対称関数の環

対称関数の環は任意の可換環R上で定義でき、Λ _Rと表記されます。基本的なケースはR  = Zの場合です。環 Λ _Rは実際には次数付きR代数です。これには主に 2 つの構成法があり、最初の構成法は (Stanley, 1999) に記載されており、2 番目の構成法は基本的に (Macdonald, 1979) に記載されています。 

_{Λ R}の要素を「対称関数」と呼ぶのは誤称です。どちらの構成においても、要素は関数ではなく、実際、対称多項式とは異なり、独立変数の関数をそのような要素に関連付けることはできません (たとえば、e _{1 は} 無限に多くの変数の和になりますが、変数に制限を課さない限り定義されません)。しかし、この名称は伝統的で確立されており、(Macdonald, 1979) にも見られます (p. 12の脚注)。

Λの要素は（Λnの要素とは異なり_）もはや多項式ではなく、形式的な単項式の無限和である。したがって、我々は対称関数という古い用語に戻した。

（ここでΛn_はn個の不定元に関する対称多項式の環を表す）、また（Stanley、1999）にも記載されている。

対称関数を定義するには、最初の構成のように直接べき級数を示すか、 2番目の構成と互換性のある方法で、任意の自然数nに対してn個の不定元を含む対称多項式を与えるかのいずれかが必要です。不定元の数が特定されていない式は、両方の役割を果たすことができます。例えば

${\displaystyle e_{2}=\sum _{i<j}X_{i}X_{j}\,}$

は、不定元数が無限の場合は基本対称関数の定義として、有限個の不定元の場合は基本対称多項式の定義として解釈できます。同じ対称関数の対称多項式は、準同型ρ _nと互換性がある必要があり（不定元数を減らすには、不定元の一部をゼロに設定し、残りの不定元に関する任意の単項式の係数が変わらないようにします）、その次数は有界である必要があります。（両方の条件を満たさない対称多項式の族の例は次のとおりです。${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$家族${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{n}(X_{i}+1)}$（2番目の条件のみを満たさない。）n個の不定元に関する任意の対称多項式は、 i < nの場合は準同型ρ _iを使用して不定元の数を減らし、i ≥ nの場合はφ _iを使用して不定元の数を増やす（これは、既に存在する単項式から対称性によって得られた新しい不定元にすべての単項式を追加することに相当します）ことで、互換性のある対称多項式の族を構築するために使用できます。    

以下は、対称関数の基本的な例です。

• 単項式対称関数m _α。α  =  (α ₁ ,α ₂ ,...) を非負整数の列とし、そのうち非ゼロの整数は有限個のみであるとします。このとき、α によって定義される単項式X ^α = X ₁ ^{α ₁} X ₂ ^{α ₂} X ₃ ^{α ₃} ... を考えることができます。このとき、m _αはX ^αによって決定される対称関数、つまり、対称性によってX ^αから得られるすべての単項式の和です。正式な定義として、β ~ α を、列 β が列 α の順列であることを意味するものと定義し、

${\displaystyle m_{\alpha }=\sum \nolimits _{\beta \sim \alpha }X^{\beta }.}$

この対称関数は、単項式X ^{αを持つのに十分な大きさの任意の}nに対して、単項式対称多項式m _α ( X ₁ ,..., X _n )に対応します。異なる単項式対称関数は、整数分割によってパラメータ化されます(各m _{α は}、部分 λ _iが弱く減少する順序で、一意の代表単項式X ^{λを持ちます)。いずれかの}m _αの単項式を含む対称関数は、同じ係数でそれらすべてを含む必要があるため、各対称関数は単項式対称関数のR線形結合として書くことができ、したがって異なる単項式対称関数は、RモジュールとしてΛ _Rの基底を形成します。

• 任意の自然数kに対して、基本的な対称関数e _kは、 e _k = m _αとなる。  ${\displaystyle \textstyle X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{k}X_{i}}$べき級数として、これはk 個の異なる不定数のすべての異なる積の合計です。この対称関数は、任意のn ≥ kに対して、基本対称多項式e _k ( X ₁ ,..., X _n )に対応します。  
• 任意の正の整数kに対して、べき和対称関数p _kが存在します。単項式X ₁ ^kに対して、 p _k = m _{( k )}は単項式対称関数です。この対称関数は、任意の n ≥ 1 に対して、べき和対称多項式p _k ( X ₁ ,..., X _n ) = X ₁ ^k + ... + X _n ^kに対応します。      
• The complete homogeneous symmetric functionsh_k, for any natural number k; h_k is the sum of all monomial symmetric functions m_α where α is a partition of k. As a power series, this is the sum of all monomials of degree k, which is what motivates its name. This symmetric function corresponds to the complete homogeneous symmetric polynomialh_k(X₁,...,X_n) for any n ≥ k.
• The Schur functionss_λ for any partition λ, which corresponds to the Schur polynomials_λ(X₁,...,X_n) for any n large enough to have the monomial X^λ.

There is no power sum symmetric function p₀: although it is possible (and in some contexts natural) to define ${\displaystyle \textstyle p_{0}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{0}=n}$ as a symmetric polynomial in n variables, these values are not compatible with the morphisms ρ_n. The "discriminant" ${\displaystyle \textstyle (\prod _{i<j}(X_{i}-X_{j}))^{2}}$ is another example of an expression giving a symmetric polynomial for all n, but not defining any symmetric function. The expressions defining Schur polynomials as a quotient of alternating polynomials are somewhat similar to that for the discriminant, but the polynomials s_λ(X₁,...,X_n) turn out to be compatible for varying n, and therefore do define a symmetric function.

For any symmetric function P, the corresponding symmetric polynomials in n indeterminates for any natural number n may be designated by P(X₁,...,X_n). The second definition of the ring of symmetric functions implies the following fundamental principle:

If P and Q are symmetric functions of degree d, then one has the identity ${\displaystyle P=Q}$対称関数であるのは、 d 個の不定元に関する対称多項式の恒等式P ( X ₁ ,..., X _d ) = Q ( X ₁ ,..., X _d ) が成り立つ場合のみである。この場合、任意のn個の不定元に対して、実際にはP ( X ₁ ,..., X _n ) = Q ( X ₁ ,..., X _n )が成り立つ。    

これは、いくつかの変数にゼロを代入することで変数の数を常に減らすことができ、準同型写像φ _nを適用することで変数の数を増やすことができるためです。これらの準同型写像の定義により、n ≥ dの場合にはφ _n ( P ( X ₁ ,..., X _n ))  = P ( X ₁ ,..., X _{n +1 ) (} Qについても同様)が保証されます。この原理の有効な適用例については、ニュートンの恒等式の証明を参照してください。   

対称関数環は、不定数の数に依存しない対称多項式間の恒等式を記述するための便利なツールです。Λ _{Rにはそのような数は存在しませんが、上記の原理により、Λ R}の任意の恒等式は、任意の数の不定数を持つR上の対称多項式環の恒等式を自動的に与えます。いくつかの基本的な恒等式は次のとおりです。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}h_{ki}=0=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}h_{i}e_{ki}\quad {\mbox{すべての }}k>0 について}$

これは、基本的および完全な同次対称関数の間の対称性を示しています。これらの関係は、完全な同次対称多項式の下で説明されます。

${\displaystyle ke_{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}p_{i}e_{ki}\quad {\mbox{for all }}k\geq 0,}$

ニュートンの恒等式には、完全同次対称関数に対する変形版も存在する。

${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}h_{ki}\quad {\mbox{すべての場合 }}k\geq 0.}$

Λ _Rの重要な特性には、以下のものが含まれます。

1. 分割によってパラメータ化された単項式対称関数の集合は、次数付きR加群として Λ _Rの基底を形成し、dの分割によってパラメータ化されたものは次数dの同次関数である。同様に、シュール関数の集合 (これも分割によってパラメータ化される) も同値である。
2. Λ _{R は}、無限個の変数を持つ多項式環R [ Y ₁ , Y ₂ , ...] と次数付きR代数として同型であり、 Y _{i は}すべてのi > 0 に対して次数iが与えられ、1 つの同型写像は、すべてのiに対してY _{i を}e _i ∈ Λ _Rに送る写像である。      
3. Λ Rには、すべてのiについて基本対称関数e iと完全同次対称関数h iを交換する対合自己同型ωが存在する。また、各べき和対称関数p i を(−1) i −1 p iに送り、 λ の転置分割であるλ tとs λ tを交換するシュール関数を互いに置換する。

性質2は、対称多項式の基本定理の本質である。これは、以下のいくつかの性質を直ちに示唆する。

• Λ _Rの次数が高々 nの要素によって生成される部分環は、 n変数に関するR上の対称多項式の環と同型である。
• Λ _Rのヒルベルト・ポアンカレ級数は${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-t^{i}}}}$、整数分割の生成関数（これは性質1からも導かれる）。 
• 任意のn  >  0に対して、次数nの Λ _Rの同次部分と、次数が厳密にnより小さい要素によって生成される部分環との共通部分によって形成されるR加群は、ランク 1 を持たず、(像) e _{n は}このR加群の生成元である。 
• 対称関数の任意の族 ( f _i ) _{i >0}において、f _iは次数iの同次関数であり、前の点の自由R加群の生成子を与える (すべてのiについて)、上記のようにR [ Y ₁ , Y ₂ , ...] から Λ _Rへの次数付きR代数の代替同型が存在し、 Y _{i を}f _iに写します。言い換えれば、族 ( f _i ) _{i >0は Λ R}の自由多項式生成子の集合を形成します。 

この最後の点は特に、完全同次対称関数の族 ( h _i ) _{i >0に当てはまります。R}が体を含む場合 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$有理数の場合と同様に、べき和対称関数の族 ( p _i ) _{i >0にも適用されます。このことから、これらの各族の最初の}n個の要素が、その対称多項式環の自由多項式生成子となるn変数の対称多項式の集合を定義する理由が説明できます。

_{完全同次対称関数が Λ R}の自由多項式生成子の集合を形成するという事実は、 性質 3 で述べたように、基本対称関数を完全同次対称関数に写像する自己同型 ω の存在を既に示している。ω が Λ _R の対合であるという事実は、上記の最初の関係式で表される基本対称関数と完全同次対称関数の間の対称性から導かれる。

対称関数環 Λ _Zは、整数ZのExp 環である。また、自然な意味でのラムダ環でもある。実際、それは 1 つの生成元を持つ普遍ラムダ環である。

_{Λ R}を部分環として定義する最初の定義${\displaystyle R[[X_{1},X_{2},...]]}$これにより、いくつかの対称関数列の母関数を優雅に表現できます。 Λ _Rの内部にある前述の関係とは異なり、これらの式はR [[ X ₁ , X ₂ ,...; t ]]内で行われる操作を含みますが、その部分環 Λ _R [[ t ]]の外側で行われる操作を含むため、対称関数を不定元X _iの形式的冪級数とみなした場合にのみ意味を持ちます。この解釈を強調するために、対称関数の後に"( X )"と書きます。

基本対称関数の母関数は

${\displaystyle E(t)=\sum _{k\geq 0}e_{k}(X)t^{k}=\prod _{i=1}^{\infty }(1+X_{i}t).}$

同様に、完全同次対称関数については、

${\displaystyle H(t)=\sum _{k\geq 0}h_{k}(X)t^{k}=\prod _{i=1}^{\infty }\left(\sum _{k\geq 0}(X_{i}t)^{k}\right)=\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-X_{i}t}}.}$

明白な事実は${\displaystyle E(-t)H(t)=1=E(t)H(-t)}$基本対称関数と完全同次対称関数の間の対称性を説明する。べき和対称関数の生成関数は次のように表すことができる。

${\displaystyle P(t)=\sum _{k>0}p_{k}(X)t^{k}=\sum _{k>0}\sum _{i=1}^{\infty }(X_{i}t)^{k}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {X_{i}t}{1-X_{i}t}}={\frac {tE'(-t)}{E(-t)}}={\frac {tH'(t)}{H(t)}}}$

((Macdonald, 1979)はP ( t )を_{Σk >0} pk ( X ) _tk ^{- 1}と定義しており、したがってその式はここで示されている式に比べてtの係数を欠いている)。生成関数E ( t )とH ( t )の形式的導関数を含む最後の2つの式は、完全な同次対称関数に対するニュートンの恒等式とその変形を意味する。これらの式は、次のように書かれることもある。 

${\displaystyle P(t)=-t{\frac {d}{dt}}\log(E(-t))=t{\frac {d}{dt}}\log(H(t)),}$

これは同じ意味だが、Rが有理数を含む必要があるため、定数項1を持つべき級数の対数が定義される（ ${\displaystyle \textstyle \log(1-tS)=-\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}(tS)^{i}}$)