シュヴァルツシルト計量

アインシュタインの一般相対性理論において、シュヴァルツシルト計量（シュヴァルツシルト解とも呼ばれる）は、球状質量の外部の重力場を記述するアインシュタイン場方程式の厳密解であり、質量の電荷、質量の角運動量、および宇宙定数がすべてゼロであるという仮定に基づいている。この解は、地球や太陽を含む多くの恒星や惑星といった、ゆっくりと回転する天体を記述する上で有用な近似解である。これはカール・シュヴァルツシルトによって発見され、1916年にヨハネス・ドロステによって彼とは独立に発見された。

ビルコフの定理によれば、シュワルツシルト計量はアインシュタイン場の方程式の最も一般的な球対称真空解である。シュワルツシルトブラックホール、または静的ブラックホールとは、電荷も角運動量も持たない（回転しない）ブラックホールのことである。シュワルツシルトブラックホールはシュワルツシルト計量によって記述され、質量以外では他のシュワルツシルトブラックホールと区別することはできない。

シュワルツシルトブラックホールは、シュワルツシルト半径（）に位置する事象の地平線と呼ばれる球状の境界によって特徴づけられる。$\displaystyle r_{\text{s}}}$シュワルツシルト半径は、しばしばブラックホールの半径と呼ばれます。境界は物理的な表面ではなく、事象の地平線を通過した人（潮汐力によって引き裂かれる前）はその位置に物理的な表面を認識できません。これは、ブラックホールの特性を決定する上で重要な数学的な表面です。回転せず、電荷を持たない質量で、シュワルツシルト半径よりも小さいものは、ブラックホールを形成します。アインシュタイン場の方程式の解は任意の質量Mに対して有効であるため、原理的には（一般相対性理論の範囲内で）条件が十分に整えば、任意の質量のシュワルツシルトブラックホールが存在する可能性があります。

シュヴァルツシルトブラックホールの近傍では、空間が非常に大きく曲がるため、光線さえも偏向され、ごく近い光はブラックホールの周りを何周も回るほど大きく偏向されることがある。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

シュワルツシルト計量は、(サブセット)上で定義される 球対称ローレンツ計量です(ここでは、符号規約(+ − − −)を使用)。$${\displaystyle \mathbb {R} \times \left(E^{3}-O\right)\cong \mathbb {R} \times (0,\infty )\times S^{2}}$$ どこ${\displaystyle E^{3}}$は3次元ユークリッド空間であり、${\displaystyle S^{2}\subset E^{3}}$は2球面です。回転群${\displaystyle \mathrm {SO} (3)=\mathrm {SO} (E^{3})}$に作用する${\displaystyle E^{3}-O}$または$\displaystyle S^{2}}$中心軸周りの回転として因子を考慮${\displaystyle O}$最初の${\displaystyle \mathbb {R} }$係数は変化しない。シュワルツシルト計量は真空中のアインシュタイン場の方程式の解であり、重力体の外側でのみ有効であることを意味する。つまり、半径の球体の場合${\displaystyle R}$この解決策は、${\displaystyle r>R}$重力体の内外両方の重力場を記述するために、シュワルツシルト解は適切な内部解と一致させる必要がある。${\displaystyle r=R}$⁠ , ^{[ 4 ]}例えば、内部シュワルツシルト計量など。

シュヴァルツシルト座標系において${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$シュヴァルツシルト計量（または同等に、固有時間に対する線要素）は次の形式をとる。 $${\displaystyle {ds}^{2}=c^{2}\,{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}{d\Omega }^{2},}$$ どこ${\displaystyle {d\Omega }^{2}}$は2次元球面上の計量、すなわち⁠${\displaystyle {d\Omega }^{2}=\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)}$さらに 、

• ${\displaystyle d\tau ^{2}}$時間的曲線に対しては正であり、その場合${\displaystyle \tau }$は固有時間（試験粒子と同じ世界線に沿って動く時計によって測定される時間）である。
• ${\displaystyle c}$光速とは、
• ${\displaystyle t}$つまり、${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$⁠、時間座標（質量のある物体から無限に遠く離れた場所にあり、その物体に対して静止している時計によって測定される）、
• ${\displaystyle r}$つまり、${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$⁠ 、半径座標（質量のある物体を中心とする球の円周を2πで割った値）
• ${\displaystyle \Omega }$2次元球面上の点である${\displaystyle S^{2}}$⁠、
• ${\displaystyle \theta }$余緯度 は${\displaystyle \Omega }$（北からの角度、単位はラジアン）z軸を任意に選択した後に定義される。
• ${\displaystyle \phi }$経度は​${\displaystyle \Omega }$（ラジアン単位で）選択したz軸の周り、
• ${\displaystyle r_{\text{s}}}$は質量のある天体のシュヴァルツシルト半径であり、その質量に関連するスケールファクターである。${\displaystyle M}$による${\displaystyle r_{\text{s}}={2GM}/{c^{2}}}$⁠、そこで${\displaystyle G}$は重力定数である。^{[ 5 ]}

シュワルツシルト計量はr = 0に特異点を持ち、これは固有曲率特異点である。また、事象の地平線r = rsにも特異点を持つように見える。したがって、視点によっては、計量は外部領域でのみ定義されることになる_。${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$内陸部のみ${\displaystyle r<r_{\text{s}}}$またはそれらの非交和。ただし、適切な座標系で見るとわかるように、この計量は実際には事象の地平線全体にわたって非特異である（下記参照）。${\displaystyle r\gg r_{\text{s}}}$シュワルツシルト計量はミンコフスキー空間上の標準ローレンツ計量に漸近します。ほとんどすべての天体について、この比率は${\displaystyle {\frac {r_{\text{s}}}{R}}}$極めて小さい。例えば、シュヴァルツシルト半径${\displaystyle r_{\text{s}}^{({\text{Earth}})}}$地球のおよそ8.9  mm、一方太陽は質量が3.3 × 10 ⁵倍の^{[ 6 ]}はシュヴァルツシルト半径を持つ${\displaystyle r_{\text{s}}^{({\text{Sun}})}}$約3.0 km。この比率が大きくなるのは、ブラックホールや中性子星などの超高密度天体 のごく近傍に限られる。

放射座標は、「放射状に移動する測地時計に対して同時に発生する2つのイベント間の適切な距離であり、2つのイベントは同じ放射座標線上にある」という物理的な意味を持つことが判明した。^{[ 7 ]}

シュヴァルツシルト解は、点粒子の周りの重力場に対応する古典的なニュートン重力理論に類似しています。地球の表面でさえ、ニュートン重力に対する補正は10億分の1にすぎません。^{[ 8 ]}しかし、これは、全地球測位システムで重力による時間の遅れを補正するためにこの計量を使用するのに十分です。

シュヴァルツシルト解は、1915年に厳密解を発見し、1916年1月に発表したカール・シュヴァルツシルトにちなんで名付けられました。 ^{[ 9 ]}これは、アインシュタインの一般相対性理論の発表から1か月強後のことです。これは、自明な平坦空間解を除けば、アインシュタイン場の方程式の最初の厳密解でした。シュヴァルツシルトは、第一次世界大戦中にドイツ軍に従軍中に発症した病気（天疱瘡と考えられている）が原因で、論文発表後まもなく亡くなりました。^{[ 10 ]}

Johannes Droste in 1916^[11] independently produced the same solution as Schwarzschild, using a simpler, more direct derivation.^[12]

In the early years of general relativity there was a lot of confusion about the nature of the singularities found in the Schwarzschild and other solutions of the Einstein field equations. In Schwarzschild's original paper, he put what we now call the event horizon at the origin of his coordinate system. In this paper he also introduced what is now known as the Schwarzschild radial coordinate (r in the equations above), as an auxiliary variable. In his equations, Schwarzschild was using a different radial coordinate that was zero at the Schwarzschild radius.

A more complete analysis of the singularity structure was given by David Hilbert^[13] in the following year, identifying the singularities both at r = 0 and r = r_s. Although there was general consensus that the singularity at r = 0 was a 'genuine' physical singularity, the nature of the singularity at r = r_s remained unclear.^[14]

1921年にポール・パンルヴェ、1922年にアルヴァル・グルストランドはそれぞれ独立に、アインシュタイン方程式の球対称解である計量を作成しました。これは現在ではシュヴァルツシルト計量の座標変換であるグルストランド-パンルヴェ座標であることが分かっており、 r = r _sに特異点はありませんでした。しかし、彼らは自分たちの解が単なる座標変換であることに気付かず、実際には自分たちの解を使ってアインシュタインの理論が間違っていると主張しました。1924年にアーサー・エディントンは、 r = r _sの特異点が座標のアーティファクトであることを示した最初の座標変換（エディントン-フィンケルシュタイン座標）を作成しましたが、彼もまたこの発見の重要性に気づいていなかったようです。その後、1932年にジョルジュ・ルメートルは同じ効果を持つ別の座標変換（ルメートル座標）を与え、 r = r _sの特異点が物理的ではないことをこれが意味することを最初に認識した。1939年にハワード・ロバートソンは、シュワルツシルト計量で降下する自由落下する観測者は、座標時間tの観点からは無限の時間を要するにもかかわらず、有限の固有時間でr = r _{s の}特異点を通過することを示した。^{[ 14 ]}

1950 年、ジョン・シングはシュワルツシルト計量の最大解析的拡張を示す論文^{[ 15 ]}を発表し、 r = rs_の特異点は座標のアーティファクトであり、2 つの地平線を表していることを改めて示しました。同様の結果は後にジョージ・セケレス[ ^{16 ]}と独立にマーティン・クルスカル^{[ 17 ]}によって再発見されました。現在クルスカル・セケレス座標として知られる新しい座標は、^シングの座標よりもはるかに単純でしたが、どちらも時空全体をカバーする単一の座標セットを提供しました。しかし、おそらくルメートルとシングの論文が掲載された雑誌の無名さのために、彼らの結論は注目されず、アインシュタインを含むこの分野の主要な人物の多くがシュワルツシルト半径の特異点は物理的なものであると信じていました。^{[ 14 ]}後に Synge が導出した Kruskal–Szekeres 計量解^{[ 18 ]}は、 「悪い [Schwarzschild] 座標を使って良い [Kruskal–Szekeres] 座標を得る」ことを避けるという動機から生まれたもので、文献では一般的に過小評価されているが、Chandrasekhar がブラックホールのモノグラフで採用した。^{[ 19 ]}

1960年代には、微分幾何学の観点から数学的に厳密な定式化が一般相対性理論の分野に導入され、ローレンツ多様体が特異であるとはどういうことかをより正確に定義できるようになったことで、真の進歩が遂げられました。これにより、シュワルツシルト計量におけるr = r _s特異点が事象の地平線、すなわち一方向にしか横断できない時空の超曲面であることが明確に特定されました。^{[ 14 ]}

シュワルツシルト解は、_{r = 0 と r = rs}に特異点を持つように見えます。これらの半径では、計量成分の一部が「発散」（ゼロ除算または無限大乗算を伴う）します。シュワルツシルト計量は、重力体の半径Rよりも大きい半径に対してのみ有効であると予想されるため、 R > rs_である限り問題ありません。通常の恒星や惑星の場合、これは常に当てはまります。たとえば、太陽の半径は約 r s です。700,000 km 、一方シュヴァルツシルト半径はわずか3  km。

r = r _sの特異点は、シュワルツシルト座標を 2 つの分離した領域に分割します。r > r _sの外部シュワルツシルト解は、恒星や惑星の重力場に関連するものです。r = 0の特異点を含む0 ≤ r < r _sの内部シュワルツシルト解は、 r = r _sの特異点によって外部領域から完全に分離されています。 したがって、シュワルツシルト座標は、2 つの領域間に物理的なつながりを与えず、これらは別々の解と見なすことができます。 ただし、 r = r _sの特異点は錯覚であり、座標特異点と呼ばれるものの例です。その名前が示すように、特異点は座標または座標条件の選択の誤りから生じます。別の座標系（例えば、ルメートル座標、エディントン・フィンケルシュタイン座標、クルスカル・セケレス座標、ノビコフ座標、またはガルストランド・パンルヴェ座標）に変更すると、計量はr = r _sで正則になり、 rがr _sより小さい値まで外部パッチを拡張できます。別の座標変換を使用すると、拡張された外部パッチを内部パッチに関連付けることができます。^{[ 20 ]}

しかし、 r = 0の場合は事情が異なります。解がすべてのrに対して有効であると要求すると、原点で真の物理的特異点、すなわち重力特異点に遭遇します。これが真の特異点であることを確認するには、座標の選択に依存しない量を調べる必要があります。そのような重要な量の 1 つはクレッチマン不変量であり、これは次のように与えられます 。$${\displaystyle R^{\alpha \beta \gamma \delta }R_{\alpha \beta \gamma \delta }={\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.}$$

r = 0では曲率が無限大になり、特異点の存在を示します。この時点では計量は滑らかに拡張できず (クレッチマン不変量は計量の 2 階微分を含む)、時空自体がもはや明確に定義されません。さらに、Sbierski ^{[ 21 ]}は、計量は連続的に拡張することもできないことを示しました。長い間、このような解は非物理的であると考えられていました。しかし、一般相対性理論の理解が深まるにつれて、このような特異点は単なる特殊なケースではなく、理論の一般的な特徴であることが認識されるようになりました。

シュワルツシルト解は、すべてのr > 0に対して有効であるとみなされ、シュワルツシルトブラックホールと呼ばれます。これは、アインシュタイン場の方程式の完全に有効な解ですが、（他のブラックホールと同様に）かなり奇妙な性質を持っています。r < r _sの場合、シュワルツシルト動径座標rは時間的になり、時間座標tは空間的になります。^{[ 22 ]}一定のrの曲線は、そこに留まらせようとする力が加えられたとしても、粒子または観測者の可能な世界線ではなくなります。これは、時空が非常に大きく曲がっているため、原因と結果の方向（粒子の未来の光円錐）が特異点に向かっているためです。表面r = r _{s は、ブラックホールの}事象の地平線と呼ばれるものを区切っています。これは、光が重力場から脱出できなくなる点を表しています。半径Rがシュヴァルツシルト半径以下になった物体はすべて重力崩壊を起こし、ブラックホールになったと言える。

シュヴァルツシルト解は、上記で使用したシュヴァルツシルト座標以外にも、さまざまな座標系で表現できます。座標系の選択によって、解の異なる特徴が強調される傾向があります。下の表に、よく用いられる座標系の例を示します。

上記の表では、簡潔にするためにいくつかの略記法が導入されています。光速cは 1 に設定されています。表記法 $${\displaystyle g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$$ は、単位半径の2次元球の計量に使用されます。また、各項目において、RとTは、特定の座標に対する動径座標と時間座標の代替選択肢を示します。なお、RまたはTは項目ごとに異なる場合があります。

クルスカル・セケレス座標は、ベリンスキー・ザハロフ変換を適用できる形式をとっている。これは、シュワルツシルトブラックホールが重力ソリトンの一種であることを意味する。

r > r _sのシュワルツシルト解の空間曲率は、図に示すように視覚化できます。θ = π / 2、t = 定数に固定し、残りのシュワルツシルト座標 ( r 、 φ ) を変化させて、シュワルツシルト解を通る一定時間の赤道断面Hを考えます。ここで、物理的な実体を持たない(時空の一部ではない) 追加のユークリッド次元wがあると想像します。次に、( r、φ )平面を、方程式 (フラムの放物面) に従ってw方向にくぼんだ表面に置き換えます。$${\displaystyle w=2{\sqrt {r_{\text{s}}\left(r-r_{\text{s}}\right)}}.}$$

この曲面は、その内部で測定された距離がシュワルツシルト計量における距離と一致するという性質を持っています。なぜなら、上記のwの定義により、 $${\displaystyle dw^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}={\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}+r^{2}\,d\varphi ^{2}=-ds^{2}.}$$

このように、フラムの放物面はシュワルツシルト計量の空間曲率を視覚化するのに役立ちます。ただし、重力井戸と混同してはいけません。通常の（質量のある、または質量のない）粒子は、放物面上に世界線を持つことはできません。なぜなら、放物面上のすべての距離は空間的だからです（これはある瞬間の断面なので、その上を移動する粒子は無限の速度を持つことになります）。タキオンは、単一の放物面上に完全に存在する空間的世界線を持つことができます。しかし、その場合でも、その測地線は重力井戸の「ゴムシート」アナロジーで得られる軌道とは異なります。特に、くぼみが下向きではなく上向きに描かれている場合、タキオンの測地線は中心質量から離れるのではなく、中心質量に向かって曲がります。詳細については、重力井戸の記事を参照してください。

フラムの放物面は次のように導出できる。円筒座標( r , φ , w )におけるユークリッド計量は次のように表される 。$${\displaystyle -ds^{2}=dw^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}.}$$

曲面を関数w = w ( r )で表すと、ユークリッド計量は次のように書ける。 $${\displaystyle -ds^{2}=\left(1+\left({\frac {dw}{dr}}\right)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}.}$$

これを、固定時間 ( t = 定数、dt = 0 ) における赤道面 ( θ = π/2 )のシュワルツシルト計量と比較すると、 $${\displaystyle -ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2},}$$w ( r ) の積分表現が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}w(r)&=\int {\frac {dr}{\sqrt {{\frac {r}{r_{\text{s}}}}-1}}}\\&=2r_{\text{s}}{\sqrt {{\frac {r}{r_{\text{s}}}}-1}}+{\text{constant}},\end{aligned}}}$$ その解はフラムの放物面です。

シュワルツシルト計量内で軌道運動する粒子は、 r > 3 r _sの安定な円軌道を持つことができる。r_が1.5 r sから3 r _sの間の円軌道は不安定であり、 r < 1.5 r _sの円軌道は存在しない。最小半径1.5 r _sの円軌道は、光速に近づく軌道速度に対応する。粒子がr _sから1.5 r _sの間の一定のr値を持つことは可能であるが、それは粒子をその位置に維持する力が働く場合に限られる。

水星のような非円軌道は、ニュートン重力で予想されるよりも小さな半径に長く留まります。これは、粒子が事象の地平線を通過してその中に永遠に留まるという、より劇的なケースの、それほど極端ではないバージョンと見なすことができます。水星の場合と、物体が事象の地平線を越​​えて落下する場合の中間には、ナイフエッジ軌道のような特殊な可能性があり、衛星は任意に多くのほぼ円軌道を実行した後、外側に向かって飛び出すことができます。

シュヴァルツシルト計量の等長変換群は⁠${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathrm {O} (3)\times \{\pm 1\}}$⁠、そこで${\displaystyle \mathrm {O} (3)}$は、3次元における回転と反射の直交群であり、${\displaystyle \mathbb {R} }$時間変換を含み、${\displaystyle \{\pm 1\}}$これは時間反転によって生成される群です。

これは、10次元ポアンカレ群の部分群であり、時間軸（星の軌跡）を自身に取ります。空間的な並進（3次元）とブースト（3次元）は省略されます。時間的な並進（1次元）と回転（3次元）は保持されます。したがって、4次元になります。ポアンカレ群と同様に、4つの連結成分を持ちます。すなわち、恒等成分、時間反転成分、空間反転成分、そして時間反転と空間反転の両方を持つ成分です。

リッチ曲率スカラーとリッチ曲率テンソルはどちらもゼロです。リーマン曲率テンソルの非ゼロ成分は^{[ 25 ]}で与えられます。$${\displaystyle {\begin{aligned}-R^{t}{}_{rtr}&=2R^{\theta }{}_{r\theta r}=2R^{\phi }{}_{r\phi r}={\frac {r_{\text{s}}}{r^{2}(r_{\text{s}}-r)}},\\2R^{t}{}_{\theta t\theta }&=2R^{r}{}_{\theta r\theta }=-R^{\phi }{}_{\theta \phi \theta }=-{\frac {r_{\text{s}}}{r}},\\2R^{t}{}_{\phi t\phi }&=2R^{r}{}_{\phi r\phi }=-R^{\theta }{}_{\phi \theta \phi }=-{\frac {r_{\text{s}}\sin ^{2}(\theta )}{r}},\\R^{r}{}_{trt}&=-2R^{\theta }{}_{t\theta t}=-2R^{\phi }{}_{t\phi t}=c^{2}{\frac {r_{\text{s}}(r_{\text{s}}-r)}{r^{4}}},\end{aligned}}}$$ そこからわかることは${\displaystyle R^{\gamma }{}_{\alpha \gamma \beta }=0}$これらの式のうち6つはキャロル^{[ 26 ]}の式5.13であり、残りの6つは次のように示唆される。${\displaystyle R^{\alpha }{}_{\beta \gamma \delta }=g^{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }R^{\lambda }{}_{\kappa \delta \gamma }}$リーマンテンソルの他の対称性によって得られる成分は表示されません。

これらの量の物理的な意味を理解するために、曲率テンソルを正規直交基底で表現することが有用です。観測者の正規直交基底では、幾何学的単位の非ゼロ成分は次のようになります^{[ 25 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}R^{\hat {r}}{}_{{\hat {t}}{\hat {r}}{\hat {t}}}&=-R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-{\frac {r_{\text{s}}}{r^{3}}},\\R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}}&=R^{\hat {\phi }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\phi }}{\hat {t}}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\theta }}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}={\frac {r_{\text{s}}}{2r^{3}}}.\end{aligned}}}$$ ここでも、リーマンテンソルの対称性によって得られる成分は表示されません。これらの結果は任意のローレンツブーストに対して不変であるため、非静的な観測者に対しては成分は変化しません。測地線偏差方程式は、2 つの観測者間の潮汐加速度が、${\displaystyle \xi ^{\hat {j}}}$は${\displaystyle D^{2}\xi ^{\hat {j}}/D\tau ^{2}=-R^{\hat {j}}{}_{{\hat {t}}{\hat {k}}{\hat {t}}}\xi ^{\hat {k}}}$長さの物体${\displaystyle L}$見かけの加速度によって半径方向に引き伸ばされる${\displaystyle (r_{\text{s}}/r^{3})c^{2}L}$そして垂直方向に圧縮され ${\displaystyle -(r_{\text{s}}/(2r^{3}))c^{2}L}$。

• シュヴァルツシルト解の導出
• ライスナー・ノルドシュトロム計量（電荷を持つ非回転解）
• カーメトリック（非荷電、回転解）
• カー・ニューマン計量（電荷を持つ回転解）
• ブラックホール、総括レビュー
• シュヴァルツシルト座標
• クラスカル-セーケレス座標
• エディントン・フィンケルシュタイン座標
• ガルストランド - パンルベ座標
• ルメートル座標（同期座標におけるシュヴァルツシルト解）
• 一般相対性理論におけるフレーム場（シュヴァルツシルト真空中のルメートル観測者）
• トルマン・オッペンハイマー・ボルコフ方程式（等方性材料からなる静的かつ球対称な物体の計量方程式および圧力方程式）
• プランク長

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