、σ 環ではない。ゼロ測度の代わりに、有限のルベーグ測度の可測部分集合を取る場合、それらは環であるがσ 環ではない。実数直線はそれらの可算和によって得ることができるが、その測度は有限ではないからである。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X.}$

σ代数は、カリグラフィ大文字、またはフラクトゥール書体で表記されることがあります。したがって、 または と表記されることがあります。${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \scriptstyle (X,\,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle \scriptstyle (X,\,{\mathfrak {F}}).}$

分離可能な- 代数${\displaystyle \sigma }$（または分離可能な- 体${\displaystyle \sigma }$）は、に対する計量と与えられた有限測度（および は対称差分演算子）を持つ計量空間として考えたときに分離可能な空間である- 代数です。^[6]集合の可算なコレクションによって生成される任意の - 代数は分離 可能ですが、その逆は必ずしも成り立ちません。たとえば、ルベーグ- 代数は分離可能です（すべてのルベーグ可測集合は何らかのボレル集合に等しいため）が、可算生成ではありません（その濃度が連続体よりも高いため）。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \triangle }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

分離可能な測度空間には、擬距離空間として分離可能とする自然な擬距離があります。2 つの集合間の距離は、 2 つの集合の対称差の測度として定義されます。2 つの異なる集合の対称差は測度が 0 になることがあります。したがって、上で定義した擬距離は、真の距離である必要はありません。ただし、対称差が測度 0 になる集合が単一の同値類に同一視される場合、結果として得られる商集合は、誘導された距離によって適切に距離化できます。測度空間が分離可能であれば、対応する距離空間も分離可能であることが示されます。

任意の集合と します。${\displaystyle X}$

• 空集合と、最小または自明なσ代数と呼ばれる集合のみからなる族${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$
• のべき集合は離散 σ 代数と呼ばれます。${\displaystyle X,}$
• この集合は、部分集合によって生成される単純なσ代数である。${\displaystyle \{\varnothing ,A,X\setminus A,X\}}$${\displaystyle A.}$
• 可算であるか補集合が可算である部分集合の集合はσ 代数です ( が不可算である場合に限り、の冪集合とは異なります)。これはのシングルトンによって生成される σ 代数です。注: 「可算」には有限または空が含まれます。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• の可算な分割における集合のすべての和集合の集合はσ 代数です。${\displaystyle X}$

停止時間は、 いわゆる停止時間シグマ代数と呼ばれる -代数を定義できます。これは、フィルタリングされた確率空間でランダム時間までの情報を記述するものであり、フィルタリングされた確率空間がランダム実験として解釈される場合、実験を任意の回数繰り返して時間まで実験について見つけることができる最大の情報は^[7]であるという意味です。${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau },}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }.}$

を の任意の部分集合族とすると、 のすべての集合を含む唯一の最小のσ-代数が存在する（σ-代数自体がσ-代数であるかどうかはわからない）。これは、 を含むすべてのσ-代数の共通部分である（上記のσ-代数の共通部分を参照）。このσ-代数は と表記され、によって生成されるσ-代数と呼ばれる。${\displaystyle F}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle \sigma (F)}$${\displaystyle F.}$

が空の場合、それ 以外の場合は、補集合、和集合、積集合の演算を可算な回数行うことで の要素から作成できる のすべてのサブセットから構成されます。${\displaystyle F}$${\displaystyle \sigma (\varnothing )=\{\varnothing ,X\}.}$${\displaystyle \sigma (F)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$

簡単な例として、集合 を考えてみましょう。すると、単一の部分集合 によって生成される σ 代数は になります 。表記法 の乱用 により、部分集合のコレクションに要素が 1 つしか含まれていない場合、 の代わりに と書くことができます。前の例では の代わりに と書くことができます。実際、 を として使用して意味を表すことも非常に一般的です。 ${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle \sigma (\{1\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \sigma (A)}$${\displaystyle \sigma (\{A\});}$${\displaystyle \sigma (\{1\})}$${\displaystyle \sigma (\{\{1\}\}).}$${\displaystyle \sigma \left(A_{1},A_{2},\ldots \right)}$${\displaystyle \sigma \left(\left\{A_{1},A_{2},\ldots \right\}\right)}$

有用な σ 代数を生成するサブセットのファミリは多数存在します。ここではそのいくつかを紹介します。

が集合から集合への関数であり、が の部分集合の -代数である場合、で表される関数によって生成される -代数は の集合のすべての逆像の集合である。つまり、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle f,}$${\displaystyle \sigma (f),}$${\displaystyle f^{-1}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle B.}$$${\displaystyle \sigma (f)=\left\{f^{-1}(S)\,:\,S\in B\right\}.}$$

集合から集合への関数は、 の部分集合のσ代数に関して測定可能であるのは、 がの部分集合である場合に限ります。${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (f)}$${\displaystyle \Sigma .}$

が明示的に指定されていない場合にデフォルトで理解される一般的な状況の1つは、が計量空間または位相空間であり、が上のボレル集合の集合である場合です。${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle Y.}$

がからへの関数である場合、は区間/長方形の逆像である部分集合の族によって生成される。${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \sigma (f)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}:}$ $${\displaystyle \sigma (f)=\sigma \left(\left\{f^{-1}(\left[a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left[a_{n},b_{n}\right]):a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

役に立つ性質として、次のものがあります。が から への可測写像であり、がから への可測写像であると仮定します。 から への可測写像が存在して、すべて に対してとなる場合、が有限または可算無限であるか、より一般的にはが標準ボレル空間（たとえば、関連するボレル集合を伴う可分な完全計量空間）である場合、その逆も真です。^[8]標準ボレル空間の例には、そのボレル集合を伴うものや、以下に説明する円筒 σ 代数を伴うものがあります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right).}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right)}$${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (g).}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

重要な例としては、任意の位相空間上のボレル代数、すなわち開集合（または、同義的に、閉集合）によって生成される σ 代数があります。この σ 代数は、一般に、全体のべき集合ではありません。ボレル集合ではない重要な例については、ヴィタリ集合または非ボレル集合を参照してください。

ユークリッド空間 では、別の σ-代数が重要です。それは、すべてのルベーグ可測集合の σ-代数です。この σ-代数は、 上のボレル σ-代数よりも多くの集合を含み、完全な測度空間を与えるため、積分理論では好まれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

とを2つの測定可能な空間とする。対応する積空間のσ-代数は積σ-代数と呼ばれ、次のように定義される。 ${\displaystyle \left(X_{1},\Sigma _{1}\right)}$${\displaystyle \left(X_{2},\Sigma _{2}\right)}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$$${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}=\sigma \left(\left\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\right\}\right).}$$

π システムである ことに注意してください。${\displaystyle \{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}}$

のボレルσ代数は半無限長方形と有限長方形によって生成される。例えば、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma \left(\left\{(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}]:b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right)=\sigma \left(\left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{n},b_{n}\right]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

これら 2 つの例のそれぞれにおいて、生成ファミリは π システムです。

仮定する $${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }=\{f:f(t)\in \mathbb {R} ,\ t\in \mathbb {T} \}}$$

は実数値関数の集合である。のボレル部分集合を表すとしよう。の円筒部分集合は有限に制限された集合であり、次のように定義される。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\left\{f\in X:f(t_{i})\in B_{i},1\leq i\leq n\right\}.}$$

それぞれは σ-代数を生成するπ-システムです。すると、部分集合の族は 、円筒σ-代数 を生成する代数です。このσ-代数は、制限されたの積位相によって決定されるボレルσ-代数の部分代数です。$${\displaystyle \left\{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\right\}}$$${\displaystyle \textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}.}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}}$$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$${\displaystyle X.}$

重要な特別なケースは、 が自然数の集合であり、 が実数値列の集合である場合です。 この場合、 が σ 代数の非減少列である円筒集合を考えれば十分 です 。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle X}$$${\displaystyle C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right)=\left(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty }\right)\cap X=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\in X:x_{i}\in B_{i},1\leq i\leq n\right\},}$$$${\displaystyle \Sigma _{n}=\sigma \left(\{C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}\right)}$$

球σ-代数は、すべての開球（および/または閉球）を含む最小のσ-代数である。これは、ボレルσ-代数よりも大きくなることはない。2つのσ-代数は可分空間に対して等しいことに注意する。一部の非可分空間では、ボレル可測ではないものの球可測となる写像があり、そのような写像の解析には球σ-代数の利用が有用である。^[9]

が確率空間であるとする。 が上のボレルσ-代数に関して測定可能であれば、はランダム変数( ) またはランダムベクトル( )と呼ばれる。 によって生成されるσ-代数は ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\right\}.}$$

が確率空間で、が上の実数値関数の集合であるとします。が の円筒 σ-代数(上記参照)に関して測定可能である場合、は確率過程またはランダム過程と呼ばれます。 によって生成される σ-代数は、 円筒集合の逆像によって生成される σ-代数 です 。${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$${\displaystyle \mathbb {T} .}$${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$${\displaystyle \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)\right\}=\sigma \left(\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\right\}\right),}$$

• 測定可能な関数 – 数学関数の一種
• 標本空間 – 統計的試行または実験のすべての可能な結果の集合
• シグマ加法集合関数 – マッピング関数
• シグマ環 – 可算和集合に関して閉じた集合族

• 「集合の代数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• PlanetMath の Sigma Algebra。